LES SUITES NUMERIQUES
( la table de la calculatrice permet de conjecturer le sens de variation d'une suite). Méthode 1 : (la plus utilisée). On calcule la différence en fonction.
Comportement dune suite
On peut conjecturer la façon dont la suite évolue c'est à dire son sens de variation. On dira ici que la suite (un) est croissante.
LA CALCULATRICE POUR CONJECTURER ET VÉRIFIER LES
c) Construire le tableau de variations de f. 3) a) Recopier et compléter le tableau suivant où les valeurs numériques de f (x) seront arrondies à 10.
Première S - Comportement dune suite Problèmes
2) Méthodes pour étudier le sens de variation d'une suite on étudie les variations de la fonctions sur [0 ; +? [ ... Prouver la conjecture faite au 2.
Calculatrice TI 82 stats.fr Suites
Pour calculer les termes et représenter graphiquement une suite la calculatrice doit être en Conjecturer le sens de variation et la limite de la suite.
VARIATIONS DUNE FONCTION
On dit qu'une fonction croissante conserve l'ordre et qu'une fonction décroissante renverse l'ordre. Exercice : Déterminer les variations d'une fonction. Vidéo
Variations dune suite Suite croissante - Décroissante - Premi`ere S
Pour chaque suite définie ci-dessous calculer les premiers termes `a la main
Exercice 1 : (4 points) Etudier la monotonie de la suite u. 1) un = n
À l'aide de la calculatrice conjecturer le sens de variations de la suite. (un) ainsi que sa limite éventuelle. On considère la suite (vn) définie pour
CONTINUITÉ DES FONCTIONS
Les flèches obliques d'un tableau de variation traduisent la continuité et la stricte c) À l'aide du graphique conjecturer la limite de la suite (un).
Calculatrice Casio Graph 35+ Suites
Conjecturer le sens de variation et la limite de la suite. Déterminer une valeur approchée de u100 . Exercice 2. On considère la suite définie par vn = 2 +
Chapitre 1 METHODES SUR LES SUITES - editions-ellipsesfr
1) Conjecturer le comportement d’une suite 2) Raisonner par récurrence 3) Utiliser les suites arithmétiques et géométriques 4) Étudier le comportement global d’une suite 5) Étudier le comportement asymptotique d’une suite 6) Déterminer des résultats expérimentaux 1 Comment conjecturer le comportement d’une suite
Exercices corrigés – Suites – Spécialité mathématiques
Variations d’une suite arithmétique Soit (u n) une suite arithmétique de raisonr Alors : — sir >0uest strictement croissante; — sir
Variations d’une suite
Variations d’une suite et signe de u n+1 u n Pour chaque suite d e nie ci-dessous calculer les premiers termes a la main conjecturer le sens de variations puis d emontrer la conjecture en etudiant le signe de u n+1 u n 1 (u n) est la suite d e nie pour tout entier naturel n par u n = n 3n 2 (u n) est la suite d e nie pour tout entier
Comment conjecturer le sens de variation de la suite ?
Conjecturer le sens de variation de la suite (un). Déterminer le signe du trinôme du second degré : ? x2 + 2x ? 2 . Démontrer votre conjecture. un + 1 = 0, 9un + 1, 2. On considère la suite (vn) définie pour tout entier naturel n par vn = un ? 12. Démontrer que la suite (vn) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
Comment calculer les variations de la suite ?
Dans chaque cas, préciser la fonction f, étudier ses variations sur [0, + ?[ et en déduire les variations de la suite. On considère la suite (un) définie pour tout entier naturel n par un + 1 = ? u2 n + 3un ? 2 et u0 = 1. Calculer u1, u2 et u3 . Conjecturer le sens de variation de la suite (un).
Quel est le sens de variation d'une suite ?
Découvrir la notion de sens de variation pour les suites. Étudier le sens de variation d'une suite. Une suite est croissante sur lorsque pour tout n . Une suite est décroissante sur lorsque pour tout n . On étudie le signe de . Lorsque , on étudie le sens de variation de la fonction f. Lorsque , on étudie la position du quotient par rapport à 1.
Comment pouvez-vous déterminer le sens de variation d'une suite?
