[PDF] ÉVALUATION DES INCERTITUDES EN T.P.

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PSI - PSI* TPDEPHYSIQUEÉVALUATION DES INCERTITUDES ENT.P.I. Erreur absolue, erreur relative.

Soit une grandeurX(une tension, une intensité,...) de valeur exacte dite valeur vraieXv, dont la valeur

mesurée estXm. L"ERREUR ABSOLUEsurXest (Xm¡Xv). C"est une grandeur algébrique.

L"ERREUR RELATIVEsurXestXm¡XvX

m. C"est une grandeur algébrique.

II. Incertitude absolue, incertitude relative.

En physique, nous ne possédons jamais la valeur vraieXvd"une grandeur. Les valeurs sont obtenues

expérimentalement donc sont approchées et l"objectif est de déterminer l"intervalle dans lequel la vraie

valeur se situe c"est-à-dire : X v2[Xm¡¢X;XmÅ¢X], où¢XÈ0 est l"INCERTITUDE ABSOLUE. Pour estimer le niveau de précision d"une mesure, il faut utiliser l"INCERTITUDE RELATIVE¢XX ou laPRÉ-

CISION100£¢XX

exprimée en %. III. Expression numérique d"un résultat, chiffres significatifs. Les chiffres utiles, qui ont un sens, sont dits significatifs.

Exemples :

-vAE0,333m·s¡13 chiffres significatifs, les zéros "avant» ne comptent pas. -vAE33,30cm·s¡1: 4 chiffres significatifs, les zéros ""après» sont significatifs.

av ecune précision d "unch iffresign ificatif,0 ,10s "écrira0,1 ,0, 38s "écrira0 ,4e t32 8s "écrira3 ·10

2.

Il est indispensable que la mesure et l"incertitude absolue aient le même nombre de chiffres après la

virgule. Par exemple :LAE43,72cm avec une incertitude absolue¢L= 0,3 cm s"écriraLAE43,7§0,3 cm etL=

0,0152§0,0007 m s"écriraL= (15,2§0,7) mm.

IV. Présentation d"un résultat de mesure.

XAEXmunit駢Xunité .X: Grandeur mesurée;Xm: Valeur lue;¢X: Incertitude absolue.

L"incertitude¢Xest le produit de l"erreur²due à l"instrument et à la lecture, par le facteur d"élargisse-

mentk:¢XAEk².

On prendrakAE2. Dans ce cas, il y a 95 % de chance que la valeur vraie soit comprise dans l"intervalle

[Xm¡2²,XmÅ2²].1

TPDEPHYSIQUELycée KléberAffichage graphique

Graphiquement, on utilisera des barres d"erreur en ordonnée (et éventuellement en abscisse).

Avec le logiciel LibreOffice Calc :

²remplir une colonne avec les incertitudes de chaque mesure;

²double cliquer sur le graphe ou clic droit;

²dans l"onglet "Insertion», choisir "Barres d"erreurs Y»;

²cocher "Plage de cellules»;

²entrer les coordonnées de la colonne des incertitudes. Pour afficher l"équation de la droite de régression éventuelle :

²double cliquer sur le graphe;

²dans l"onglet "Insertion», choisir "Courbe de tendance...»; ²cocher "Afficher l"équation».V. Erreurs sur une seule mesure (erreur de type B)

Chaque expérience comporte ses propres difficultés, il serait illusoire de donner une recette applicable à

chaque cas; disons que d"une manière générale, l"incertitude sur la mesure dépend de l"appareil de mesure

et de beaucoup d"autres facteurs! C"est le bon sens et l"honnêteté scientifique qui permettent de quantifier cette incertitude

Si on peut estimer entre quelles valeurs extrêmes se situe la valeur cherchée, on peut alors estimer l"in-

certitude sur la mesure¢(mesure) = (valeur maximale¡valeur minimale)/2.

Des exemples : erreur de parallaxe lors de la mesure d"une longueur avec une règle verticale, temps de

réflexe pour la mesure d"une durée avec un chronomètre, lecture de la position d"un ménisque.

1. Appareil numérique (multimètre,...)

Dans ce cas, on utilise les données du constructeur, de la formex% Valeur lue +aU.R. où U.R. (unité de

représentation) est l"unité du dernier chiffre affiché.2 PSI - PSI* TPDEPHYSIQUEMultimètre Metrix MX 579 B

Tensions continues 0,05 % + 3 U.R.

Tensions alternatives efficaces 0,6 % + 10 U.R.

Tensions en dB 0,9 dB + 2 U.R.

Résistances 0,2 % + 3 U.R.

Remarque : les erreurs dépendent du calibre. On pourra se contenter d"une évaluation avec les valeurs

du tableau ci-dessus. Exemple: sur un multimètre numérique, on lit une tension alternative efficaceU= 13,62 V. On calcule l"erreur²= 13,62£0,006 + 10£0,01 V = 0,18 V. Avec un facteur d"élargissement de 2, on présentera le résultat de la façon suivante :

UAE13,62V§0,36V.

2. Appareil analogique (Vis micrométrique, burette, ...)

a) Il est nécessaire de connaître la classe de l"ins- trument et donc de posséder des informations du constructeur.

