[PDF] Terminale ES - Convexité - ChingAtome

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Terminale ES/Convexité

1.Introduction :

Exercice 7788

On considère les deux fonctionsfetgdécroissantes représen- tées ci-dessous:-1 2 3I -12 3 J OCf -2 -1 2I -2-12 J O Cg Laquelle de ces deux courbes décroit "de moins en moins"?

Exercice 7795

On considère la fonctionfdéfinie surRpar l"expression: f(x) = 4xe0,5x+1 Etudier le signe surRde la fonctionf′′, dérivée seconde de la fonctionf.

Exercice 7797

On considère la fonctionfdéfinie surRpar:

f(x) =xex23 Déterminer le signe surRde la fonctionf′′, dérivée seconde de la fonctionf.

Exercice réservé 7796

On considère la fonctionfdéfinie surRpar:

f(x) =(63x)e2x+1 Déterminer le signe surRde la fonctionf′′, dérivée seconde de la fonctionf.

2.Convexité: graphiquement :

Exercice 7011

On a tracé ci-dessous la représentation graphique de la dérivée secondek′′d"une fonctionkdéfinie sur[0;+1[. 2 3I -12 3 J O Ck00 Parmi les réponses proposées, laquelle est correcte? 1. kest concave sur l"intervalle[1;2]. 2. kest convexe sur l"intervalle[0 ,2]. 3. kest convexe sur[0;+1[. 4. kest concave sur[0;+1[.

Exercice réservé 7059

On considère une fonctionPdéfinie et dérivable sur l"intervalle[0;60]. On donne, ci-dessous, la courbe représentativeCde la fonc- tionP.

05 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60

24681012141618

C A partir d"une lecture graphique répondre aux questions qui suivent: 1. En argumentant la réponse, donner le signe deP′(54), oùP′est la fonction dérivée de la fonctionP. 2. Donner un intervalle sur lequel la fonctionPest convexe. 3. Donner, à l"unité près, les solutions de l"équation:

P(x)=10.

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Exercice 7054

Dans le repère orthogonal ci-dessous trois courbesC1,C2et C

3définies sur[3;7]ont été représentées.

L"une de ces fonctions représente une fonctionf, une autre représente sa dérivée et une troisième représente sa dérivée seconde. Expliquer comment ces représentations graphiques permet- tent de déterminer la convexité de la fonctionf. Indiquer un intervalle sur lequel la fonctionfest convexe.-3 -2 -1 2 3 4 5 6 7I -6-5-4-3-2-12 34
J O C3C 1 C 2

3.Convexité: étude de fonctions :

Exercice 7730

Parmi les propositions suivantes, laquelle est exacte. La fonctiongdéfinie surRparg(x)=x39xest convexe sur l"intervalle: a. 1;+1[ b. 0;+1[ c. 1;0] d. 3;3]

Exercice réservé 7702

Pour la question posée, une seule des quatre réponses est ex- acte.

Aucune justification n"est demandée.

La fonctionfest définie pour tout nombre réelxappartenant

à]0;+1[par:f(x) = e2x+ln(x)

1. la fonctionfest concave. 2. la fonctionfpossède une fonction dérivée seconde qui s"annule. 3. la fonctionfpossède une fonction dérivée seconde strictement positive. 4. la fonctionfpossède une fonction dérivée qui s"annule.

Exercice réservé 7043

Soitfla fonction définie surRpar:f(x) =xex21

C fest la courbe représentative de la fonctionfdans un repère orthonormé du plan. On notef′la fonction dérivée defetf′′la fonction dérivée seconde def. 1. a.

Montrer que pour tout réelx:

f ′(x) =(2x2+ 1)ex21 b.

En déduire le sens de variation defsurR.

2.

On admet que pour tout réelx:

f ′′(x) = 2x(2x2+ 3)ex21 Déterminer, en justifiant, l"intervalle sur lequel la fonc- tionfest convexe.

Exercice 7793

On considère la fonctionfdéfinie, pour tout réelxde l"intervalle[2;4]par:f(x)=(x+2)ex+1

On notef′la fonction dérivée def.

