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Processus stochastiques et temps d'arrêt

Exercices

Geneviève Gauthier

Dernière mise à jour : 13 mars 2004

Exercice 2.1. Aujourd"hui lundi, vous avez un dollar dans votre tirelire. À partir de demain matin et ce, tous les matins jusqu"à vendredi inclusivement, vous tirez à pile ou face pour savoir si vous retirez un dollar (si possible) de la tirelire (pile) ou si vous y en mettez un (face). Modélisez l"évolution du contenu de votre tirelire en répondant aux questions suivantes : a) Quel est l"ensemble fondamental ? b) Définissez le processus stochastique que vous utilisez et donnez en la signification. Nou- bliez pas de définir ce que vous signifiez par une période de temps. c) Quelle tribu utilisez-vous pour construire votre espace probabilisable ? d) Quelles sont les tribus de la filtration engendrée par le processus pour les journées de lundi, mardi, mercredi et vendredi ? e) Interprétez, en fonction de l"information disponible, la structure d"information que vous avez construite à la question précédente pour la journée du mercredi. f) Quelle est la distribution du contenu de la tirelire vendredi midi ? g) Démontrez que le premier instant ou la tirelire est vide est un temps d"arrêt. Exercice 2.2.Soit(Ω,F), un espace probabilisable tel queCard(Ω)<∞et muni de la filtrationF={Ft :t?{0,1,...}}. Si les variables aléatoiresτ 1 etτ 2 sont des temps d"arrêt par rapport à la filtrationF, alors démontrez queτ1 2 =max{τ 1 2 }est aussi un temps d"arrêt. Exercice 2.3. Possédant 20 dollars, nous décidons de jouer au jeu de hasard suivant. Nous lançons quatre fois un sou. Au premier lancer, nous gagnons 10 dollars si le résultat est

"pile» et perdons 10 dollars si le résultat est "face». Pour les autres lancers, si le résultat

obtenu est le même que celui du lancer précédent, nous ne réalisons aucune perte ni aucun

gain. Par contre, si le résultat obtenu est différent du lancer précédent, nous gagnons 10

dollars si le résultat est "pile» et perdons 10 dollars si le résultat est "face».

a) Définissez les variables aléatoires et la notation que vous utilisez afin de modéliser cette

situation. 1 b) Donnez la tribu représentant l"information disponible après le deuxième lancer. Inter- prétez. c) Quelle est la distribution du montant que nous possédons à la fin du jeu?

Exercice 2.4 La ruine du joueur.

Deux joueurs possédant initialement des fortunes deretn-rdollars respectivement (r etnsont des entiers positifs tels quer1) l"approche audacieuse qui consiste pour le premier joueur à miser à chaque tour le minimum entre sa fortune personnelle et le montant requis pour sa victoire;

2) l"approche timide qui consiste pour le premier joueur à miser un dollar à chaque tour.

Supposons queX

t représente la fortune du premier joueur après letième jeu lorsque ce dernier emploi la stratégie timide. La variable aléatoireY t représente la fortune du premier joueur après lenième jeu lorsque ce dernier emploi la stratégie audacieuse. Pour les fins de cet exercice, nous supposerons que les joueurs jouent à pile ou face avec un sou possiblement mal balancé. Le premier joueur remporte sa mise si le sou tombe du

coté pile et la probabilité d"obtenir pile lors d"un lancé de ce sou est dep. Nous étudierons

les résultats des quatre premiers lancers seulement. Le croupier débute avec 4 dollars tandis que le premier joueur possède initialement 6 dollars. a) Quel est l"ensemble fondamental correspondant à cette expérience aléatoire ? b) Quelle tribu utilisez-vous pour construire votre espace probabilisable ? c) Quelles sont les tribus de la filtration engendrée par le processusX={X t :t?{0,1,2,3,4}} pour les instants0,1,2et4? d) Quelles sont les tribus de la filtration engendrée par le processusY={Y t :t?{0,1,2,3,4}} pour les instants0,1,2et4? e) Interprétez, en fonction de l"information disponible, la structure d"information que vous avez construite à la question c) pour l"instantn=3. f) Donnez les fonctions de masse deX 4 et deY 4 Pour les prochaines questions, nous ne nous limiterons pas à l"étude des quatre premiers lancers mais laisserons le jeu se poursuivre jusqu"à la ruine d"un des deux joueurs.

g) Soit la variable aléatoireτdonnant l"instant auquel le jeu s"est arrêté, c"est-à-dire que

τ(ω)≡min{t?{0,1,2,...}:X

t =0ouX t =n}. 2

Montrer queτestuntempsd"arrêt.

