[PDF] Conception de filtres numériques

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TNSH. Garnier1Hugues GARNIERhugues.garnier@univ-lorraine.frConceptionde filtres numériques

TNSH. Garnier2Objectifs de la conception de filtres numériquesOn veut réaliser un filtrage donnédéfiniàpartirdesaréponsefréquentielleDéterminerl'équationauxdifférencesquipermetderéaliserlefiltrageDéterminer Net Mainsi que la valeur des coefficients aiet bifc11f0fc2

H(f)Filtree(k)s(k)

TNSH. Garnier3Caractérisation d'un filtreEn régime harmonique permanent On définit :Retard de phase Retard de groupeUn filtre est défini par sa réponse fréquentielle en amplitude et en phase

TNSH. Garnier4Illustration du concept de retour de groupeLe retard de groupe tgrmesure le temps mis par l'énergie pour atteindre la sortie du filtre lorsque le signal n'est pas purement sinusoïdal (propagation de paquets d'onde par exemple comme ci-dessus)Filtree(k)s(k)e(k)s(k)kk

TNSH. Garnier5Spécifications idéales en amplitude et phaseUn traitement n'apporte pas de distorsions s'il restitue en sortie un signal de même forme qu'en entrée. s(k)peut subir une amplification et un retardΙH(f)Ι0 fcf-fcj(f)0 fcf-fc

s(k)=Ke(k-k0)S(f)=Ke-j2πfk0TeE(f)H(f)=Ke-j2πfk0TeSpécifications en amplitude :Le filtre idéal doit avoir une réponse en amplitudeconstante dans la bande passante Spécifications en phase :Le filtre idéal doit avoir unephase linéaire dans la bande passante ce qui se traduit par un retard de phaseconstant(retard de groupe nul)

ϕf()=-2πk0Tef f

TNSH. Garnier6Types de distorsion en pratiqueDistorsiond'amplitude-Si la réponse fréquentielle en amplitude n'est pas constante dans la bande passante, les composantes fréquentielles ne sont pas toutes amplifiées ou atténuées de la même manière fréquence(Hz)Phase (deg)10-210-1100-90-450•Distorsion de phase-Si la réponse fréquentielle en phase n'est pas linéaire dans la bande passante, les composantes fréquentielles ne sont pas toutes retardées de la même manière

TNSH. Garnier7Réponse fréquentielle des 4 filtres idéauxSelon la bande à supprimer, on distingue 4 types de filtresfc1f0Passe-bas

H(f)fc1f0Passe-haut

H(f)1fc1f0fc2Passe-bande

H(f)fc11f0fc2Coupe-bande

H(f) TNSH. Garnier8Réponse impulsionnelle d'un filtre passe-bas idéal

H(f)=1 si f h(k)=TFtd-1H(f)()H(f)0 fcfe/2-fc1fe f

h(k)= H(f) ej2πfkTedf-fe/2fe/2∫= 1 ej2πfkTedf-fcfc∫h(k)=1πkTeej2πkTefc-ej2πkTefc2j⎛⎝⎜⎜⎞⎠⎟⎟=sin2πkTefc()πkTeh(k)=2fcsinc2fckTe()

TNSH. Garnier9Réponse impulsionnelle d'un filtre numériquepasse-bas idéalh(k)≠ 0k< 0, réponse non causale h(±∞)≠ 0réponse infinie ! Filtre idéal non réalisableEn pratique, on va approcher le filtre idéal !

h(k)=2fcsinc2fckTe()2fck

TNSH. Garnier10Réponse impulsionnelle d'un filtre passe-haut idéald'après celle du passe-bas idéal

HPH(f)=1 si f≥fc0 si f

HPH(f)=1-HPB(f)HPH(f)0 fcfe/2-fc1f-fe/2

hPH(k)=δ(k)-2fcsinc2fckTe()Lien entre HPH(f) et HPB(f)

TNSH. Garnier11Réponse impulsionnelle d'un filtre passe-bande idéald'après celle du passe-bas idéal

HBP(f)=HPB(f+f0)+HPB(f-f0)modulationHBP(f)0 f0-fcf0f0+fcfe/2-f01f-fe/2Lien entre HBP(f) et HPB(f)

TNSH. Garnier12Contraintes pratiquessur la réponse impulsionnelle pour la conception d'un filtre numériqueh(k)•Rappel-réponseimpulsionnelleh(k) = réponse du filtre lorsque l'entrée est une impulsion de Kronecker d(k)•Contraintes surh(k)-Causalité-Stabilité -Réponse finie à valeurs réellesFiltrenumériqued(k)k011k