1. Montrer que, pour toutxde l"intervalle[2;4], on a: f ′(x) =(x+ 1)ex+1 2. Un logiciel de calcul formel donne les résultats suivants: 1 factoriser (dériver[(x+1)exp(x+1)]) xexp(x+ 1) 2 intégrer [(x+2)exp(x+1)] (x+ 3)exp(x+ 1) En utilisant ces résultats, répondre à la question suiv- ante: Déterminer un intervalle sur lequel la fonctionfest con- vexe. Justifier.

Exercice 7026

Soitfla fonction définie sur[0; 8]par:

f(x)=0,4

20ex+1+0,4

1.

Montrer quef′(x)=8ex

20ex+1)2oùf′désigne la fonc-

tion dérivée de la fonctionf. 2. Un logiciel de calcul formel donne les résultats ci- dessous: Terminale ES - Convexité - http://new.localhost

1f"(x):=8*e^(-x)/(20*e^(-x)+1)^2

f ′(x) :=8ex400(ex)2+ 40ex+ 12g(x):=Dérivée[f"(x)] g(x) :=160(ex)28ex

8000(ex)3+ 1200(ex)2+ 60ex+ 1

3

Factoriser

[g(x)]

8ex20ex1

20ex+ 1)3En s"appuyant sur ces résultats, déterminer l"intervalle

sur lequel la fonctionfest convexe.

4.Convexité et positions des tangentes :

Exercice 7794

On considère la fonctionfdéfinie sur l"intervalle]0;10]par: f(x) =xln(x)+ 2x+ 1 On noteCfla courbe représentative de la fonctionfdans le plan muni d"un repère. Montrer que la courbeCest entièrement située en dessous de chacune de ses tangentes sur l"intervalle]0; 10].

Exercice réservé 7695

On considère la fonctionfdéfinie sur]0;+1[par: f(x) = 3x3xln(x) On noteCfsa courbe représentative dans un repère or- thonormé etTla tangente àCfau point d"abscisse1. Quelle est la position relative deCfpar rapport àT?

5.Point d"inflexion: graphiquement :

Exercice 7050

On injecte à un patient un médicament et on mesure régulièrement, pendant15heures, la concentration, en grammes en litres, de ce médicament dans le sang. On obtient la courbe fournie ci-dessous:Temps (en heure) 0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Concentration (g/`)

0,2

0,40,60,811,21,41,61,822,2

En vous aidant d"une lecture graphique et sans justifier, au bout de combien d"heures la baisse de concentration ralentit- elle?

Exercice réservé 7061

On considère une fonctionfdéfinie sur l"intervalle[0;5]. On a représenté ci-dessous la courbe(Cf′)de la fonction dérivéef′ainsi que la courbe(Cf′′)de la fonction dérivée secondef′′sur l"intervalle[0;5]. -4 -2 2 4 (Cf?) (Cf??)A B Le pointAde coordonnées(1;0)appartient à(Cf′)et le pointBde coordonnées(2;0)appartient à la courbe(Cf′′). 1. Déterminer le sens de variation de la fonctionf. Justi- fier. Terminale ES - Convexité - http://new.localhost

2.Déterminer sur quel(s)intervalle(s), la fonctionfest

convexe. Justifier.3.La courbe defadmet-elle des points d"inflexion? Justi- fier. Si oui, préciser leur(s)abscisse(s).

6.Point d"inflexion: étude de fonctions :

Exercice 7020

On considère la fonctionfdéfinie sur l"intervalle]0;15]par: f(x)=9x2(12lnx)+10. La courbe représentative defest donnée ci-dessous:00,511,52 5 10 15 20 On admet quef′′(x)=36lnx36oùf′′désigne la dérivée seconde de la fonctionfsur l"intervalle]0;1,5]. Montrer que la courbe représentative de la fonctionfadmet un point d"inflexion dont l"abscisse este1.