Dans chaque cas, préciser f, étudier ses variations sur [ 0 ; + ? [ et en déduire les variations de la suite. On admet que les suites ci-dessous ont tous leurs termes strictement positifs. En comparant le quotient u n + 1 u n à 1, étudier le sens de variations des suites.
1 CONTINUITÉ DES FONCTIONS
Tout le cours en vidéo : https://youtu.be/9SSEUoyHh2sPartie 1 : Notion de continuité
Le mathématicien allemand Karl Weierstrass (1815 ; 1897) apporte les premières définitions rigoureuses au concept de limite et de continuité d'une fonction.1) Définition
Définition intuitive :
Une fonction est continue sur un intervalle, si sa courbe représentative peut se tracer sans lever le crayon. Méthode : Reconnaître graphiquement une fonction continueVidéo https://youtu.be/XpjKserte6o
Étudier graphiquement la continuité des fonctions et définies et représentées ci-dessous
sur l'intervalle -2;2Correction
La courbe de la fonction peut se tracer sans lever le crayon, elle semble donc continue sur l'intervalle -2;2 La courbe de la fonction ne peut pas se tracer sans lever le crayon, elle n'est donc pas continue sur l'intervalle -2;2Cependant, elle semble continue sur
-2;1 et sur 1;2Définition : Soit une fonction définie sur un intervalle contenant un réel .
- est continue en si : lim - est continue sur si est continue en tout point de .Théorème : Si une fonction est dérivable sur un intervalle , alors elle est continue sur cet
intervalle. - Admis - 2Exemples et contre-exemples :
est continue en a est continue en a est continue en a n'est pas continue en a n'est pas continue en a2) Cas des fonctions de référence
Les fonctions suivantes sont continues sur l'intervalle donné.Fonction Intervalle
Polynôme ℝ
0;+∞
1 -∞;0 et0;+∞
sin ℝ cos ℝ3) Opérations sur les fonctions continues :
Propriétés :
et sont deux fonctions continues sur un intervalle . (∈ℕ) et sont continues sur . Si ne s'annule pas sur , alors est continue sur . Si est positive sur , alors B est continue sur . Remarque : Dans la pratique, les flèches obliques d'un tableau de variations traduisent la continuité et la stricte monotonie de la fonction sur l'intervalle considéré. 3 Méthode : Étudier la continuité d'une fonction définie par morceauxVidéo https://youtu.be/03WMLyc7rLE
On considère la fonction définie sur ℝ par =CLa fonction est-elle continue sur ℝ ?
Correction
Les fonctions ⟼-+2, ⟼-4 et ⟼-2+13 sont des fonctions polynômes
donc continues sur ℝ.Ainsi la fonction est continue sur
-∞;3 , sur 3;5 et sur5;+∞
Étudions alors la continuité de en 3 et en 5 : - lim =lim -+2=-3+2=-1 lim =lim -4=3-4=-1Donc : lim
=lim =(3)Et donc la fonction est continue en 3.
- lim =lim -4=5-4=1 lim =lim -2+13=-2×5+13=3La limite de en 5 n'existe pas. On parle de limite à gauche de 5 et de limite à droite de 5.
La fonction n'est donc pas continue en 5.
La fonction est continue sur
-∞;5 et sur5;+∞
En représentant la fonction , on peut
observer graphiquement le résultat précédent. Partie 2 : Théorème des valeurs intermédiairesExemple :
On donne le tableau de variations de la
fonction . 4 Il est possible de lire dans le tableau, le nombre de solutions éventuelles pour des équations du type L'équation =18 possède 1 solution comprise dans l'intervalle -1;1 L'équation =0 possède 3 solutions chacune comprise dans un des intervalles -4;-3 -3;-1 et -1;1 L'équation =-3 ne possède pas de solution. L'équation =3possède 2 solutions : l'une égale à -3, l'autre comprise dans l'intervalle -1;1Théorème des valeurs intermédiaires :
On considère la fonction continue sur l'intervalle [;]. Pour tout réel compris entre ()et (), l'équation = admet au moins une solution comprise entre et . Dans le cas où la fonction est strictement monotone sur l'intervalle , alors la solution est unique. - Admis - 5Dans la pratique :
Pour démontrer que l'équation
=0 admet une unique solution sur l'intervalle [;], on démontre que :1. est continue sur [;],
2. change de signe sur [;],
3. est strictement monotone sur [;],
Les conditions 1 et 2 nous assurent que des solutions existent. Avec la condition 3 en plus, nous savons que la solution est unique. Méthode : Appliquer le théorème des valeurs intermédiaires (1)Vidéo https://youtu.be/fkd7c3IAc3Y
On considère la fonction définie sur ℝ par -1.1) Démontrer que l'équation
=0 admet une unique solution sur l'intervalle 1;22) À l'aide de la calculatrice, donner un encadrement au centième de la solution .