TdSH. Garnier13Conception de filtres numériques•Concevoirunfiltrenumériqueconsisteàdéterminerlafonctiondetransfertenzdufiltre(etdoncsonéquationauxdifférences)quivaapprocheraumieuxlesspécificationssurlaréponsefréquentielleenamplitude(cellesdelaphasesontcomplexesàsatisfairesimultanément)fc1 +dp1-dpfe/2fpdaBande passanteBande atténuéeZone de transitionfa1

H(f)f

TdSH. Garnier14Principe:Ilfautrespecter(oudéfinir)lecahierdeschargesetdoncpréciser:-la(oules)fréquence(s)decoupurefcdésirée(s)-lesvaleurslimitesdelabandepassantefpetbandeatténuéefa-lesvaleurspermisesdesondulationsenbandepassantedpetatténuéeda-lalargeurdelazonedetransitionDfpermise-éventuellementl'ordremaximalpermis.fc1 +dp1-dpffpdaBande passanteBande atténuéeZone de transitionfa1

H(f)Réponse fréquentielle désirée : gabarit

TdSH. Garnier15Exemple de gabarit : filtre passe-basLaréponsefréquentielleestdéfiniepar:avecfc=0.5(fp+fa)Plusfpetfasontproches,plusl'ordreseraélevéPourunfiltreidéal,fp=fa=fcOnspécifielegabaritdufiltreendonnant:-l'ondulationenbandepassante(BP)-l'ondulationenbandeatténuée(BA)-lesfréquencesfpetfa

H(f)=1 si ffa⎧⎨⎪⎩⎪Ap(dB)=20log10(1+δp)ouδp=100.05Ap-1Aa(dB)=-20log10δaouδa=10-0.05Aafc1 +dp1-dpfe/2fpdaBande passanteBande atténuéefa1

H(f)fcApfe/2fpAaBande passanteBande atténuéeZone detransitionfa0

HdB=20log10H(f)Log(f)ZonedetransitionDiagramme de Bode en amplitudeRéponse fréquentielle en amplitude

TdSH. Garnier16Le déciBel (dB) -RappelsLediagrammedeBodeenamplitudeconsisteàtracerlemoduledeH(f),expriméendécibels(dB)Tableaudecorrespondanceentrerapportd'amplitudedessignauxsinusoïdauxd'entrée/sortieetlegainendB

HdB = 20log10H(f)()=20log10Y(f)E(f)⎛⎝⎜⎜⎞⎠⎟⎟ Fréquence (Hz)-20-1001010-1100101GaindBΙY(f)/E(f)ΙGain (dB)101.4143263.16210102010n20×nΙY(f)/E(f)ΙGain (dB)10-n-20×n0.01-400.1-200.316-100.5-60.707-3

TNSH. Garnier17Rappel des 2 types de filtres numériquesFiltresàRéponseImpulsionnelleFinie(oufiltresRIF)FiltresàRéponseImpulsionnelleInfinie(oufiltresRII)

H(z)=S(z)E(z)=bizM-ii=0M∑zM=biz-ii=0M∑1 H(z)=S(z)E(z)=biz-ii=0M∑1+aiz-ii=1N∑s(k)=-ais(k-i)i=1N∑+bie(k-i)i=0M∑s(k)=bie(k-i)i=0M∑

TdSH. Garnier18Méthodes de conception de filtres RIFIlenexistedenombreusesdont:-laméthodedelafenêtre-laméthoded'échantillonnagefréquentiel-...

TNSH. Garnier19•Si H(z)est connue, la réponse impulsionnelleh(k)est la réponse obtenue lorsqu'on envoie en entrée une impulsion de Kronecker d(k)•Si H(z)est inconnue, mais que H(f)est spécifiée, h(k)est la TFtd inverse de H(f)Principe de la méthode de la fenêtreH(z)d(k)k011

h(k)=TFtd-1H(f)()H(f)0 fcfe/2-fc1

TNSH. Garnier20Prise en compte des contraintes pratiques sur la réponse impulsionnelle d'un filtre passe-bas idéalh(±∞)≠ 0réponse infinie ! En pratique : on va tronquer (fenêtrer) la réponse impulsionnelle idéaleh(k)≠ 0k< 0, réponse non causale !En pratique : on va retarder la réponse impulsionnelle

h(k)=2fcsinc2fckTe()2fck

TNSH. Garnier21Conception de filtres RIF par la méthode de la fenêtrePrincipe1.OndétermineparTFtdinverselaréponseimpulsionnelledufiltreidéal2.Ontronquelaréponseimpulsionnelle(revientàmultiplierparunefenêtre)3.Onretardecetteréponsepourlarendrecausale4.Lesvaleurssuccessivesdelaréponseimpulsionnellesontlescoefficientsdufiltrerecherchéb(k)=h(k)

