Rappels sur les applications linéaires
f est bijective ?? Ker f = {0} ?? Im f = E. 5. Matrices associées aux applications linéaires. Soient E et F deux espaces vectoriels de dimension finie n
IV. Applications linéaires
L'application linéaire f est un isomorphisme si et seulement si Kerf = {0} et Imf = F. Théor`eme. Soit G un sous-espace vectoriel de E. Si G est engendré
Séance de soutien PCSI2 numéro 10 : Espaces vectoriels et
g(t)dt = 0 donc ?f + µg ? G. Exercice 8 : Soit F un sous-espace vectoriel de E et. N = {f ? L(E) F ? Ker(f)}. Montrer que N est un sous-espace vectoriel
Chapitre 17 : Applications linéaires
On a donc Imf = Vect22. 1 0. 1 0 32. 0 1. 0 1 33. = kerf Ceci est immédiat car Imf ? kerf (voir exo type suivant). Exercice type 3. Soit E un K ev
Les 3 formes dun système linéaire
Le noyau de f noté par Ker(f )
Applications linéaires
(i) Ker f = Im f. (ii) f2 = 0 et n = 2·rg(f). Indication ?. Correction ?. Vidéo ?. [000943]. Exercice 5. Soient f et g deux endomorphismes de E tels que f
Exercices de mathématiques - Exo7
Montrer que [Kerf = Kerf2 ? Kerf ?Imf = {0}] et [Imf = Imf2 ? E = Kerf +Imf] (où f2 = f ? f). 2. Par définition un endomorphisme p de E est un
Noyau et image des applications linéaires
Kerf := {v ? E
Notes de cours L1 — MATH120
29 nov. 2004 i) L'application f est injective si et seulement si ker f = {0}. ii) L'application f est surjective si et seulement si im f = E2.
1 Programme de Colles : Espaces vectoriels. 2 Petits
11 mai 2009 {f
[PDF] Rappels sur les applications linéaires - Université de Rennes
On les équivalences suivantes : f est bijective ?? Ker f = {0} ?? Im f = E 5 Matrices associées aux applications linéaires Soient E et F deux espaces
[PDF] Noyau et image des applications linéaires
Définition Si f : E ? F est une application linéaire son noyau noté Kerf est l'ensemble des vecteurs de E que f annule : Kerf := {v ? Ef (v)=0}
[PDF] Noyau et image des applications linéaires
Définition Si f : E ? F est une application linéaire son noyau noté Kerf est l'ensemble des vecteurs de E que f annule : Kerf := {v ? Ef (v)=0} Exemple
[PDF] IV Applications linéaires
L'application linéaire f est un isomorphisme si et seulement si Kerf = {0} et Imf = F Théor`eme Soit G un sous-espace vectoriel de E Si G est engendré par u1
[PDF] Espaces vectoriels et applications linéaires Correction des exercices
Montrer que si P annule f et admet 0 pour racine simple alors Im(f) et Ker(f) sont supplémentaires dans E Correction : Notons P = ? k?1 akXk (on rappelle
[PDF] 1 Applications linéaires Morphismes Endomorphismes
On appelle noyau de u et on note Ker(u) le sous-espace vectoriel de E constitué des antécédents par u du zéro de F : Ker(u) = {x ? E u(x)=0F } Les deux
[PDF] Applications linéaires - Mathématiques PTSI
(Q3) D'après le théorème du rang dim(Ker(g ? f) = {0} ce qui prouve que : Ker(g ? f) = {0} (Q4) f est surjective injective et linéaire d'après ci-dessus
[PDF] Applications linéaires - Xiffr
Montrer que l'ensemble des endomorphismes g de E tels que f ? g = 0 est un sous-espace vectoriel de L(E) de dimension dim E × dim Ker f Exercice 87 [ 03771 ]
[PDF] Applications linéaires - Mathieu Mansuy
noyau de f le sous-espace vectoriel noté Ker(f) de E défini par Ker(f) = f?1({0E}) Ainsi ?x ? E x ? Ker(f) ? f(x)=0F Soit f ? L(EF)
