[PDF] Première Spécialité - ChingAtome

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Première spécialité / Second degré: fonctions, variations,inéquations

ChingEval:

8 exercices disponibles pour l"évaluation par QCM

1.

Rappels

E.1

Compléter les tableaux de signe ci-

dessous: 1 x 1+1 1x 2x+ 1 (1x)(2x+1) 2 x 1+1 x3 2x+ 4 (x3)(2x+4) 2.

Tableau de variations

(+2 exercices pour les enseignants)

E.2x1+1

Variations def

b=2a 1 1 4a x1+1

Variations def

b=2a +1+1 4a

Poura<0Poura>0

Dresser le tableau de variations des fonctions polynômiales du second degré ci-dessous: af(x) = 3x23x+ 2 bg(x) =x22x+ 3 E.3

Pour chacune des fonctions, dresser le

tableau de variations et donner les caractéristiques de leur extréma:

1f(x) =3x2+ 9x2

2g(x) = 3x2+ 2x+ 2

E.4

Pour chacune des fonctions, dresser le

tableau de variations et donner les caractéristiques de leur extréma:

1f:x7!1

6 x2+1 4 x+ 1 3x1 3.

Tableau de variations et racines

(+1 exercice pour les enseignants) E.5

Soithla fonction définie par la relation:

h (x) = 4x2+ 2x+ 1 1

Dresser le tableau de variations de la fonctionh.

2 Justifier que la fonctionhne s"annule jamais surR. E.6

Soitfla fonction définie par la relation:

f(x) = 2x2+ 3x+ 1 1

Dresser le tableau de variations de la fonctionf.

2 Justifier que la fonctionfs"annule en deux valeurs. E.7

Soitgla fonction définie par la relation:

g(x) =4x2+ 4x1 1

Dresser le tableau de variations de la fonctiong.

2 Justifier que la fonctiongs"annule en une unique valeur qu"on précisera. 4.

Problèmes et extrémums

(+2 exercices pour les enseignants) E.8

On veut construire le long d"un bâtiment

une aire de jeu rectangulaire. De plus, on souhaite que les di- mensions de ce rectangle soient supérieures ou égales à10m. Cet espace de jeu est entouré sur trois côtés d"une allé de3m de large comme l"indique le croquis ci-dessous. 3 yAire de jeu

B^atiment

xA BC D L"ensemble est clôturé sur les trois côtés[AB],[BC]et[CD]. https://chingmath.fr On s"intéresse à la longueurLde la clôture:

L=AB+BC+CD.

On notexetyles dimensions en mètres de l"aire de jeu(la valeur dexet deysont nécessairement positifs). On dispose de 100 mètres de clôture qu"on souhaite entière- ment utilisé: 1 a Exprimer, dans ces conditions, la valeur deyen fonc- tion dex. b Justifier que la valeur dexdoit être inférieure à 44. 2 Déterminer les dimensions afin que les 100 mètres de clô- tures soient utilisés et que l"aire de jeu soit maximale. E.9

Dans son champ, un agriculteur possède

un poulailler de forme rectangulaire et de dimensions5met

2m. Il souhaite construire un enclos comme l"indique la figure

ci-dessous avec17mde clôture:2m y x 5m Les nombresxetyreprésentent les dimensions de ce champs.

Le poulailler est représenté par la partie hachurée, la clôtureest représentée en pointillés et la partie extérieure dédiée aux

poules est représentée par la partie blanche. On noteAl"aire de la partie extérieure.1Etablir la relation suivante entrexety: x+y= 12 2 Démontrer que l"aire de l"espace extérieur a pour expres- sion:A(x)=x2+12x10 3 Dresser le tableau de variations de la fonctionAsurR. 4 Déterminer les valeurs dexet deypour que l"aire de l"espace extérieur réservé aux poules soient maximale. E.10

La figure ci-dessous est composé du seg-

ment[AB]mesurant6cmet d"un pointMappartement au segment [AB].

Le demi-cercleC1(resp.C2,C3)admet le segment[AB]

(resp.[MB],[AM])pour diamètre. ABMC 1 C 2 C 3 On notexla longueur du segment[AM]. Déterminer pour quelle(s)valeur(s)dexl"aire du domaine hachurée est maxi- male. 5.

Forme canonique et factorisation

(+1 exercice pour les enseignants) E.11

On considère la fonctionfdéfinie sur

Rpar la relation:

f(x) = 2x216x+ 30 1 Etablir que la fonctionfadmet pour forme canonique: f(x) = 2[(x4)21] 2 En déduire factoriser l"expression de la fonctionfsous la forme de deux facteurs de degré1. Indication:la fonctionfadmet une factorisaiton de la forme:f(x)=2(ax+b)(cx+d)oùa,b,c,d2R 3

Dresser le tableau de signes de la fonctionf.

E.12

On considère la fonctionfdéfinie sur

Rpar la relation:

f(x) = 6x29x6 1

Montrer que l"expression def(x)peut s"écrire:

f(x) = 6ï x3 4 225
16 2

En remarquant que

25
16 =(5 4

2, factoriser l"expression de

la fonctionfsous la forme de deux facteurs de degré1. 3

Dresser le tableau de signes de la fonctionf.

