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Monique Jeanblanc
Octobre 2005
2Contents
1 Rappels 7
1.1 Tribu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71.2 Variables gaussiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8 91.4 Martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
111.5 Temps d'arr^et . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
131.6 Temps discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14 151.8 Divers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
152 Mouvement Brownien 17
172.2 Processus Gaussiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
202.3 Multidimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
212.4 Temps d'atteinte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
222.5 Scaling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2526
2.7 Finance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
282.8 Problµeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2929
2.8.2 Partie II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
302.8.3 Partie III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3033
3.2 Formule d'It^o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
343.3 Cas multidimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3940
42
3.6 Le crochet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
433.7 Finance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
443
4CONTENTS
494.2 Finance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5456
5 Exemples 59
5.1 Processus de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5961
5.3 Autres processus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
645.4 Des calculs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
646 Girsanov 67
676.2 Crochet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
696.3 Processus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
696.4 Cas multidimensionel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
756.5 Temps d'arr^et. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
766.6 Finance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7887
88
92
7.4 Temps local. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
927.5Lois. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
937.6 Filtrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
947.7 Options barriµeres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9596
7.9 Divers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
968 Processus µa sauts 99
8.1 Processus de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
99101
8.3 Formule d'It^o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
102103
103
1.1 Tribu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1071.2 Variables gaussiennes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
108111
1.4 Martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1131.5 Temps d'arr^et . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1141.6 Temps discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
115115
1.8 Divers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
115CONTENTS5
1172.2 Processus Gaussien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1212.3 Multidimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1242.4 Temps d'atteinte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1252.5 Scaling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
127127
2.7 Finance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
129131
3.2 Formule d'It^o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1323.3 Cas multidimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
137138
139
3.6 Le crochet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1423.7 Finance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
142145
4.2 Finance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
149151
5.1 Processus de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
153155
5.3 Autres processus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1555.4 Des Calculs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
156159
6.2 Crochet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1606.3 Processus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1606.4 Cas multidimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1636.5 Temps d'arr^et . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1636.6 Finance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
165167
168
168
7.4 Temps local. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1687.5Lois. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1707.6 Filtrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1707.7 Options barriµeres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
171172
6Rappels
8.1 Processus de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
175177
178
Chapter 1
Rappels
1.1 Tribu
Exercice 1.1.1
Ensembles appartenant µa une tribu.
1. Montrer que siFest une tribu, et siAetBappartiennent µaFavec ne sont pas dansA. 2.Montrer que 11
B¡A= 11B¡11A.
3. Montrer que siCetDappartiennent µaF, alorsC¢Ddef=fC\Dcg [ fCc\Dgaussi.Exercice 1.1.2
Exemples de tribus.
1. 2.Exercice 1.1.3
Fonctions indicatrices.
On note 11
Ala v.a. qui vaut 1 pour!2Aet 0 sinon.
1.Montrer que 11
A\B= 11A11B.
2.Montrer que, siA\B=;, on a 11A[B= 11A+ 11B.
3.Montrer que 11
A[B= 11A+ 11B¡11A\B.
Exercice 1.1.4
Union et intersection.
SoitF1etF2deux tribus. Montrer queF1\ F2est une tribu. Montrer qu'enExercice 1.1.5
Tribu grossie par un ensemble.(*)
78Rappels
Exercice 1.1.6
est la plus petite sous tribuFtelle queXsoit mesurable de (;F) dans (IR;B).Exercice 1.1.7
Lois de v.a.
telles queXloi=ZetYloi=T. 1.ComparerE(f(X)) etE(f(Z)).
2.ComparerE(X2Y) etE(Z2T).
3.ComparerE(f(X)g(Y)) etE(f(Z)g(T)).
4.ComparerE(f(X;Y)) etE(f(Z;T)).
1.2 Variables gaussiennes
Exercice 1.2.1
Moments.
SoitXune v.a.r. de loiN(0;¾2). CalculerE(X3),E(X4),E(jXj) etE(jX3j).Exercice 1.2.2
Moments.SoitXun v.a. normale. Calculer les moments de e X.Exercice 1.2.3
Exponentielles.SoitNune v.a. de loiN(0;1). CalculerE(exp(aN2+bN)). Montrer queE(expa2
2N2) =E(expaNN0) avecNetN0
i.i.d.Exercice 1.2.4
Exercice 1.2.5
SoitXune v.a.r. de loiN(m;¾2).
1.Quelle est la loi de
X¡m
? CalculerEjX¡mj. 2.Montrer queE(e¸X) = exp(¸m+1
2¸2¾2). CalculerE(Xe¸X).
3.Soit ©(x) =1
p2¼Z
x ¡1 e¡y2 2 dy. Calculer, dans le casm= 0 et¾= 1 la valeur deE(11X·bexp¸X) en fonction de (©;¸;b). 4. CalculerE(expf¸X2+¹Xg) pour 1¡2¸¾2¸0. 5. Montrer queE(eµXf(X)) =emµ+¾2µ2=2E(f(X+µ¾2) pourfcontinue 6. 7.Montrer que siGest une va de loiN(0;1)
E(eaGN(bG+c)) =ea2=2N(c+ab
p 1 +b2Exercice 1.2.6
Convergence.
Soit (Xn;n¸1) une suite de v.a. gaussiennes qui converge dansL2versX.Quelle est la loi deX?