Correction
1) • La fonction est continue sur l'intervalle
1;2 , car une fonction polynôme est continue sur ℝ. 1 =1 -1 -1=-1<0 2 =2 -2 -1=3>0 Donc la fonction change de signe sur l'intervalle 1;2 =3 -2=(3-2)Donc, pour tout de
1;2 >0. La fonction f est donc strictement croissante sur l'intervalle 1;2 ➡ D'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation =0 admet alors une unique solution sur l'intervalle 1;22) A l'aide de la calculatrice, il est possible d'effectuer des
" balayages » successifs en augmentant la précision.Vidéo TI https://youtu.be/MEkh0fxPakk
Vidéo Casio https://youtu.be/XEZ5D19FpDQ
Vidéo HP https://youtu.be/93mBoNOpEWg
La solution est comprise entre 1,4 et 1,5.En effet :
1,4 ≈-0,216<0 1,5 ≈0,125>0 6 La solution est comprise entre 1,46 et 1,47.En effet :
1,46 ≈-0,019<0 1,47 ≈0,0156>0On en déduit que : 1,46<<1,47.
Remarque :
Une autre méthode consiste à déterminer un encadrement par dichotomie : Méthode : Appliquer le théorème des valeurs intermédiaires (2)Vidéo https://youtu.be/UmGQf7gkvLg
On considère la fonction définie sur ℝ par -4 +6.Démontrer que l'équation
=2 admet au moins une solution sur [-1 ; 4].Correction
est continue sur [-1 ; 4] car une fonction polynôme est continue sur ℝ. -1 -1 -4 -1 +6=1 4 =4 -4×4 +6=6Donc 2 est compris entre
et➡ D'après le théorème des valeurs intermédiaires, on en déduit que l'équation
2 admet au moins une solution sur l'intervalle [-1 ; 4].
Remarque : Ici, on n'a pas la stricte monotonie de , donc on n'a pas l'unicité de la solution.
Partie 3 : Application à l'étude de suites
Théorème :
Soit une fonction continue sur un intervalle et soit une suite ( ) telle que pour tout , on a : ∈ etSi (
) converge vers alors - Admis - Méthode : Étudier une suite définie par une relation de récurrence du typeVidéo https://youtu.be/L7bBL4z-r90
Vidéo https://youtu.be/LDRx7aS9JsA
7Soit (
) la suite définie par =8 et pour tout entier naturel , =0,85 +1,8.1) Dans un repère orthonormé, on considère la fonction définie par
=0,85+1,8. a) Tracer les droites d'équations respectives =0,85+1,8 et =. b) Dans ce repère, placer sur l'axe des abscisses, puis en utilisant les droites précédemment tracées, construire sur le même axe et . On laissera apparent les traits de construction. c) À l'aide du graphique, conjecturer la limite de la suite (2) En supposant que la suite (
) est convergente, démontrer le résultat conjecturé dans la question 1.c.Correction
1) a) b) - On place le premier terme
sur l'axe des abscisses. On trace l'image de par pour obtenir sur l'axe des ordonnées - On reporte sur l'axe des abscisses à l'aide de la droite d'équation =. - On fait de même pour obtenir puis c) En continuant le tracé en escalier, celui-ci se rapprocherait de plus en plus de l'intersection des deux droites. On conjecture que la limite de la suite ( ) est 12. 82) La suite (
) converge et la fonction est continue sur ℝ. La limite de la suite ( ) est donc solution de l'équationSoit : 0,85+1,8=
-0,85=1,80,15=1,8
La suite (
) converge vers 12. Afficher la représentation graphique en escalier sur la calculatrice :Vidéo TI https://youtu.be/bRlvVs9KZuk
Vidéo Casio https://youtu.be/9iDvDn3iWqQ
Vidéo HP https://youtu.be/wML003kdLRo
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