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Processus aléatoiresThomas Budzinski

ENS Paris, 2017-2018 Bureau V2

thomas.budzinski@ens.fr

TD 7 : Martingales, théorème d"arrêt

Corrigé

Vendredi 27 Octobre

1 Temps d"arrêt

Exercice 1(Vrai ou faux)

Soit(Sn)une marche aléatoire simple symétrique surZetFn=(S0;S1;:::;Sn). Lesquelles des variables

suivantes sont des temps d"arrêt pour(Fn)?

1.T1= minfn0jSn= 2017g,

2.T2= minfn2017jSn=Sn2017g,

3.T3= minfn0jSn=Sn+2017g,

4.T4= minfnT1jSn= 0g,

5.T5= maxfn2[[0;2017]]jSn= 0g,

6.T6= minfn2[[0;2017]]j8m2[[0;2017]];SmSng.

Solution de l"exercice 1Les tempsT1,T2etT4sont des temps d"arrêts, car à chaque fois l"événement

fTngne dépend que de(S0;S1;:::;Sn). En revanche,T3,T5etT6n"en sont pas puisque les événements

fT3= 0g,fT5= 0getfT6= 0gne sont pasF0-mesurables.

Exercice 2(Ce qui peut arriver, arrivera)

SoitTun temps d"arrêt pour une filtration(Fn)n0. On suppose qu"il existe" >0etn02Ntels que pour toutn0, on a p.s.

P(Tn+n0jFn)> ":

Montrer queTest fini presque sûrement et queE[T]<+1. Solution de l"exercice 2On montre par récurrence surkque pour toutk0:

P(Tkn0)(1")k:

C"est vrai pourk= 0et on a

P(T(k+ 1)n0) =E?Tkn0?T(k+1)n0

=E[?Tkn0P(Tkn0+n0j Fkn0)]

E[?Tkn0(1")]

(1")k+1;

par hypothèse de récurrence. On en déduit aisément queE[T]<+1et en particulier queTest presque

sûrement fini. RemarqueIl s"agit d"une généralisation de la question 1 de l"exercice 9 du TD 5. 1

2 Martingales et marches aléatoires

Exercice 3(À la pêche aux martingales)

Soit(Sn)une marche aléatoire simple symétrique surZ, etFn=(S1;Sn). 1. Mon trerque (Sn)est une martingale pour la filtration(Fn). 2. Mon trerque (S2nn)est une martingale pour la filtration(Fn). 3. Mon trerque (S3n3nSn)est une martingale pour la filtration(Fn). 4. Soit P(X;Y)un polynôme à deux variables. Montrer que(P(Sn;n))est une martingale pour la filtration(Fn)si pour touss;n2Z, on a

P(s+ 1;n+ 1)2P(s;n) +P(s1;n+ 1) = 0:

5. Soit 2R. Trouver2Rtel queexp(Snn)est une martingale pour(Fn). Solution de l"exercice 3On noteXn=SnSn1les pas de la marche aléatoire. 1. On a

E[Sn+1jFn] =E[Sn+Xn+1jFn] =Sn+E[Xn+1] =Sn

par indépendance des accroissements. 2. On a ES2n+1jFn=ES2njFn+ 2SnE[Xn+1jFn] +EX2n+1jFn=S2n+ 1: On a doncES2n+1(n+ 1)jFn=S2nn, donc on a bien une martingale. 3.

Le calcul est similaire :

E (Sn+1)33(n+ 1)Sn+1jFn=S3n+ 3S2nE[Xn+1jFn] + 3SnEX2n+1jFn+EX3n+1jFn

3(n+ 1)E[Sn+1jFn]

=S3n+ 3Sn3(n+ 1)Sn =S3n3nSn: 4.

On calcule

E[P(Sn+1;n+ 1)jFn] =12

P(Sn+ 1;n+ 1) +12

P(Sn1;n+ 1):

Il suffit donc deP(X+ 1;n+ 1)2P(X;n) +P(X1;n+ 1) = 0. 5.

On calcule

E eSn+1jFn=EeSneXn+1jFn =eSnEeXn+1jFn e+e2 eSn:

Il faut donc choisir= ln(ch()).

Exercice 4(Temps de sortie II, le retour)

Soit(Sn)n0une marche aléatoire simple symétrique surZ. Soienta;b0etT= minfn2N;Sn= aouSn=bg. On rappelle queT <+1p.s.. 1.

En utilisan tla première martingale de l"exercice précéd entet le théorème d"arrêt, redémon trer

P(ST=b) =aa+b:

2.

En utilisan tla seconde m artingalede l"exercice préc édentet le théorème d"arrêt, redémon trer

E[T] =ab:

2

Indication :Le temps d"arrêtTn"est pas borné. Il faut donc passer par des temps d"arrêt de la forme

T^t= min(T;t).