Exercice 1.2.7
Vecteur gaussien.SoitXun vecteur gaussien µa valeurs dans IRExercice 1.2.8
Exercice 1.2.9
Projection.(*)
Z=PPrXdeAtel que
E((X¡PrX)Z) = 0;8Z2 A
Montrer queX= (X1;X2;:::;Xd) etY= (Y1;:::;Yn) sont deux vecteurs On supposed= 1. Montrer quePrXest une v.a. gaussienne¾(Y) mesurable,Exercice 1.2.10
deux v.a.r. telles queYest gaussienne et la loi conditionnelle deXµaYest queE(exp(¸X)jY=y) = exp(¸(ay+b)+¸2 2¾2). Montrer que le couple (X;Y)
est gaussien.Exercice 1.3.1
Montrer que
E(Y E(XjG)) =E(XE(YjG))
10Rappels
Exercice 1.3.2
Montrer que siX2L2etE(XjG) =YetE(X2jG) =Y2alors
X=Y.Exercice 1.3.3
Exercice 1.3.4
CalculerE(11X·tjM).
Exercice 1.3.5
met de variance¾2. On suppose queYestG-mesurable. CalculerE(X¡YjG):Exercice 1.3.6
Vecteur gaussien(*)Suite de l'exercice 1.2.9
PrX.Exercice 1.3.7
G, queX2estGmesurable et queX1est gaussienne.
1.CalculerE(XjG) et var (XjG).
2.CalculerE(e¸XjG).
Exercice 1.3.8
Cov(Z1;Z2jG) =E(Z1Z2jG)¡E(Z1jG)E(Z2jG):
Montrer que
Cov(Z1;Z2jG) =E[(Z1¡E(Z1jG))Z2jG]:
Exercice 1.3.9
Tribu grossie.
GetA. (Voir exercice 1.1.5). On admettra que les v.a.Zqui sontHmesurablesE(XjH) =E(X11AjG)
E(11AjG)11A+E(X11AcjG)
E(11AcjG)11Ac
Exercice 1.3.10
E(aX+bjZ) =aE(XjY) +b.
Exercice 1.3.11
Grossissement progressif(*) SoitFune tribu. On con- 1. 2. Montrer que, siXest une v.a.Fmesurable,E(XjG)111·¿=A111·¿oµuA est une constante. Montrer queA=E(X111·¿)=P(1·¿).Exercice 1.3.12
E(X1jG1)E(X2jG2).
Exercice 1.3.13
Exercice 1.3.14
Formule de Bayes.SoitdQ=LdPsur (;F) etGune
sous-tribu deF. Montrer que EQ(XjG) =EP(XjG);8X2 F
si et seulement siLestGmesurable.Exercice 1.3.15
Exercice 1.3.16
trations. 1. the¾-algebrasF1andGtare conditionally independent givenFt. (H2)8F2 F1;8Gt2 Gt;E(FGtjFt) =E(FjFt)E(GtjFt) (H3)8t;8Gt2 Gt;E(GtjF1) =E(GtjFt) (H4)8t;8F2 F1;E(FjGt) =E(FjFt). 2. SoitFetGdeux ¯ltrations telles queFt½ Gt. Montrer que (H) EveryF-square integrable martingale is aG-square integrable mar- tingale 3. (H5)8s·t;P(¿·sjF1) =P(¿·sjFt).1.4 Martingales
L'espace est muni d'une ¯ltration (Ft).
Exercice 1.4.1
(E(XjFt);t¸0) est une martingale.12Rappels
Exercice 1.4.2
Surmartingale.On dit queMest une surmartingale si
-E(MtjFs)·Ms;8s·t Le processusMest une sousmartingale si¡Mest une surmartingale. 1. (As·At;8s·t) alorsM¡Aest une surmartingale. 2.SoitMune martingale. Que peut-on dire deM2?
3. SoitMune martingale telle queE(M21)<1. Montrer que suptE(M2t)< 1. 4. Montrer qu'une surmartingale telle queE(ZT) =E(Z0) est une martin- gale sur [0;T].Exercice 1.4.3
Martingale locale.Montrer qu'une martingale locale posi- tive est une surmartingale.Exercice 1.4.4
Martingale en fonction de la valeur terminale.SoitX une martingale telle queXT=³. ExprimerXten fonction de³pourt < TauExercice 1.4.5
suivant: Lemma: LetÁbe an adapted bounded process. Then (Yt=Mt¡Z t 0 sds;0· t·T) for some martingaleMif and only if Y t=E[Z T t sds+YTjFt]Exercice 1.4.6
Montrer que
1.E((Mt¡Ms)2jFs) =E(M2tjFs)¡M2spourt > s.
2.E((Mt¡Ms)2) =E(M2t)¡E(M2s) pourt > s.
3.Exercice 1.4.7
Projection de martingale.Montrer que siMest uneFt- martingale, c'est aussi une martingale par rapport µa sa propre ¯ltrationGt= ¾(Ms;s·t). SoitHt½ Ft. Montrer queYt=E(MtjHt) est uneHt-martingale.Exercice 1.4.8
Une sousmartingale.Soit¿une v.a. positive. Montrer que Z t=P(¿·tjFt) est une sousmartingale.Exercice 1.4.9
Exemples de martingales.
1. 2.SoitXune chaine de Markov. Montrer que
X s·tf(Xs¡;Xs)¡Z t 0XqXs;jf(Xs;j)ds
est une martingale.Exercice 1.4.10
et¿= infft:Mt= 0g. Montrer queMest nulle surt > ¿.1.5 Temps d'arr^et
Exercice 1.5.1
d'arr^et. Montrer queF¿est une tribu.Exercice 1.5.2
Exercice 1.5.3
Exercice 1.5.4
Comparaison de tribus.SoitSetTdeux temps d'arr^et tels queS·T. Montrer queFS½ FT.Exercice 1.5.5
trer queSestFS-mesurable.Exercice 1.5.6
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