Exercice réservé 7052

La production mensuelle de légumes permettra de livrer au maximum1000paniers par mois. Le coût total de produc- tion est modélisé par la fonctionCdéfinie sur l"intervalle[0;10]par:

C(x) =1

48
x4+5 16 x3+ 5x+ 10 Lorsquexest exprimé en centaines de papiers,C(x)est égal au coût total exprimé en centaines d"euros. On admet que, pour tout nombrexde l"intervalle[0;10], le coût marginal est donné par la fonctionCm=C′oùC′est la fonction dérivée deC. 1. CalculerCm(6), le coût marginal pour six cents paniers vendus. 2. On noteC′′la fonction dérivée seconde deCet on a: C ′′(x) =1 4 x2+15 8 x a. Déterminer le plus grand intervalle de la forme [0;a] inclus dans [0;10]sur lequel la fonctionCest con- vexe. b.

Que peut-on dire du point d"abscisseade la courbe

de la fonctionC? Interpréter cette valeur deaen termes de coût.

Exercice 7791

On considère la fonctionfdéfinie sur l"intervalle[20;20] par: f(x) =(2x+ 30)e0,2x3 1. a.

Montrer quef′(x)=(0,4x+4)e0,2x3pour tout

réelxde l"intervalle[20;20]. b. Dresser le tableau de variations de la fonctionfsur l"intervalle[20;20].

On précisera la valeur exacte du maximum def.

2. a.

Montrer que, sur l"intervalle

[20;20], l"équation f(x)=2admet une unique solution. b.

Donner une encadrement ded"amplitude0,2.

3. Un logiciel de calcul formel donne les résultats ci- dessous: 1

Dériver

(10x+200)e0,2x+3

2x+30)e0,2x3

2

Dériver

(2x+30)e0,2x3

0,4x+4)e0,2x3

3

Dériver(0,4x+4)e0,2x3

0,08x+0,4)e0,2x3

Répondre à la question suivante en utilisant les résultats donnés par le logiciel: Déterminer le plus grand intervalle sur lequel la fonction fest convexe et préciser l"abscisse du point d"inflexion.

Exercice réservé 7729

On admet que la fonctionfest définie par:

f(x) =(x22x+ 1)e2x+6 A l"aide d"un logiciel de calcul formel, on obtient les résultats ci-dessous qui pourront être utilisés sans être démontrés:

L1f(x):=(x^2-2x+1)*e^(-2x+6)

!f(x) =(x22x+ 1)e2x+6

L2f"(x):=Dérivée[f(x)]

!f′(x) =(2x2+ 6x4)e2x+6

L3g(x):=Dérivée[f"(x)]

!g(x) =16xe2x+6+ 4x2e2x+6+ 14e2x+6

L4Factoriser[g(x)]

!2e2x+6(2x28x+ 7)

L5Résoudre[g(x)=0]

2 + 4 2 2 + 4 2

L6F(x):=Primitive[f(x)]

!F(x) =1 4 (2x2+ 2x1)e2x+6 1. Déterminer le plus grand intervalle sur lequel la fonction fest concave. 2. La courbe représentative de la fonctionfadmet-elle des points d"inflexion?

Si oui, en donner l"abscisse.

Exercice 7790

Terminale ES - Convexité - http://new.localhost On considère la fonctionfdéfinie sur l"intervalle[0;10]par: f(x) =10,5 + 100ex On notef′la fonction dérivée defsur l"intervalle[0;10]. 1. Montrer que, pour tout réelxdans l"intervalle[0;10], on a: f ′(x) =100ex

0,5 + 100ex)2

On notef′′la fonction dérivée seconde defsur l"intervalle[0;10]. Un logiciel de calcul formel fournit l"expression suivante de f ′′(x): f ′′(x) =100ex(100ex0,5)

0,5 + 100ex)32.a.Montrer que, dans l"intervalle

[0;10], l"inéquation

100ex0,5⩾0est équivalente à l"inéquation:

x⩽ln(0,005).b.En déduire le tableau de signes de la fonctionf′′sur l"intervalle[0;10]. 3. On appelleCfla courbe représentative deftracée dans un repère.

Montrer, à l"aide de la question

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