[PDF] PROCESSUS STOCHASTIQUES - TD 4 MARTINGALES - TEMPS D’ARRETˆ

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PROCESSUS STOCHASTIQUES - TD 4

MARTINGALES - TEMPS D"ARR

ˆET

Exercice 1(Une trivialit´e).

Soit(Mn)n0une martingale par rapport`a une filtration(Fn)n0. On note pourn0,Gn= (M0;:::;Mn)la filtrationcanoniqueassoci´ee`a la martingale(Mn). Montrer que(Mn)est une martingale pour la filtration(Gn).

Correction :On remarque queGn Fnet donc

E[Mn+1j Gn] =E[E[Mn+1j Fn]j Gn] =E[Mnj Gn] =Mn:

Exercice 2(`A la pˆeche aux martingales).

Soit(Xi)i1une suite de variables al´eatoires ind´ependantes identiquement distribu´ees telles

queP(X1= 1) =P(X1=1) = 1=2. Pourn0, on noteFn=(X1;X2;:::;Xn)(F0= f?; g) et on pose S n=nX i=1X i:

1. Montrer que(Sn)n0est une martingale pour la filtration(Fn)n0:

2. Montrer que(S2nn)n0est une martingale pour la filtration(Fn)n0:

3. Montrer que(S3n3nSn)n0est une martingale pour la filtration(Fn)n0:

4. Devinez un polyn

ˆomeP(x;y)de degr´e4enxet de degr´e2enytel que(P(Sn;n))n0soit une martingale pour la filtration(Fn)n0:

5. Plusg

est une martingale pour la filtration(Fn)n0si pour touss;n2Zon a

P(s+ 1;n+ 1) +P(s1;n+ 1) = 2P(s;n):

6. Soit2R. Trouver un2Rtel que(exp(Snn))n0soit une martingale pour(Fn)n0:

Correction :

1. Celui-ci est

´evident.

2. Dans tout le reste de l"exercice, on va utiliser le fait queP[Sn+1=Sn+ 1] =P[Sn+1=

S n1] =12

E[S2n+1(n+ 1)jFn] =12

(Sn+ 1)2+12 (Sn1)2n1 =S2nn: 3. m

ˆeme d´emonstration

4. m ˆeme d´emonstration avecP(Sn;n) =S4n6nS2n3n22n. 5. m

ˆeme d´emonstration

1

6. il faut prendre= ln(cosh()).

Exercice 3.

SoitTun temps d"arrˆet pour une filtration(Fn)n0. On suppose qu"il existe" >0etN2N tels que pour toutn0, on a

P(Tn+Nj Fn)> "; p:s::

Montrer queTest fini presque sˆurement et queE[T]<1.

Correction :On montre par r´ecurrence surk0que

P(TkN)(1")k:

C"est vrai pourk= 0et on a

P(T(k+ 1)N) =E1TkN1T(k+1)N

=E[1TkNE[1TkN+Nj FkN]]

E[1TkN(1")]

(1")k+1; par hypoth `ese de r´ecurrence. On en d´eduit ais´ement queE[T]<1et en particulier queTest presque s

ˆurement fini.

Exercice 4.

Soit(Xn)n1une suite de variables al´eatoires iid sur( ;F;P)dont la loi est d´etermin´ee par

P(Xn= 1) =petP(Xn=1) = 1p

avecp2]0;1[nf1=2g. SoientKetNdeux entiers tels que0KN. On poseS0=K, S n=K+X1+:::+Xnpourn1,T0= inffn0;Sn= 0g,TN= inffn0;Sn=Ng,

T=T0^TNet pour toutn0,

M n=1pp Sn

1. Montrer que(Mn)n0est une martingale.

2. En consid

´erant la martingale arrˆet´ee(Mn^T)n0, calculerP(T=T0)etP(T=TN). Correction :Corrig´e page 184 du poly de J.F. Le Gall.

Exercice 5(Deux transformations de martingales.).

On se place sur l"espace(

;F;P), muni de la filtration(Fn)n2N.

1. Soit:R!R+une fonction convexe, et soit(Xn)n2Nun processus adapt´e (i.e.Xnest

F n-mesurable pour toutn), tel queE[(Xn)]<1pour toutn2N. Montrer que si(Xn) est une martingale, alors((Xn))est une sous-martingale. Montrer que si(Xn)est une sous-martingale et siest croissante, alors((Xn))est une sous-martingale. 2

2. On dit qu"un processus(Hn)n1est pr´evisible si, pour toutn1,HnestFn1-mesurable

(Attention, parfois pr´evisible recouvre en plus la notion de bornitude, pas ici). Soit(Xn)n2Nun processus adapt ´e et(Hn)n1une famille pr´evisible et born´ee. On pose(HX)0= 0et pour toutn1, (HX)n=H1(X1X0) +H2(X2X1) +:::+Hn(XnXn1): Montrerquesi(Xn)estunemartingale, alors((HX)n)estaussiunemartingale. Montrer que si(Xn)est une surmartingale (respectivement sous-martingale), et siHn0pour toutn1,((HX)n)est une surmartingale (respectivement sous-martingale).

