[PDF] Sujet et corrigé mathématiques bac ES 2015

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Exercice 2Corrigé

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL

Session 2015

MATHÉMATIQUES

- Série ES -

ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE

Durée de l'épreuve : 3 heures - Coefficient : 5

MATHÉMATIQUES

- Série L -

ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ

Durée de l'épreuve : 3 heures - Coefficient : 4 Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformément à la réglementation en vigueur. Le sujet est composé de 4 exercices indépendants. Le candidat doit traiter tous les exercices. Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes, à condition de l'indiquer clairem ent sur la copie. ou non fructueuse, qu'il aura développée.

Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements

entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

Avant de composer, le candidat s'assurera que le sujet comporte bien 5 pages numérotées de 1 à 5.

Baccalauréat ESA. P.M.E. P.

EXERCICE25 points

Candidatsn"ayant passuivi l"enseignementde spécialité

Depuis le 1

er janvier 2015, une commune dispose de vélos en libre service.La société Bicy- cl"Aime est chargée de l"exploitation et de l"entretien du parc de vélos.

La commune disposait de 200 vélos au 1

er janvier 2015.

La société estime que, chaque année, 15% des vélos sont retirés de la circulation à cause de

dégradations et que 42 nouveaux vélos sont mis en service.

On modélise cette situation par une suite

(u n )oùu n représente le nombre de vélos de cette commune au 1 er janvier de l"année 2015n.

1.Déterminer le nombre de vélos au 1

er janvier 2016.

2.Justifier que la suite(u

n )est définie paru 0

200 et, pour tout entier natureln, par :

u n1 0,85u n 42.

3.On donne l"algorithme suivant :

Variables:Nentier

Uréel

Initialisation :Nprend la valeur 0

Uprend la valeur 200

Traitement :Tant queN4

Uprend la valeur 0,85U42

Nprend la valeurN1

Fin tant que

Sortie :AfficherU

a.Recopier et compléter le tableau suivant en arrondissant les résultats à l"unité. Quel nombre obtient-on à l"arrêt de l"algorithme? U200

N01234

ConditionN4Vrai

b.Interpréter la valeur du nombreUobtenue à l"issue de l"exécution de cet algo- rithme.

4.On considère la suite(vn

)définie pour tout entier naturelnparv n u n 280.
a.Montrer que la suite(v n )est géométrique de raison 0,85 et de premier terme v 0 80.
b.Pour tout entier natureln, exprimerv n en fonction den. c.En déduire que, pour tout entier natureln,onau n

800,85

n 280.
d.Calculer la limite de la suite(u n )et interpréter ce résultat.

5.La société Bicycl"Aime facture chaque année à la commune 300?par vélo en circula-

tion au 1 er janvier. Déterminer le coût total pour la période du 1 erjanvier 2015 au 31 décembre 2019, chacun des termes utilisés de la suite (u n )étant exprimé avec un nombre entier. E

XERCICE25 points

Candidatsde lasérieES ayantsuivi l"enseignementde spécialité On a schématisé ci-dessous une partie du plan du métro london ien par un grapheΓdont les sommets sont les stations et les arêtes sont les lignes desse rvant ces stations. Chaque station de métro est désignée par son initiale comme indiqué dans la légende.

Centres étrangers210 juin 2015

Annales Mathématiques Bac 2015

alainpiller.fr

Maths Centres étrangers 2015

Maths es 2015Mathématiques es 2015

Baccalauréat ESA. P.M.E. P.

E

XERCICE25 points

Candidatsn"ayant passuivi l"enseignementde spécialité

Depuis le 1

er janvier 2015, une commune dispose de vélos en libre service.La société Bicy- cl"Aime est chargée de l"exploitation et de l"entretien du parc de vélos.

La commune disposait de 200 vélos au 1

er janvier 2015.

La société estime que, chaque année, 15% des vélos sont retirés de la circulation à cause de

dégradations et que 42 nouveaux vélos sont mis en service.

On modélise cette situation par une suite

(u n )oùu n représente le nombre de vélos de cette commune au 1er janvier de l"année 2015n.

1.Déterminer le nombre de vélos au 1

er janvier 2016.

2.Justifier que la suite(u

n )est définie paru 0

200 et, pour tout entier natureln, par :

u n1 0,85u n 42.

3.On donne l"algorithme suivant :

Variables:Nentier

Uréel

Initialisation :Nprend la valeur 0

Uprend la valeur 200

Traitement :Tant queN4

Uprend la valeur 0,85U42

Nprend la valeurN1

Fin tant que

Sortie :AfficherU

a.Recopier et compléter le tableau suivant en arrondissant les résultats à l"unité. Quel nombre obtient-on à l"arrêt de l"algorithme? U200

N01234

ConditionN4Vrai

b.Interpréter la valeur du nombreUobtenue à l"issue de l"exécution de cet algo- rithme.

4.On considère la suite(v

n )définie pour tout entier naturelnparv n u n 280.
a.Montrer que la suite(v n )est géométrique de raison 0,85 et de premier terme v0 80.
b.Pour tout entier natureln, exprimerv n en fonction den. c.En déduire que, pour tout entier natureln,onau n

800,85

n 280.
d.Calculer la limite de la suite(u n )et interpréter ce résultat.