Exercice 2.5.Soitτ

1 etτ 2 ,deux(Ω,F,F)-temps d"arrêt oùΩest un ensemble fonda- mental contenant un nombre fini d"éléments, etF={F t :t?{0,1,2,...}}est une filtration.

Est-ce que la somme de ces deux temps d"arrêt est aussi un temps d"arrêt ? Si oui, démontrez-

le. Sinon, donnez un contre exemple. Exercice 2.6.On lance deux dés et on observe le nombreXde points sur le pre- mier et le nombreYde points sur le deuxième. Nous recevrons un paiment d"un mon- tant demax(X,Y)au tempsτ= min(X,Y). Le processus{S t :t?{1,2,...,6}}modélise l"évolution des paiments qui nous seront versés. a) Quel est l"ensemble fondamental ? b) Déterminez la filtration{F t :t?{1,2,...,6}}engendrée par le processus stochastique {S t :t?{1,2,...,6}}. c) Est-ce queτest un{F t :t?{1,2,...,6}}-temps d"arrêt ? Justifiez votre réponse. 3

Les solutions

1 Exercice 2.1

a) Quel est l"ensemble fondamental ?

FPPP,FPPF,FPFP,FPFF,FFPP,FFPF,FFFP,FFFF?

b) Définissez le processus stochastique que vous utilisez et donnez en la signification. Noubliez pas de définir ce que vous signifiez par une période de temps. Posonst=0pour la journée de lundi (aujourd"hui).?t?{0,1,2,3,4} X t =montant dans la tirelire après la transaction de latième journée. c) Quelle tribu utilisez-vous pour construire votre espace probabilisable ? ωX 0 (ω)X 1 (ω)X 2 (ω)X 3 (ω)X 4 1 =PPPP10000 2 =PPPF10001 3 =PPFP10010 4 =PPFF10012 5 =PFPP10100 6 =PFPF10101 7 =PFFP10121 8 =PFFF10123 9 =FPPP12100 10 =FPPF12101 11 =FPFP12121 12 =FPFF12123 13 =FFPP12321 14 =FFPF12323 15 =FFFP12343 16 =FFFF12345

La tribuFdoit faire en sorte queX

0 ,X 1 ,X 2 ,X 3 etX 4 soient des variables aléatoires. Comme les 16 trajectoires sont différentes les unes des autres,Fest engendrée par la partition 1 16 }.Ainsi F=ensemble de tous les événements deΩainsi que∅. 4

d) Quelles sont les tribus de la filtration engendrée par le processus pour les journées de lundi,

mardi, mercredi et vendredi ? F 0 F 1 ={∅,A,A c F 2 ??∅,B 1 ,B 2 ,B 3 ,B 4 ,B 1 ?B 2 ,B 1 ?B 3 B 1 ?B 4 ,B 2 ?B 3 ,B 2 ?B 4 ,B 3 ?B 4 B 1 ?B 2 ?B 3 ,B 1 ?B 2 ?B 4 B 1 ?B 3 ?B 4 ,B 2 ?B 3 ?B 4 oùB 1 ={PPPP,PPPF,PPFP,PPFF} B 2 ={PFPP,PFPF,PFFP,PFFF} B 3 ={FPPP,FPPF,FPFP,FPFF} B 4 ={FFPP,FFPF,FFFP,FFFF} F 4 =F e) Interprétez, en fonction de l"information disponible, la structure d"information que vous avez construite à la question précédente pour la journée du mercredi. F 2 ?∅,B 1 ,B 2 ,B 3 ,B 4 ,B 1 ?B 2 ,B 1 ?B 3 B 1 ?B 4 ,B 2 ?B 3 ,B 2 ?B 4 ,B 3 ?B 4 B 1 ?B 2 ?B 3 ,B 1 ?B 2 ?B 4 B 1 ?B 3 ?B 4 ,B 2 ?B 3 ?B 4 oùBquotesdbs_dbs7.pdfusesText_13

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