TNSH. Garnier22W(f)0f0H(f)=Hi(f)* W(f)1/2f/fe1-1-1/20h(k) =hi(k). w(k)kZoneutileApparition d'ondulation dansles bandespassante et atténuéeFenêtre rectangulaire0kw(k)M/20hi(k)kHi(f)1/2-1/4f/fe1/401-1Synthèse de filtres RIF avec la fenêtre naturelle

TNSH. Garnier23Pourdiminuerlesondulationsenbandespassanteetatténuée,onpeutchoisiruneautrefenêtre:Hamming,Hanning,Blackmann,Kaiser,...Réduction des ondulations -Fenêtrage0hi(k)kHi(f)1/2-1/4f/fe1/401-1W(f)0kw(k)M/20f0H(f)=Hi(f)* W(f)1/2f/fe1-1-1/20h(k)=hi(k). w(k)kZoneutileRéduction des ondulations dansles bandespassante et atténuéeFenêtre de Hamming

TNSH. Garnier24Exemple de synthèse sous Matlab : fir1(M,fcn,window(M+1))ordre M=5Fenêtre rectangulaireh=fir1(5,0.5,boxcar(6))h(0) = h(6) =-0.0882h(1) = h(5) = 0.1471h(2) = h(3) = 0.4412ordre M=5Fenêtre de hammingh=fir1(5,0.5,hamming(6))h(0) = h(6) =-0.0078h(1) = h(5) = 0.0645h(2) = h(3) = 0.443300fe/2fc=fe/4100fe/2fc=fe/41Réduction des ondulations mais diminution de la raideur de coupure fc=fe/4 d'où fn=fc/(fe/2)=0.5Sous Matlab, les fréquences de coupure sont normalisées par rapport à fe / 2H(f)H(f)

TNSH. Garnier25Exemple : synthèse d'un filtre passe-basavec l'interface graphique filterDesignerde MatlabSynthétiserunfiltrenumériqueRIFpasse-basayantlescaractéristiquessuivantes:-ordreM=88-fréquenced'échantillonnagefe=10kHz-fréquencecentrale:f0=1875Hz-fenêtredeBlackman

TNSH. Garnier26Synthèse de filtres RIF avec l'interface graphique filterDesignerde Matlab

TNSH. Garnier27Méthodes de conception de filtres RIIIlenexistedenombreusesdont:-laméthodedel'invarianceimpulsionnelle-laméthodequiexploitelelienentreréponsefréquentielleetlalocalisationdespôlesetdeszéros-laméthodedelatransformationbilinéaire-...

TNSH. Garnier28Lien entre pôles et zéros de H(z)et réponse fréquentielleDeszérosprochesousurlecercleunitéproduisentdesminimaauniveaudelaréponsefréquentielleenamplitude.DespôlesprochesducercleunitéproduisentdelargespicssurlaréponsefréquentielleenamplitudeIlestdoncpossible,parunplacementjudicieuxdespôlesetdeszéros,d'obtenirdesfiltresàencochesouenpeigneΙH(W)Ι

H(Ω)=H(Ω)ejϕ(Ω)Hz()=z-ejΩ0()z-e-jΩ0()z-aejΩ0()z-ae-jΩ0()z=ejΩTeencocheso zérosx pôles

TNSH. Garnier29Filtres à encoches (notch filter)pour supprimer une composante sinusoïdale parasite•But : concevoir un filtre qui supprime une et une seulecomposante sinusoïdale f0sans affecter les autres composantes fréquentielles•Solution: placer deux zéros sur le cercle unité pour supprimer la composante sinusoïdale f0et placer deux pôles proches des zéros à l'intérieur du cercle pour compenserl'effet des zéros aux autres fréquences•Remarque: si f0=0, suppression de la composante continue

Hz()=z-ejΩ0⎛⎝⎜⎞⎠⎟z-e-jΩ0⎛⎝⎜⎞⎠⎟z-aejΩ0⎛⎝⎜⎞⎠⎟z-ae-jΩ0⎛⎝⎜⎞⎠⎟=z2-2cos(Ω0)z+1z2-2acos(Ω0)z+a2Ω0=2πf0fea<1ΙH(W)Ιa: permet d'ajusterla sélectivité du filtrePlus aest proche de 1,plus le filtre est sélectif

TNSH. Garnier30Filtre à encoches (notch filter)pour supprimer une composante sinusoïdale parasiteExemple : concevoir un filtre numérique qui supprime la composante sinusoïdale f0 = 200 Hz lorsque le signal est échantillonné à fe = 2000 Hz•Fonction de transfert•Equation aux différences

TNSH. Garnier31Exemple : note de trompette contaminée par une fréquence parasite 1.Analyse spectrale pour identifier la fréquence parasiteFréquence parasite à 1200Hz

TNSH. Garnier32Autre exemple : note de trompette contaminée par une fréquence parasite 2.Concevoir et appliquer un filtre à encoche pour supprimer la fréquence parasite3.Analyse spectrale du signal filtréSpectre du signal filtréLa fréquence parasite a été supprimée

TNSH. Garnier33Filtres en peigne (comb filter)pour supprimerdes signaux périodiques•But : concevoir un filtre qui supprime les harmoniques d'un signal périodique sans affecter les autres composantes fréquentielles•Solution : mise en cascade de 2 (ou plus)filtres à encochesExemple d'application : séparation du son produit par de 2 trompettes jouant simultanément 2 notes différentes !