6.

Introduction: racines, factorisation et signes

E.13

On considère le polynôme:P= 3x2+

3x18 1

Déterminer les racines du polynômeP.

On notex1etx2les deux racines du polynômeP.

2 a

Développer l"expression

(xx1)(xx2). b

En déduire une factorisation du polynômeP.

c

Dresser le tableau de signe de l"expressionPsurR.

E.14

On considère le polynôme:P=

9x2+ 6x+ 15

1

Déterminer les racines du polynômeP.

On notex1etx2les deux racines du polynômeP.

2 a

Développer l"expression

(xx1)(xx2). b

En déduire une factorisation du polynômeP.

c

Dresser le tableau de signe de l"expressionPsurR.

E.15

On considère le polynôme:P=

2x28x+ 16

1

Déterminer les racines du polynômeP.

Indication:on donnera ces racines sous la forme "a+bp c" oùa,b,c2Z

On notex1etx2les deux racines du polynômeP.

2 a

Développer l"expression

(xx1)(xx2). b

En déduire une factorisation du polynômeP.

c

Dresser le tableau de signe de l"expressionPsurR.

https://chingmath.fr

7.Factorisations(+3 exercices pour les enseignants)

E.16Donner la forme factorisée des expres-

sions suivantes: a3x23x6 b2x2+ 12x+ 18 E.17

Factoriser, si possible, les polynômes du

second degré ci-dessous: ax2+ 2x+ 1 b3x24x+ 2 c3x2+ 4x1 Indication:présenter les résultats sous la forme:(ax+b)(cx+d)ou(ax+b)2aveca,b,c,d2Z E.18

Factoriser, si possible, les expressions

suivantes: a8x224x+ 18 b3x2+x+ 1 c4x2+x+ 3 Indication:présenter les résultats sous la forme:(ax+b)(cx+d)ou(ax+b)2aveca,b,c,d2Z E.19

1Factoriser l"expression:2x23x+5.2Pour chaque proposition, une seule réponse est correcte.

Cochez la case correspondant.

Indication:on utilisera le résultat de la question 1 a

La forme de factorisée dex23

2 x+5 2 est: x+ 5)(1x) x+5 2 (1x) x+ 5)( 11 2 x) x+5 2 1 2 1 2 x) b

La forme de factorisée de2x23x+5+(1x)est:

2x+ 5)(1x)

2x+ 5)x

2x+ 6)(1x)

2x+ 6)(2x)

c

La forme de factorisée de2(x+1)23(x+1)+5est:

2x+ 6)(1x)

2x+ 6)(2x)

(2x+ 7)x

2x+ 7)(2x)

8.

Factorisations (degré 3)

E.20

On considère la fonctionfdéfinie sur

Rpar la relation:

f(x) =x37x6 1 Vérifier que le nombre3est un zéro de la fonctionf. Le polynômex37x6admet le nombre3pour racine. Il admet donc une factorisation de la forme: x

37x6=(x3)(ax2+bx+c)oùa,b,c2R

2 a Poura,b,cdes nombres réels, vérifier l"identité suiv- ante:(x3)(ax2+bx+c)=ax3+(b3a)x2+(c3b)x3c b

Déterminer les valeurs deaetbvérifiant:

a=1;b3a= 0;c3b=7;3c=6 c En déduire la forme factorisée de la fonctionfen fac- teurs de degré 1. E.21

On considère la fonctionfdéfinie sur

Rdont l"expression est:f(x)=2x37x2+4x+3

1 Déterminer les nombres réelsa,b,créalisant l"égalité: f(x) =(2x3)(ax2+bx+c) 2 En déduire la forme factorisée de la fonctionfen produit de facteurs de degré1. 9.

Tableau de signes

(+2 exercices pour les enseignants) E.22

Etablir le tableau de signes des expres-

sions suivantes: a3x2+4x4 b4x2+2x+6 f2x2+11x+5 E.23

Dresser le tableau de signes de

chacune des expressions ci-dessous: a2x2+9x+10 b12x231x+20 c5x23x1 10.

Tableau de signes et inéquation

(+2 exercices pour les enseignants) E.24

Résoudre les inéquations suivantes:

ax23x+2>0 bx2x2<0 c9x2+12x4⩽0 E.25

Résoudre les inéquations suivantes:

a5x2+4x1<0 b4x2+2x+2⩾0 cx2+x3>0 E.26

Résoudre les inéquations:

a6x2+x1⩾0 b3x2+x+ 1<0 E.27

Résoudre les inéquations suivantes:

a10x213x+ 3⩾0 b(3x+ 1)(x2+x+ 1)<0 11.

Tableau de signe et inéquation (degré 3)

(+2 exercices pour les enseignants) E.28

On considère la fonctionfdéfinie sur

Rpar la relation:

f(x) =x34x24x+ 16 1quotesdbs_dbs29.pdfusesText_35

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