[PDF] Terminale S - Annales sur lintégration - ChingAtome

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Terminale S/Annales sur l"intégration

1.Aires et études de fonctions :

Exercice 5429

Partie 1

On s"intéresse à l"évolution de la hauteur d"un plant de maïs en fonction du temps. Le graphique ci-dessous représente cette évolution. La hauteur est en mètres et le temps en jours.Temps (en jours) 0

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220

Hauteur (en metres)

0.2

0.40.60.811.21.41.61.822.2

On décide de modéliser cette croissance par une fonction lo- gistique du type: h(t) =a

1 +be0,04t

oùaetbsont des constantes réelles positives,test la variable temps exprimée en jours eth(t)désigne la hauteur du plant, exprimée en mètres. On sait qu"initialement, pourt=0, le plan mesure0,1met que sa hauteur tend vers une hauteur limite de2m. Déterminer les constantesaetbafin que la fonctionhcorre- sponde à la croissance du plant de maïs étudié.

Partie 2

On considère désormais que la croissance du plant de maïs est donnée par la fonctionfdéfinie sur[0;250]par: f(t) =2

1 + 19e0,04t

1. Déterminerf′(t)en fonction det(f′désignant la fonc- tion dérivée de la fonctionf). En déduire les variations de la fonctionfsur l"intervalle[0;250]. 2. Calculer le temps nécessaire pour que le plant de maïs atteigne une hauteur supérieure à1,5m. 3. a. Vérifier que pour tout réeltappartenant à l"intervalle [0;250], on a:f(t) =2e0,04t e

0,04t+ 19.

Montrer que la fonctionFdéfinie sur l"intervalle[0;250]parF(t)=50ln(e0,04t+19)est une primitive de la fonctionf. b. Déterminer la valeur moyenne defsur l"intervalle[50;100]. En donner une valeur approchée à102près et inter- préter ce résultat. 4. On s"intéresse à la vitesse de croissance du plant de maïs; elle est donnée par la fonction dérivée de la fonc- tionf. La vitesse de croissance est maximale pour une valeur det. En utilisant le graphique donné en annexe, déterminer une valeur approchée de celle-ci.

Estimer alors la hauteur du plant.

Exercice réservé 5388

Soitfla fonction définie sur l"intervalle]0;+1[par: f(x) =1 + lnx x 2 et soitCla courbe représentative de la fonctionfdans un repère du plan. La courbeCest donnée ci-dessous: 2 3I -1J O Cf 1. a.

Etudier la limite defen0.

b.

Que vautlimx7!+1ln(x)

x ? En déduire la limite de la fonctionfen+1. c. En déduire les asymptotes éventuelles à la courbeC. 2. a. On notef′la fonction dérivée de la fonctionfsur l"intervalle]0;+1[. Démontrer que, pour tout réelx appartenant à l"intervalle]0;+1[: f ′(x) =12lnx x 3 b.

Résoudre sur l"intervalle

]0;+1[l"inéquation:

12lnx >0

En déduire le signe def′(x)sur l"intervalle]0;+1[. c. Dresser le tableau des variations de la fonctionf. 3. a.

Démontrer que la courbeCa un unique point

d"intersection avec l"axe des abscisses, dont on pré- cisera les coordonnées. b. En déduire le signe def(x)sur l"intervalle]0;+1[. 4. Pour tout entiern⩾1, on noteInl"aire, exprimée en unités d"aires, du domaine délimité par l"axe des ab- scisses, la courbeCet les droites d"équations respectives x=1 e etx=n. a.

Démontrer que:0⩽I2⩽e1

2 Terminale S - Annales sur l"intégration - http://new.localhost On admet que la fonctionF, définie sur l"intervalle]0;+1[ par: F(x) =2ln(x)xest une primitive de la fonctionfsur l"intervalle]0;+1[. b.

CalculerInen fonction den.

c. Etudier la limite deInen+1. Interpréter graphique- ment le résultat obtenu.

Exercice 6009

Soitfla fonction définie et dérivable surR. On note Csa courbe représentative dans le plan muni d"un repère(O;!i;!j).

Partie A

Sur les graphiques ci-dessous, on a représenté la courbeCet trois autres courbesC1,C2,C3avec la tangente en leur point d"abscisse0.I J O Cf ~i ~j C1d1 ~i ~j C2 d 2 ~i ~j C3 d 3 1. Donner par lecture graphique, le signe def(x)selon les valeurs dex. 2. On désigne parFune primitive de la fonctionfsurR. a. A l"aide de la courbeC, déterminerF′(0)etF′(2). b. L"une des courbesC1,C2,C3est la courbe représen- tative de la fonctionF. Déterminer laquelle en justifiant l"élimination des deux autres.