Exemple : pipettes de chimie, ci-contre.

L"erreur est alors l"erreur " constructeur »²c.b) L"erreur de lecture On estime l"erreur de lecture²l, évaluée à la demi-graduation : lAE12 valeur de la plus petite graduation

L"erreur de mesure s"obtient alors par²AEq²

2cŲ2

l.

Remarque : si l"on ne dispose pas de la classe de l"instrument, on se contente de l"erreur de lecture²AE²l.

VI. Erreurs statistiques (erreur de type A)

Dans le cas où l"on dispose d"un ensemble de mesures (valeur mesurées plusieurs fois ou ensemble des

valeurs obtenues par l"ensemble des groupes de T.P), on peut évaluer la valeur de mesure et son erreur de

la façon suivante : Soit un ensemble denvaleurs expérimentalesXi,i21,..,N.

La valeur de la grandeurXmsera la moyenne desXi:

X mAEXAEN X iAE1X iN

On évalue l"écart-type de l"ensemble :

N¡1AEv

uuuutN X iAE1³ X i¡X

2N¡1.

Remarque: le facteurN-1, au lieu deN, s"explique par le fait que l"écart-type est calculé à partir d"une

évaluation de la moyenne sur lesNvaleurs, et non sur une infinité de valeurs.

L"incertitude¢Xsera alors calculée par¢XAEt%¾N¡1pNoùt% est appelé coefficient de Student. Les

valeurs seront prises dans le tableau ci-dessous, selon l"intervalle de confiance que l"on aura choisi (95% ou

99%).3

TPDEPHYSIQUELycée KléberN2 3 4 5 6 7 8 9 10

t

95%12,7 4,3 3,18 2,78 2,57 2,45 2,37 2,31 2,26

t

99%63,7 9,93 5,84 4,6 4,03 3,71 3,5 3,36 3,25

Le résultat sera donc présenté par :

XAEXunité§t95%¾N¡1pN

unitéExemple : on a mesuré huit valeurs de la conductivité thermique¸du cuivre, en W·K¡1·m¡1:

405 360 401 410 388 422 376 397

On calcule¸AE394,8W·K¡1·m¡1puis¾7AE19,7W·K¡1·m¡1et 2,37¾7p8

AE16,5W·K¡1·m¡1.

Le résultat est présenté sous la forme :

¸AE395W·K¡1·m¡1§16W·K¡1·m¡1(95%)VII. Propagation des incertitudes

1) La grandeurXest une fonction de la grandeurA.

À la grandeurAest associée la valeur mesuréeAm, d"incertitude¢A:AAEAm§¢AetXAEf(A). Dans ce cas, la valeurXmassociée àXestXmAEf(Am), l"incertitude¢XAEf0(Am)¢Asoit : XAEf(Am)§f0(Am)¢A.2) La grandeurXest une fonction deNgrandeursAi,i21,...,N.

Les valeurs et incertitudes (supposées indépendantes) respectives sontAmi§¢AietXAEf(A1,...,AN).

La valeurXmassociée àXestXAEf(Am1,...,Amn); la différentielle deXest : dXAE@f@A1dA1Å...Å@f@AndAn.

L"incertitude¢Xest alors donnée par :

¢XAEv

uutN X iAE1µ 2

¢A2

L"incertitude¢RsurRest donnée par :

¢RAEq¢R21Å¢R22.

3) Cas de produits, quotients et puissances.

On utilise la dérivée logarithmique .

Exemple:XAEA21/A32)XmAEA21m/A32m.

Alors, lnXAE2lnA1¡3lnA2)dXX

AE2dA1A

1¡3dA2A

2.

On en déduit :

¢XX

AEsµ

2¢A1A

2

3¢A2A

2 .4

PSI - PSI* TPDEPHYSIQUEVIII. Exercices

Exercice 1Quel est le but du calcul d"erreurs? Quelle est la différence entre l"erreur et l"incertitude? Qu"est-ce

qu"une incertitude absolue? une incertitude relative?

Exercice 2Les mesures des dimensions d"une salle de classe ont donné pour la longueurL, la largeurlet la hau-

teurH: En déduire le périmètreP, l"aire du solSet le volumeVde la pièce avec leur incertitude.

Exercice 3Calculer la valeur deuAExyxÅyet¢upourxAE200§3 etyAE100§1.Réponse:uAE66,7§0,6.

Exercice 4Un prisme de verre d"angleAest utilisé pour dévier les rayons lumineux. L"angle de déviation dépend

de l"orientation du dispositif; il prend une valeur minimumDpour la disposition symétrique. L"indice de

réfraction du verre constituant le prisme peut s"exprimer en fonction l"angleAet de l"angle de déviation

minimumDdes rayons lumineux : nAEsinµAÅD2

µA2

À l"aide d"un goniomètre, on a mesuré séparément :DAE40±§10etAAE60±§10. Calculernet¢n(avec le nombre de chiffres significatifs convenable).

Réponse:nAE1,5321§0,0003.

Exercice 5On veut mesurer la pesanteurgAE4¼2LT

2à l"aide d"un pendule pesant dont on a mesuré la longueur

LAE1,000m§0,005m et la périodeTAE2,00s§0,01s. En déduire la valeur deget son incertitude.5

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