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Rappels sur les applications linéaires

f est bijective ?? Ker f = {0} ?? Im f = E. 5. Matrices associées aux applications linéaires. Soient E et F deux espaces vectoriels de dimension finie n 



IV. Applications linéaires

L'application linéaire f est un isomorphisme si et seulement si Kerf = {0} et Imf = F. Théor`eme. Soit G un sous-espace vectoriel de E. Si G est engendré 



Séance de soutien PCSI2 numéro 10 : Espaces vectoriels et

g(t)dt = 0 donc ?f + µg ? G. Exercice 8 : Soit F un sous-espace vectoriel de E et. N = {f ? L(E) F ? Ker(f)}. Montrer que N est un sous-espace vectoriel 



Chapitre 17 : Applications linéaires

On a donc Imf = Vect22. 1 0. 1 0 32. 0 1. 0 1 33. = kerf Ceci est immédiat car Imf ? kerf (voir exo type suivant). Exercice type 3. Soit E un K ev



Les 3 formes dun système linéaire

Le noyau de f noté par Ker(f )



Applications linéaires

(i) Ker f = Im f. (ii) f2 = 0 et n = 2·rg(f). Indication ?. Correction ?. Vidéo ?. [000943]. Exercice 5. Soient f et g deux endomorphismes de E tels que f 



Exercices de mathématiques - Exo7

Montrer que [Kerf = Kerf2 ? Kerf ?Imf = {0}] et [Imf = Imf2 ? E = Kerf +Imf] (où f2 = f ? f). 2. Par définition un endomorphisme p de E est un 







Notes de cours L1 — MATH120

29 nov. 2004 i) L'application f est injective si et seulement si ker f = {0}. ii) L'application f est surjective si et seulement si im f = E2.





[PDF] Rappels sur les applications linéaires - Université de Rennes

On les équivalences suivantes : f est bijective ?? Ker f = {0} ?? Im f = E 5 Matrices associées aux applications linéaires Soient E et F deux espaces 



[PDF] Noyau et image des applications linéaires

Définition Si f : E ? F est une application linéaire son noyau noté Kerf est l'ensemble des vecteurs de E que f annule : Kerf := {v ? Ef (v)=0}



[PDF] Noyau et image des applications linéaires

Définition Si f : E ? F est une application linéaire son noyau noté Kerf est l'ensemble des vecteurs de E que f annule : Kerf := {v ? Ef (v)=0} Exemple



[PDF] IV Applications linéaires

L'application linéaire f est un isomorphisme si et seulement si Kerf = {0} et Imf = F Théor`eme Soit G un sous-espace vectoriel de E Si G est engendré par u1 



[PDF] Espaces vectoriels et applications linéaires Correction des exercices

Montrer que si P annule f et admet 0 pour racine simple alors Im(f) et Ker(f) sont supplémentaires dans E Correction : Notons P = ? k?1 akXk (on rappelle 



[PDF] 1 Applications linéaires Morphismes Endomorphismes

On appelle noyau de u et on note Ker(u) le sous-espace vectoriel de E constitué des antécédents par u du zéro de F : Ker(u) = {x ? E u(x)=0F } Les deux 



[PDF] Applications linéaires - Mathématiques PTSI

(Q3) D'après le théorème du rang dim(Ker(g ? f) = {0} ce qui prouve que : Ker(g ? f) = {0} (Q4) f est surjective injective et linéaire d'après ci-dessus



[PDF] Applications linéaires - Xiffr

Montrer que l'ensemble des endomorphismes g de E tels que f ? g = 0 est un sous-espace vectoriel de L(E) de dimension dim E × dim Ker f Exercice 87 [ 03771 ] 



[PDF] Applications linéaires - Mathieu Mansuy

noyau de f le sous-espace vectoriel noté Ker(f) de E défini par Ker(f) = f?1({0E}) Ainsi ?x ? E x ? Ker(f) ? f(x)=0F Soit f ? L(EF)



[PDF] Applications linéaires - Exo7 - Exercices de mathématiques

De plus d'après la formule du rang dim Ker f +rg(f) = n mais dim Ker f = dimIm f = rgf ainsi 2rg(f) = n (ii) ? (i) Si f2 = 0 alors Im f ? Ker f car pour y 

:

8x;y2E;8;2R; u(x+y) =u(x) +u(y):

?????? ???????x7!x2? ???? ??? ??? ???? ??0R??????? ?? ???? ?? ?????R?

Im(u) =fu(x); x2Eg:

Ker(u) =fx2Eju(x) = 0Fg:

0 ?? ??????xx02Ker(u)? ??????? ?? ??????? ??? ?????? ?0E? ?? ?? ?????? ???xx0= 0E?? ??F? y=u(x) =u(1e1++nen) =1u(e1) ++nu(en); (ii)????(e1;:::;en)??? ??????? ????? ??E? ?? ???? ??????? ??? ?? ???????(u(e1);:::;u(en))??? 0

F=1u(e1) ++nu(en) =u(1e1++nen);

????? ???? ??E??? ??? ???? ??F?

