Rappels sur les applications linéaires
f est bijective ?? Ker f = {0} ?? Im f = E. 5. Matrices associées aux applications linéaires. Soient E et F deux espaces vectoriels de dimension finie n
IV. Applications linéaires
L'application linéaire f est un isomorphisme si et seulement si Kerf = {0} et Imf = F. Théor`eme. Soit G un sous-espace vectoriel de E. Si G est engendré
Séance de soutien PCSI2 numéro 10 : Espaces vectoriels et
g(t)dt = 0 donc ?f + µg ? G. Exercice 8 : Soit F un sous-espace vectoriel de E et. N = {f ? L(E) F ? Ker(f)}. Montrer que N est un sous-espace vectoriel
Chapitre 17 : Applications linéaires
On a donc Imf = Vect22. 1 0. 1 0 32. 0 1. 0 1 33. = kerf Ceci est immédiat car Imf ? kerf (voir exo type suivant). Exercice type 3. Soit E un K ev
Les 3 formes dun système linéaire
Le noyau de f noté par Ker(f )
Applications linéaires
(i) Ker f = Im f. (ii) f2 = 0 et n = 2·rg(f). Indication ?. Correction ?. Vidéo ?. [000943]. Exercice 5. Soient f et g deux endomorphismes de E tels que f
Exercices de mathématiques - Exo7
Montrer que [Kerf = Kerf2 ? Kerf ?Imf = {0}] et [Imf = Imf2 ? E = Kerf +Imf] (où f2 = f ? f). 2. Par définition un endomorphisme p de E est un
Noyau et image des applications linéaires
Kerf := {v ? E
Notes de cours L1 — MATH120
29 nov. 2004 i) L'application f est injective si et seulement si ker f = {0}. ii) L'application f est surjective si et seulement si im f = E2.
1 Programme de Colles : Espaces vectoriels. 2 Petits
11 mai 2009 {f
[PDF] Rappels sur les applications linéaires - Université de Rennes
On les équivalences suivantes : f est bijective ?? Ker f = {0} ?? Im f = E 5 Matrices associées aux applications linéaires Soient E et F deux espaces
[PDF] Noyau et image des applications linéaires
Définition Si f : E ? F est une application linéaire son noyau noté Kerf est l'ensemble des vecteurs de E que f annule : Kerf := {v ? Ef (v)=0}
[PDF] Noyau et image des applications linéaires
Définition Si f : E ? F est une application linéaire son noyau noté Kerf est l'ensemble des vecteurs de E que f annule : Kerf := {v ? Ef (v)=0} Exemple
[PDF] IV Applications linéaires
L'application linéaire f est un isomorphisme si et seulement si Kerf = {0} et Imf = F Théor`eme Soit G un sous-espace vectoriel de E Si G est engendré par u1
[PDF] Espaces vectoriels et applications linéaires Correction des exercices
Montrer que si P annule f et admet 0 pour racine simple alors Im(f) et Ker(f) sont supplémentaires dans E Correction : Notons P = ? k?1 akXk (on rappelle
[PDF] 1 Applications linéaires Morphismes Endomorphismes
On appelle noyau de u et on note Ker(u) le sous-espace vectoriel de E constitué des antécédents par u du zéro de F : Ker(u) = {x ? E u(x)=0F } Les deux
[PDF] Applications linéaires - Mathématiques PTSI
(Q3) D'après le théorème du rang dim(Ker(g ? f) = {0} ce qui prouve que : Ker(g ? f) = {0} (Q4) f est surjective injective et linéaire d'après ci-dessus
[PDF] Applications linéaires - Xiffr
Montrer que l'ensemble des endomorphismes g de E tels que f ? g = 0 est un sous-espace vectoriel de L(E) de dimension dim E × dim Ker f Exercice 87 [ 03771 ]
[PDF] Applications linéaires - Mathieu Mansuy
noyau de f le sous-espace vectoriel noté Ker(f) de E défini par Ker(f) = f?1({0E}) Ainsi ?x ? E x ? Ker(f) ? f(x)=0F Soit f ? L(EF)
[PDF] Applications linéaires - Exo7 - Exercices de mathématiques
De plus d'après la formule du rang dim Ker f +rg(f) = n mais dim Ker f = dimIm f = rgf ainsi 2rg(f) = n (ii) ? (i) Si f2 = 0 alors Im f ? Ker f car pour y
8x;y2E;8;2R; u(x+y) =u(x) +u(y):
?????? ???????x7!x2? ???? ??? ??? ???? ??0R??????? ?? ???? ?? ?????R?Im(u) =fu(x); x2Eg:
Ker(u) =fx2Eju(x) = 0Fg:
0 ?? ??????xx02Ker(u)? ??????? ?? ??????? ??? ?????? ?0E? ?? ?? ?????? ???xx0= 0E?? ??F? y=u(x) =u(1e1++nen) =1u(e1) ++nu(en); (ii)????(e1;:::;en)??? ??????? ????? ??E? ?? ???? ??????? ??? ?? ???????(u(e1);:::;u(en))??? 0F=1u(e1) ++nu(en) =u(1e1++nen);
????? ???? ??E??? ??? ???? ??F?R???? ??? ?