TNSH. Garnier34Synthèse de filtres RII par transformation bilinéaire•PrincipeOndisposed'unfiltreanalogiqueayantungabaritfréquentielrépondantaucahierdeschargesdemandées(filtredetypeButterworthparexemple)Objectif:trouverlefiltrenumériqueRIIayantuneréponsefréquentielleéquivalenteàcelledufiltreanalogiqueRemarque:lacoïncidencedesréponsesestlimitéeàlazoneutiledufiltrenumérique,soitpourdesfréquencescomprisesentre0etfe/2.

TNSH. Garnier35OnconnaîtH(s)CommentendéduireH(z)???Approximation avancée et transformation bilinéaire

s=1Teln(z)Relation non linéaire !

z=esTe≈1+Tes+...z=esTe2e-sTe2≈1+Te2s+...1-Te2s+...s=2Tez-1z+1=2Te1-z-11+z-1Transformation bilinéaire=approximation de l'intégralepar la méthode des trapèzesConserve la stabilité

s=z-1TeApproximation avancée=approximation de l'intégralepar la méthode des rectanglesNe conserve pas la stabilité !

TNSH. Garnier36Synthèse de filtre RII par la transformation bilinéaireExempleConcevoirlefiltrenumériqueéquivalentàunfiltreanalogiqueci-dessouspourunepérioded'échantillonnageTe=1s.a)DéterminerparlaméthodebilinéairelafonctiondetransfertenzdufiltreRIIéquivalent.b)VérifieraveclacommandeMatlab>>[Numd,Dend]=bilinear(Numc,Denc,Fs)c)Exprimerlafonctiondetransfertenpuissancenégativedezd)Endéduirel'équationauxdifférencesdufiltre.

H(s)=2ss2+6s+8

TNSH. Garnier37Synthèse de filtre RII par la transformation bilinéaire -ExempleTe=1sSous Matlab :>> [Numd,Dend]= bilinear([0 2 0],[1 6 8],1)Numd =0.1667 0.0000 -0.1667Dend = 1.0000 0.3333 0.0000

TNSH. Garnier38Synthèse de filtres RII par la transformation bilinéaire -ExempleComparaison des réponses fréquentielles des filtres analogique et numérique

TNSH. Garnier39Synthèse de filtres RII par la transformation bilinéaire -Exemple

H(z)=1/6z2-1/6z2+1/3zY(z)E(z)=1/6-1/6z-21+1/3z-1y(k)=-13y(k-1)+16e(k)-16e(k-2)Déduction de l'équation aux différences du filtre RII

TNSH. Garnier40Exemple : synthèse d'un filtre passe-bande avec l'interface graphique filterDesignerde MatlabConcevoirunfiltrenumériqueRIIpasse-bandeayantlescaractéristiquessuivantes:-ordre:20-fréquenced'échantillonnagefe=5kHz-fréquencecentrale:f0=500Hz-gainunitaireàlafréquencecentrale

TNSH. Garnier41Synthèse de filtres RII avec l'interface graphique filterDesignerde Matlab

TNSH. Garnier42Comparatif filtres RIF / RIIFiltres RIF •Toujours stables•Phase linéaire•Faciles àconcevoir•Pas d'équivalent en analogiqueFiltresRII•Peuvent être instables•Phase non linéaire•Ordre souvent plus faible que RIFØNécessitent moins d'opérations et de places mémoires

TNSH. Garnier43Comment supprimer des pics parasites ?

TNSH. Garnier44C'estunfiltrenumériquenonlinéairesouventutilisépour-supprimer les valeurs aberrantes (outliers) ou pics parasites sur un signalPrincipe : remplacer chaque valeur du signal par la valeur médiane calculée sur une fenêtre glissante de largeur NExemple:extraitd'unsignalcomprenant9valeurs:57781007865Lefiltremédianvaordonnerlesvaleurs:55677788100Lavaleuraberrante100seraremplacéeparlamédiane(7ici)Lasortiedufiltremédiandonneradonc:577877865Lavaleuraberranteaétéremplacéeparunevaleur"deconsensus"entrelesvaleursvoisinesUn autre filtre numérique utile à connaître :le filtre médian

TNSH. Garnier45Sous Matlab : y = medfilt1(x,N);N : Largeur de fenêtre glissante pour le calcul de la médiane

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