R???? ??? ?

y=1f1++nfn=1u(e1) ++nu(en) =u(1e1++nen); ??????1;:::;n2R???? ???x=1e1+nen? ????? ?? ? ? 0

F=u(x) =u(1e1++nen) =1u(e1) ++nu(en) =1f1++nfn

????? ???????M2Mn(R)? ?? ?MIn=InM=M? ??? ??????? ??????P2Mn(R)??? ???? ??????? ?????? ?? ??????2;3? ?????4? ???? ????n>1? ???ej? ? ?????? ???u(ej)????16j6n? y j???? ????16j6n? x=1e1++nen; i2R: u(x) =u(1e1++nen) =1u(e1) ++nu(en); u(x) =u(1e1++nen) =1y1++nyn:

R??????? ???? ??? ?

u(ej) =a1;jf1++am;jfm=mX i=1a i;jfi:

Mat(u;B;C) = Mat(u;(ei);(fj))????=0

B

BB@u(e1)u(e2)::: u(en)

f

1a1;1a1;2a1;n

f f mam;1am;2am;n1 C CCA ???? ?????? ???e01=e1+e2?e02=e1+ 2e2? ????u:R2!R2?????? ???u(e1) = 3e1+e2 ??u(e2) =e1+ 2e2? ????? ?? ? ?

Mat(u;(e1;e2)) =u(e1)u(e2)

e 131
e 21 2
u(e1) = 3e1+e2= 3(2e01e02) + (e02e01) = 5e012e02 u(e2) =e1+ 2e2=(2e01e02) + 2(e02e01) =4e01+ 3e02

Mat(u;(e1;e2);(e01;e02)) =u(e1)u(e2)

e 0154
e 022 3

Mat(d;(1;X;X2)) =0

@d(1)d(X)d(X2)

1 0 1 0

X0 0 2

X

20 0 01

A x=1e1++nen; u(x) =1f1++mfm: u(x) =u(1e1++nen) =1u(e1) ++nu(en) =10 B @a

1;1???

a m;11 C A++n0 B @a

1;n???

a m;n1 C A=0 B

1a1;1++na1;n???

1am;1++nam;n1

C A=0 B 1??? m1 C A 0 B BB@a

1;1a1;2a1;n

a a m;1am;2am;n1 C CCA0 B BB@ 1 2??? n1 C CCA=0 B BB@ 1 2??? m1 C CCA ??? ?? ??????? ???? ??? ?????B??C?????? ?

Mat(u+v;B;C) =Mat(u;B;C) +Mat(v;B;C) ;

m= dim(F)?? ?????B= (ej)16j6n??? ???? ??E??C= (fi)16i6m??? ???? ??F? ?????

L(E;F)!Mm;n(R)

u7!Mat(u;B;C)

816j6n; yj=a1;jf1++am;jfm=mX

i=1a i;jfi: dim(E)dim(F)?

Mat(vu;B;D) = Mat(v;C;D)Mat(u;B;C):

3?

Mat(u1;C;B) = Mat(u;B;C)1:

Mat(??;B;B) = Mat(u;B;C)Mat(u1;C;B):

L(E)!Mn(R)

u7!Mat(u;B) Mat(u+v;B) =Mat(u;B) +Mat(v;B)??Mat(uv;B) = Mat(u;B)Mat(v;B) ???? ????u;v2L(E)?? ????;2R? e

0j=1;je1++n;jen; i;j2R

P

B;B0=e

01e02::: e0n0

B BB@ 1;1

2;1???

n;1 1;2

2;2???

n;2::: 1;n

2;n???

n;n1 C CCAe 1 e 2??? e n P

B;B0=11

2 3 ??PB0;B= 35
15 25
15 15 3 1 2 1 1 0 35
1 2 25
1 3 0 1 15 1 2 15 1 3

X1 = (1)1 + 1X

(X1)2= 11 + (2)X+ 1X2=)PB;B0=1 (X1) (X1)20 @1 0 01 1 01 2 11 A 1 X X 2

X= 11 + 1(X1)

X

2= 11 + 2(X1) + 1(X1)2=)PB0;B=1X X20

@1 0 01 1 01 2 11 A 1 (X1) (X1)2 ?? ????B? ?? 1??? n

01???0n!

x=1e1++nen=01e01++0ne0n; P B;B0

01???0n!

1??? n P

B;B0= Mat(IdE;B0;B)

????? ?????B0????B???? ??????B0? ?? ?? ?????? ??? ?

Mat(Id

E;B0;B0) = Mat(IdE;B;B0)Mat(IdE;B0;B)()In=PB0;BPB;B0;

Mat(u;B0) =PB0;BMat(u;B)PB;B0=P1

B;B0Mat(u;B)PB;B0:

(E;B0)IdE!(E;B)u!(E;B)IdE!(E;B0) ?? ????? ?? ???? ???? ??????? ??E????? ???? ?? ????B0? ?? ?? ?? ?????? ??? ???? ?? ??????? ???? ????? ????? ???? ?? ??????? ???? ?? ????B0? R

Mat(u;B0) =PB0;BMat(u;B)PB;B0=

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15 (1 21 3)(112 3) = (4 51 0):quotesdbs_dbs19.pdfusesText_25
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