Correction :

1. La mesurabilit

´e par rapport`aFnet l"int´egrabilit´e de(Xn)sont triviales dans les deux cas pour toutn. Or par l"in´egalit´e de Jensen pour les esp´erances conditionnelles, pour toutn2N, on a

E[(Xn+1)jFn](E[Xn+1jFn]):

DanslepremiercasonconclutcarE[Xn+1jFn] =Xnp.s., etdansl"autrecascarE[Xn+1jFn] X netest croissante.

2. On v

´erifie facilement dans les deux cas que, pour toutn2N,(HX)nest int´egrable (car les(Xi)sont int´egrables et les(Hi)sont born´es) et mesurable par rapport aFn(car les (Xi)sont adapt´es et les(Hi)sont pr´evisibles). Il suffit donc de regarder, pour toutn2N, le signe de

E[(HX)n+1(HX)njFn];

si cette variable est nulle p.s. alors((HX)n)est une martingale, si elle est positive c"est une sous-martingale, et si elle est n

´egative c"est une surmartingale. Or(HX)n+1(H

X)n=Hn+1(Xn+1Xn)et puisqueHn+1estFn-mesurable on a

E[Hn+1(Xn+1Xn)jFn] =Hn+1E[Xn+1XnjFn]:

Le r ´esultat tombe alors imm´ediatement suivant les hypoth`eses sous lesquelles on se place (que ce soitE[Xn+1XnjFn] = 0,E[Xn+1XnjFn]0etHn+10ouE[Xn+1XnjFn]

0etHn+10).

Exercice 6.

Trouver un processus(Mn)n0avecE[jMnj]<1pour toutnet tel queE[Mn+1jMn] =Mn sans que(Mn)soit une martingale.

1mais au premier retour en0la marche est oblig´ee de faire le mˆeme pas que son tout premier.

Exercice 7(Une r´eciproque au th´eor`eme d"arrˆet). Soit(Xn)n2Nun processus sur(!;F;Fn;P), int´egrable et adapt´e. Montrer que si pour tout temps d"arr ˆet born´eon aE[X] =E[X0], alorsXnest une martingale. Correction :Le processus(Xn)est int´egrable et adapt´e, donc il suffit de montrer que pour

toutn,E(Xn+1jFn) =Xn. Par la caract´erisation de l"esp´erance conditionnelle, il suffit donc de

montrer que pour toutnet pour toutA2 Fn, on a

E(Xn+1?A) =E(Xn?A):(1)

3

Le seul outil en notre possession

´etant les temps d"arrˆet, on va essayer d"en trouver qui sont adapt

´es`a notre probl`eme.

On se fixen2NetA2 Fn. D"une part, si on consid`ere le temps d"arrˆet constant=n, on obtient

E[Xn] =E[X] =E[X0]:

D"autre part, pour un temps d"arr

ˆetquelconque, on en d´eduit que

E[X] =E[X0] =E[Xn]:

Etant donn

´e qu"on veut montrer (1), il semble naturel de chosirtel queXs"exprime en terme deXn,Xn+1et?A. Si on choisit =n?Ac+ (n+ 1)?A; on aX=Xn?Ac+Xn+1?Aet donc

E[Xn?Ac+Xn+1?A] =E[Xn];

ce qui implique bien

E(Xn+1?A) =E(Xn?A);

et permet de conclure. Exercice 8(Une autre version du th´eor`eme d"arrˆet.). Soient(Xn)n0une martingale sur un espace de probabilit´e filtr´e( ;F;(Fn)n0)etTun temps d"arr

ˆet v´erifiant

P(T <+1) = 1;E(jXTj)<1etE(jXnj?fT>ng)!n!+10:

1. Montrer queE(jXTj?fT>ng)!n!+10:

2. Montrer queE(jXT^nXTj)!n!+10:

3. En d

´eduire queE(XT) =E(X0).

Correction :

1. Le temps d"arr

ˆetTest fini p.s. etjXTjaussi donc

jXTj?fT>ngp:s:!n!10: OrjXTj?fT>ng jXTjetE(jXTj)<+1. Ainsi, le th´eor`eme de convergence domin´ee entra

ˆıne le r´esultat.

2. On a

E(jXT^nXTj) =EjXnXTj?fT>ngE(jXnj?fT>ng) +E(jXTj?fT>ng):

Le terme de droite de cette

´equation tend vers0quandntend vers l"infini d"apr`es la deuxi `eme hypoth`ese et la question 1., on a donc le r´esultat. 4

3. Pour toutn2N,E(XT^n)=E(X0)car(XT^n)n2Nest une martingale (ou de mani`ere

equivalente par le th´eor`eme d"arrˆet appliqu´e au temps d"arrˆet born´eT^n). La ques-

tion 2. implique la convergence

E(XT^n)!n!1E(XT);

doncE(XT) =E(X0). 5quotesdbs_dbs17.pdfusesText_23

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