Solution de l"exercice 41.Soit t >0. AlorsT^test un temps d"arrêt borné, auquel on peut appliquer le théorème d"arrêt :

E[ST^t] =E[S0] = 0:

De plus,T <+1p.s. doncST^tconverge p.s. versST, et on aaST^tbpour toutt. Par convergence dominée, on a donc

E[ST] = limt!+1E[ST^t] = 0:

D"autre part, en notantp=P(ST=b), on a

0 =E[ST] = (1p)(a) +pb;

d"oùp=aa+b. 2. Soit t >0. En appliquant le théorème d"arrêt àS2nnet au temps d"arrêtT^t, on obtient

E[T^t] =E[S2T^t]:

Comme dans la première question, en utilisantT <+1p.s., le membre de gauche converge vers E[T]par convergence monotone et le membre de droite versE[S2T]par convergence dominée. On a donc, en utilisant la première question :

E[T] =E[S2T]

ba+b(a)2+aa+bb2 =ab:

RemarqueSi vous n"êtes pas fatigués par les calculs : en utilisant la troisième martingale de l"exercice

précédent (ainsi que les deux questions précédentes), on peut calculer

E[TjST=b] =13

2ab+b2:

Exercice 5(Martingales et marche biaisée)

Soitp6=12

et(Sn)n0une marche aléatoire biaisée surZ, i.e.Sn=X1++XnavecXii.i.d. et

P(Xi= 1) =petP(Xi=1) = 1p.

1.

T rouvertel queSnsoit une martingale.

2. Soien ta,betTcomme dans l"exercice précédent. CalculerP(ST=b). Solution de l"exercice 51.On a E[Sn+1jFn] =SnE[Xn+1] =Snp+ (1p)1. Le processus(Sn)est donc une martingale ssi p+ (1p)1= 1;

ce qui est une équation de degré2en. En la résolvant, on obtient= 1(ce qui n"est pas très

intéressant) ou=1pp 2. En reprenan texactemen tle raisonnemen tde l"exercice précéden t(question 1), on trouv e

P(ST=b) =1a1a+b

avec=1pp 3

Notons que si par exemplep >12

, alors <1donc, en faisant tendrebvers+1, on obtient

P(Ta<+1) = 1a= 11pp

a poura0, oùTa= minfn0jSn=ag. On en déduit queminfSnjn0gsuit une loi géométrique de paramètre=1pp

Exercice 6(Un contre-exemple)

Trouver un processus(Mn)n0avecE[jMnj]<+1pour toutnet tel queE[Mn+1jMn] =Mnpour toutn, mais sans queMsoit une martingale.

Solution de l"exercice 6On considère une marche aléatoire simple démarrant de0avec des pas indépen-

dants1, mais au premier retour en0, la marche est obligée de faire le même pas que son tout premier.

Pourn1, on a alors

E[Mn+1jFn] =8

:M nsiMn6= 0,

1siMn= 0etM1=1,

1siMn= 0etM1= 1.

En particulier,E[Mn+1jFn]6=MnsiMn= 0, doncMn"est pas une martingale.

3 Martingales, chimpanzés et vaisseaux spatiaux

Exercice 7(Singe savant)

Un chimpanzé est assis devant une machine à écrire et commence à taper une lettre par seconde. Il tape à

chaque fois une lettre choisie uniformément parmi les 26 lettres de l"alphabet, indépendamment des lettres

précédentes. On noteTle premier temps auquel les 11 dernières lettres écrites par le singe forment le mot

"ABRACADABRA". Le but de l"exercice est de calculerE[T]. Pour cela, on va définir une martingale. On

suppose que le singe a juste à côté de lui un sac rempli de beaucoup (beaucoup, beaucoup) de bananes.

On joue alors au jeu suivant : justeavantchaque seconden= 1;2;3;:::un joueur arrive derrière le singe

et parie1banane avec lui sur l"événement flan-ième lettre tapée par l"animal est un "A"g.

Si il perd, il part (et le singe met1banane dans son sac). Si il gagne, il reçoit26bananes du singe, qu"il

remise immédiatement sur l"événement flan+ 1-ième lettre tapée par l"animal est un "B"g.

Si il perd, il part. Si il gagne, il reçoit262bananes qu"il remise immédiatement sur l"événement

flan+ 2-ième lettre tapée par l"animal est un "R"g.

Et ainsi de suite jusqu"à ce que "ABRACADABRA" sorte de la machine. Notez qu"il peut y avoir jusqu"à

trois joueurs en train de miser derrière le singe. 1. Mon trerque le nom brede bananes dans le sac du c himpanzéau temps nest une martingale pour (Fn)n0, oùFnest la tribu engendrée par lesnpremières lettres tapées par l"animal. 2.