[PDF] Applications linéaires - Exo7 - Exercices de mathématiques
De plus d'après la formule du rang dim Ker f +rg(f) = n mais dim Ker f = dimIm f = rgf ainsi 2rg(f) = n (ii) ? (i) Si f2 = 0 alors Im f ? Ker f car pour y
Noyau et image des applications lin´eaires
D´edou
Novembre 2010
Noyau d"une application lin´eaire : d´efinitionD´efinition
Sif:E→Fest une application lin´eaire, son noyau, not´eKerfest l"ensemble des vecteurs deEquefannule :Kerf:={v?E|f(v) = 0}.Exemple
Le noyau de la projectionp:= (x,y,z)?→(x,y,0) deR3sur son plan horizontal est l"axe vertical d´efini parx=y= 0.Exo 1 Quel est le noyau de la projectionp:= (x,y,z)?→(0,0,z) deR3 sur son axe vertical? Noyau et syst`eme lin´eaire homog`ene : exempleExemple
Le noyau def:= (x,y,z)?→(3x+ 5y+ 7z,2x+ 4y+ 6z) est l"ensemble des solutions du syst`eme ?3x+ 5y+ 7z= 02x+ 4y+ 6z= 0.Autrement dit
L"ensemble des solutions du syst`eme
?3x+ 5y+ 7z= 02x+ 4y+ 6z= 0
est le noyau de l"application lin´eaire (x,y,z)?→(3x+ 5y+ 7z,2x+ 4y+ 6z).Noyau d"une application lin´eaire : exercice
Exo 2 a) Exprimez le noyau def:= (x,y,z,t)?→(3x+ 7z-t,2y+ 6z) comme ensemble de solutions. b) Exprimez l"ensemble des solutions du syst`eme ?3x+ 4t= 0 y-z-t= 02x+y+z-t= 0
comme noyau.Nature du noyau d"une application lin´eaire
Proposition
Le noyau d"une application lin´eaire deEdansFest un sous-espace vectoriel deE.Et ¸ca se prouve... trop facile! Image d"une application lin´eaire : d´efinitionD´efinition
Sif:E→Fest une application lin´eaire, son image, not´eeImfest l"ensemble des vecteurs deFde la formef(v) avecv?E:Imf:={f(v)|v?E}.Exemple
L"image de la projectionp:= (x,y,z)?→(x,y) deR3sur son plan horizontal est justemment ce plan horizontal, d"´equationz= 0.Exo 3Quelle est l"image de (x,y,z)?→(0,0,z)?
Image d"une application lin´eaire : exemple
Exemple
L"application lin´eairef:= (x,y,z)?→(3x+5y+7z,2x+4y+6z) s"´ecrit aussi f:= (x,y,z)?→x?3 2? +y?5 4? +z?7 6? Sous cet angle on voit (?) que les vecteurs de l"image defsont exactement les combinaisons lin´eaires du syst`eme de trois vecteurs ((3,2),(5,4),(7,6)) :Im(x,y,z)?→?3x+ 5y+ 7z
2x+ 4y+ 6z?
= .Autrement dit L"image defest le sous-espace vectoriel deR2engendr´e par ((3,2),(5,4),(7,6)).Mais qui sont ces vecteurs?
Si on ´ecrit
f:= (x,y,z)?→x?3 2? +y?5 4? +z?7 6? on voit (?) que les trois vecteurs ?3 2? ,?5 4? ,?7 6?sont les images parfde la base canonique. DoncL"image de l"application lin´eairefestle sous-espace vectoriel deR2engendr´e par les images parfde la
base canonique.Image d"une application lin´eaire : exercice
Exo 4Donnez des g´en´erateurs de l"image de
(x,y)?→(3x+ 7y,2y,x-y). Image d"une application lin´eaire : le cas g´en´eralProposition
Soitf:E→Fune application lin´eaire. Alorsl"image defest un sous-espace vectoriel deF;si le syst`eme de vecteurs (c1,...,cn) engendreE(en particulier
si c"est une base deE), alors l"image defest engendr´ee par le syst`eme (f(c1),...,f(cn)).Et ¸ca se prouve.Attention!
Mˆeme si (c1,...,cn) est une base deE, (f(c1),...,f(cn)) n"est pas forc´ement une base deImf. Par exemple pour f:R3→R2, et (c1,...,c3) la base canonique, (f(c1),...,f(c3)) ne peut pas ˆetre libre (trop de vecteurs).quotesdbs_dbs19.pdfusesText_25[PDF] amortissement linéaire avec valeur résiduelle
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