Partie B

Dans cette partie, on admet que la fonctionfévoquée dans la partieAest la fonction définie surRpar: f(x) = (x+ 2)e1 2 x 1. L"observation de la courbeCpermet de conjecturer que la fonctionfadmet un minimum. a.

Démontrer que pour tout réelx:f′(x) =1

2 (x+4 )e12 xb.En déduire une validation de la conjecture précédente.

2.On pose:I=∫

1 0 f(x)dx. a.

Interprêter géométriquement le réelI.

b.

Soientuetvles fonctions définies surRpar:

u(x) =x;v(x) = e1 2 x

Vérifier que:f= 2(u′v+uv′).

c. En déduire la valeur exacte de l"intégraleI. 3.

On donne la fonctionfde l"algorithme ci-dessous:

Fonctionf(n)

s 0 Pour kallant de0àn1 s s+1 n f€k n

Fin de boucle

Renvoyers

On notesnle nombre renvoyé par la fonctionf

lorsqu"elle est appelé avec l"entiernstrictement positif. a. Justifier ques3représente l"aire, exprimée en unités d"aire, du domaine hachuré sur le graphique ci-dessous où les trois rectangles ont la même largeur. I J O C b. Que dire de la valeur renvoyée par la fonctionflorsque la valeur passée en argumentn, lors de l"appel, devient grand?

Exercice 6409

Sur le graphique ci-dessous, on a tracé, dans le plan muni d"un repère orthonormé(O;!i;!j), la courbe représenta- tiveCd"une fonctionfdéfinie et dérivable sur l"intervalle]0;+1[. ~i ~j AB C

On dispose des informations suivantes:

les pointsA,B,Cont pour coordonnées respectives

1;0),(1;2),(0;2);

la courbeCpasse par le pointBet la droite(BC)est tangente àCenB; il existe deux réels positifsaetbtels que pour tout réel Terminale S - Annales sur l"intégration - http://new.localhost strictement positifx:f(x)=a+blnxx

1.a.En utilisant le graphique, donner les valeurs def(1)

etf′(1). b. Vérifier que pour tout réel strictement positifx: f ′(x) =(ba)blnx x 2 c.

En déduire les réelsaetb.

2. a.

Justifier que pour tout réelxappartenant à

l"intervalle]0;+1[,f′(x)a le même signe quelnx. b. Déterminer les limites defen0et en+1. On pourra remarquer que pour tout réelxstrictement positif: f(x) =2 x + 2lnx x c. En déduire le tableau de variations de la fonctionf. 3. a.

Démontrer que l"équationf(x)=1admet une

unique solutionsur l"intervalle]0;1]. b. Par un raisonnement analogue, on démontre qu"il ex- iste un unique réelde l"intervalle]1;+1[tel que: f()=1.

Déterminer l"entierntel que:n< 4.

On donne l"algorithme ci-dessous:

a 0 b 1

Tant queba>0,1

m 1 2 (a + b)

Sif(m)<1

Alors a m Sinon b m

Fin de Si

Fin de Tant quea.Exécuter pas à pas cet algorithme et compléter dans le tableau ci-dessous les valeurs prises successivement par les variablesa,betm.Etape 1Etape 2Etape 3Etape 4Etape 5 a 0 b 1 ba m b. Que représentent les valeurs des variablesaetblors de la fin de l"exécution de cet algorithme? c. Modifier l"algorithme ci-dessous pour que les valeursa etben fin d"exécution de l"algorithme soient les deux bornes d"un encadrement ded"amplitude101. 5. Le but de cette question est de démontrer que la courbe

Cpartage le rectangleOABCen deux domaines d"aires

égales.

a.

Justifier que cela revient à démontrer que:

∫1 1 e f(x)dx= 1 b. En remarquant que l"expression def(x)peut s"écrire 2 x +21
x lnx, terminer la démonstration.

2.Aires, études de fonctions et suites :

Exercice 3257

Partie A - Etude préliminaire d"une fonctionfdéfinie surRparφ(x)=(2x)ex1 1. Déterminer les limites de la fonctionφen1et+1. 2. Montrer que la fonctionφest continue et dérivable sur

Ret étudier le signe de sa dérivée.

En déduire les variations de la fonctionφet préciser les valeurs deφ(2),φ(0),φ(1)etφ(2). 3. Prouver que la fonctionφs"annule uniquement en deux valeurs que l"on nommeraet. On prendra<. Etudier alors le signe de la fonctionφsur l"ensemble des réels et récapituler cette étude dans un tableau. 4. A l"aide de la calculatrice, fournir un encadrement d"amplitude102des valeurset. 5.

Montrer que:e=1

2 Partie B - Etude d"une fonctionfdéfinie parf(x)= ex1 e xxet calcul intégral. 1.

Montrer queexxne s"annule pas surR. En déduire

quefest définie surR. 2.

Déterminer les limites de la fonctionfen1et+1.

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