5.La société Bicycl"Aime facture chaque année à la commune 300?par vélo en circula-

tion au 1 er janvier. Déterminer le coût total pour la période du 1 er janvier 2015 au 31 décembre 2019, chacun des termes utilisés de la suite (u n )étant exprimé avec un nombre entier. E

XERCICE25 points

Candidatsde lasérieES ayantsuivi l"enseignementde spécialité On a schématisé ci-dessous une partie du plan du métro london ien par un grapheΓdont les sommets sont les stations et les arêtes sont les lignes desse rvant ces stations. Chaque station de métro est désignée par son initiale comme indiqué dans la légende.

Centres étrangers210 juin 2015

Annales Mathématiques Bac 2015

alainpiller.fr

Maths Centres étrangers 2015

Maths es 2015Mathématiques es 2015

Baccalauréat ESA. P.M.E. P.

EXERCICE25 points

Candidatsn"ayant passuivi l"enseignementde spécialité

Depuis le 1

er janvier 2015, une commune dispose de vélos en libre service.La société Bicy- cl"Aime est chargée de l"exploitation et de l"entretien du parc de vélos.

La commune disposait de 200 vélos au 1

er janvier 2015.

La société estime que, chaque année, 15% des vélos sont retirés de la circulation à cause de

dégradations et que 42 nouveaux vélos sont mis en service.

On modélise cette situation par une suite

(u n )oùu n représente le nombre de vélos de cette commune au 1 er janvier de l"année 2015n.

1.Déterminer le nombre de vélos au 1

er janvier 2016.

2.Justifier que la suite(u

n )est définie paru 0

200 et, pour tout entier natureln, par :

u n1 0,85u n 42.

3.On donne l"algorithme suivant :

Variables:Nentier

Uréel

Initialisation :Nprend la valeur 0

Uprend la valeur 200Traitement :Tant queN4

Uprend la valeur 0,85U42

Nprend la valeurN1

Fin tant que

Sortie :AfficherU

a.Recopier et compléter le tableau suivant en arrondissant les résultats à l"unité. Quel nombre obtient-on à l"arrêt de l"algorithme? U200

N01234

ConditionN4Vrai

b.Interpréter la valeur du nombreUobtenue à l"issue de l"exécution de cet algo- rithme.

4.On considère la suite(v

n )définie pour tout entier naturelnparv n u n 280.
a.Montrer que la suite (vn )est géométrique de raison 0,85 et de premier terme v 0 80.
b.Pour tout entier natureln, exprimerv n en fonction den. c.En déduire que, pour tout entier natureln,onau n

800,85

n 280.
d.Calculer la limite de la suite(u n )et interpréter ce résultat.

5.La société Bicycl"Aime facture chaque année à la commune 300?par vélo en circula-

tion au 1 er janvier. Déterminer le coût total pour la période du 1 er janvier 2015 au 31 décembre 2019, chacun des termes utilisés de la suite (u n )étant exprimé avec un nombre entier.

EXERCICE25 points

Candidatsde lasérieES ayantsuivi l"enseignementde spécialité On a schématisé ci-dessous une partie du plan du métro london ien par un grapheΓdont les sommets sont les stations et les arêtes sont les lignes desse rvant ces stations. Chaque station de métro est désignée par son initiale comme indiqué dans la légende.

Centres étrangers210 juin 2015

Annales Mathématiques Bac 2015

alainpiller.fr Maths Centres étrangers 2015Maths es 2015Mathématiques es 2015 1 alainpiller. fr 1.

Déterminons le nombre de vélos au 1

er janvier 2016:

Il s'agit de calculer U

1 U 1

1 - 15% ) U

0 + 42 U 1 = 0, 85 x 200 + 42 => U 1 = 216 vélos.

Ainsi, au 1

er janvier 2016, il y aura:

216 vélos.

2.

Justifions que, pour tout entier naturel n, U

n 1 = 0, 85 x U n + 42:

D'après l'énoncé, au 1

er janvier 2015, la commune disposait de 200 vélos.

D'où: U

0 = 200. De plus, chaque année leur nombre baisse de 15% et augmente de 40 nouvelles unités.

Soient:

U n 1 , le nombre de vélos au 1 er janvier (

2015 + ( n + 1 ) ),

U n , le nombre de vélos au 1 er janvier (

2015 + (

n

Pour tout entier naturel n, le nombre U

n 1 de vélos est égal au nombre U n de vélos diminué de 15% et augmenté de 42 " nouveaux vélos. "

Donc pour tout entier naturel n:

U n 1 = U n - 15% U n + 42 <=> U n 1 = 0, 85 U n + 42.

EXERCICE 2

[ Centres Étrangers 2015 ] 2 alainpiller. fr 3. a. Recopions et complétons le tableau en arrondissant à l'unité

Le tableau complété est le suivant:

Valeur de U200212222231238

Valeur de N01234

Condition N < 4VraiVraiVraiVraiFaux

Déterminons le nombre obtenu à l'arrêt de l'algorithme: Le nombre obtenu, à l'arrêt de l'algorithme, est:

U = 238, pour N = 4.

3. b.

Interprétons la valeur de U obtenue:

Cela signifie que la commune possédera 238 vélos en 2019 (

2015 + 4 ).

4. a.

Montrons que (

V n ) est géométrique et déterminons V 0 et q: V n = U n - 280 V n 1 = U n 1 - 280 <=> V n 1

0, 85 U

n + 42 ) - 280 (1 ). Or: V 0 = U 0 - 280 => V 0 = - 80 et U n = V n + 280.

Ainsi:

(1 ) <=> V n 1 n => V n 1 = 0, 85 V n

Par conséquent, (

V n ) est bien une suite géométrique de raiso = 0, 85 et de premier terme V 0 = - 80. 4. b.quotesdbs_dbs50.pdfusesText_50

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