En déduire

E[T] = 2611+ 264+ 26:

3. Refaire le même exercice en remplaçan t"ABRA CADABRA"par " ABCDEFGHIJK".Commen ter.

Solution de l"exercice 71.Cela est dû au fait que les paris son tà c haqueétap e"équilibrés" : conditionnellemen tà Fn, l"espé-

rance de gain de chacun des parieurs est nulle donc l"espérance de gain du singe aussi. 4

2.Supp osonsd"ab ordqu"on puisse appliquer le théorème d"arrêt à T: alors la variation du nombre

de bananes dans le sac du singe au tempsTest d"espérance nulle, donc l"espérance de ses gains

est égale à l"espérance de ses pertes. Les pertes du singe sont faciles à calculer : au moment où

ABRACADABRA sort, il y a 3 parieurs derrière le singe : un qui est arrivé juste avant le premier

"A" et qui repart avec2611bananes, un qui est arrivé juste avant le second "A" et qui repart avec 26

4bananes, et un qui est arrivé juste avant le dernier "A" et qui repart avec26bananes. Les pertes

du singe sont donc de2611+264+26bananes. D"autre part, chacun desTparieurs qui est passé a

donné une banane au singe (y compris les 3 parieurs qui gagnent à la fin), donc les gains du singe

sont deTbananes.

Pour écrire cela proprement, on peut appliquer le théorème d"arrêt àT^t. Les gains du singe au

tempsT^tvalent alorsT^tet on aE[T^t]!E[T]par convergence monotone. Les pertes du singe sont majorées par2611+2610++1et tendent p.s. vers2611+264+26quandttend vers +1, donc leur espérance tend vers2611+ 264+ 26bananes par convergence dominée. 3.

On obtien tE[T] = 2611, soit une espérance strictement inférieure à celle du temps d"apparition

de ABRACADABRA. Si cela peut paraître contre-intuitif, la raison est que les sous-mots qui se

répètent ("A" et "ABRA") introduisent des corrélations positives entre l"apparition de "ABRA-

CADABRA" à deux rangs différents, ce qui augmente les chances que l"événement se produise très

tard.

Exercice 8(Vaisseau spatial perdu)

LeMillenium Falconse trouve à une distanceD0du Soleil mais ses commandes ne répondent plus :

toutes les heures, Han Solo ne peut qu"entrer une distanceRninférieure à la distance au Soleil dans

l"ordinateur de bord, qui effectue alors un saut dans l"hyperespace de longueurRnet de direction choisie

uniformément dans la sphèreS2. On noteDnla distance du vaisseau au Soleil aprèsnsauts etFnla

tribu engendrée par lesnpremiers sauts. Han Solo veut revenir dans le système solaire, c"est-à-dire à

distance au plusddu Soleil. 1. En utilisan tdes souv enirsde ph ysiquede prépa (théorème de Gauss), mon trerque 1D n est une martingale. 2.

En déduire q uela probabilité que Han Solo revienne un jour dans le système solaire est inférieure

ou égale à dD 0. 3. A la pl acedu pilote, feriez-v ousplutôt de gr andsou de p etitss auts? Solution de l"exercice 8Toutes les justifications des interversions seront laissées en exercice. 1. Soit Xnla variable aléatoire à valeurs dansS2qui indique la direction dun-ième saut, etFn= (X1;:::;Xn). Notons qu"au moment où il choisitRn+1, la seule information dont dispose le pilote

est l"ensemble des sauts déjà effectués, doncFn, doncRn+1estFn-mesurable. On veut montrer que

Eh kSn+Rn+1Xn+1k1jFni =kSnk1. Pour toutxdansR3nf0g, on posef(x) =kxk1. On a

E[f(Sn+Rn+1Xn+1)jFn] =14Z

S

2f(Xn+1+Rn+1u)du:

On veut donc montrer que pour tousx2R3etr 14Z S

2f(x+ru)du=f(x):

Il suffit pour cela de vérifier que la dérivée par rapport àrdu membre de gauche est nulle (par

convergence dominée, il tend bien versf(x)quandr!0). Notons que le membre de gauche a une

discontinuité enr=kxk, c"est pourquoi on imposer 5 puis en appliquant le théorème de Gauss, on obtient ddrZ S

2f(x+ru)du=Z

S

2rrf(x+ru)udu

=r2Z B

1div(rf(x+y))dy

=r2Z B 1f; oùB1est la boule de rayon1autour de l"origine dansR3. Un simple calcul (ou, à nouveau, des souvenirs de physique de prépa) montre que le Laplacienfest nul surR3nf0g, donc1D nest bien une martingale. 2. Soit T= inffnjDndg. Le tempsTest un temps d"arrêt (éventuellement infini), donc on peut appliquer le théorème d"arrêt àT^tet à la martingale1D n: E 1D T^t =1D 0:

On en déduit,

P(Tt) =P(DT^td)

=P1D T^t1d 1d 1 E1D T^tquotesdbs_dbs17.pdfusesText_23

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