y=1f1++nfn=1u(e1) ++nu(en) =u(1e1++nen); ??????1;:::;n2R???? ???x=1e1+nen? ????? ?? ? ? 0F=u(x) =u(1e1++nen) =1u(e1) ++nu(en) =1f1++nfn
????? ???????M2Mn(R)? ?? ?MIn=InM=M? ??? ??????? ??????P2Mn(R)??? ???? ??????? ?????? ?? ??????2;3? ?????4? ???? ????n>1? ???ej? ? ?????? ???u(ej)????16j6n? y j???? ????16j6n? x=1e1++nen; i2R: u(x) =u(1e1++nen) =1u(e1) ++nu(en); u(x) =u(1e1++nen) =1y1++nyn:R??????? ???? ??? ?
u(ej) =a1;jf1++am;jfm=mX i=1a i;jfi:Mat(u;B;C) = Mat(u;(ei);(fj))????=0
BBB@u(e1)u(e2)::: u(en)
f1a1;1a1;2a1;n
f f mam;1am;2am;n1 C CCA ???? ?????? ???e01=e1+e2?e02=e1+ 2e2? ????u:R2!R2?????? ???u(e1) = 3e1+e2 ??u(e2) =e1+ 2e2? ????? ?? ? ?Mat(u;(e1;e2)) =u(e1)u(e2)
e 131e 21 2
u(e1) = 3e1+e2= 3(2e01e02) + (e02e01) = 5e012e02 u(e2) =e1+ 2e2=(2e01e02) + 2(e02e01) =4e01+ 3e02
Mat(u;(e1;e2);(e01;e02)) =u(e1)u(e2)
e 0154e 022 3
Mat(d;(1;X;X2)) =0
@d(1)d(X)d(X2)1 0 1 0
X0 0 2
X20 0 01
A x=1e1++nen; u(x) =1f1++mfm: u(x) =u(1e1++nen) =1u(e1) ++nu(en) =10 B @a1;1???
a m;11 C A++n0 B @a1;n???
a m;n1 C A=0 B1a1;1++na1;n???
1am;1++nam;n1
C A=0 B 1??? m1 C A 0 B BB@a1;1a1;2a1;n
a a m;1am;2am;n1 C CCA0 B BB@ 1 2??? n1 C CCA=0 B BB@ 1 2??? m1 C CCA ??? ?? ??????? ???? ??? ?????B??C?????? ?Mat(u+v;B;C) =Mat(u;B;C) +Mat(v;B;C) ;
m= dim(F)?? ?????B= (ej)16j6n??? ???? ??E??C= (fi)16i6m??? ???? ??F? ?????L(E;F)!Mm;n(R)
u7!Mat(u;B;C)816j6n; yj=a1;jf1++am;jfm=mX
i=1a i;jfi: dim(E)dim(F)?Mat(vu;B;D) = Mat(v;C;D)Mat(u;B;C):
3?Mat(u1;C;B) = Mat(u;B;C)1:
Mat(??;B;B) = Mat(u;B;C)Mat(u1;C;B):
L(E)!Mn(R)
u7!Mat(u;B) Mat(u+v;B) =Mat(u;B) +Mat(v;B)??Mat(uv;B) = Mat(u;B)Mat(v;B) ???? ????u;v2L(E)?? ????;2R? e0j=1;je1++n;jen; i;j2R
PB;B0=e
01e02::: e0n0
B BB@ 1;12;1???
n;1 1;22;2???
n;2::: 1;n2;n???
n;n1 C CCAe 1 e 2??? e n PB;B0=11
2 3 ??PB0;B= 3515 25
15 15 3 1 2 1 1 0 35
1 2 25
1 3 0 1 15 1 2 15 1 3
X1 = (1)1 + 1X
(X1)2= 11 + (2)X+ 1X2=)PB;B0=1 (X1) (X1)20 @1 0 01 1 01 2 11 A 1 X X 2X= 11 + 1(X1)
X2= 11 + 2(X1) + 1(X1)2=)PB0;B=1X X20
@1 0 01 1 01 2 11 A 1 (X1) (X1)2 ?? ????B? ?? 1??? n01???0n!
x=1e1++nen=01e01++0ne0n; P B;B001???0n!
1??? n PB;B0= Mat(IdE;B0;B)
????? ?????B0????B???? ??????B0? ?? ?? ?????? ??? ?Mat(Id
E;B0;B0) = Mat(IdE;B;B0)Mat(IdE;B0;B)()In=PB0;BPB;B0;Mat(u;B0) =PB0;BMat(u;B)PB;B0=P1
B;B0Mat(u;B)PB;B0:
(E;B0)IdE!(E;B)u!(E;B)IdE!(E;B0) ?? ????? ?? ???? ???? ??????? ??E????? ???? ?? ????B0? ?? ?? ?? ?????? ??? ???? ?? ??????? ???? ????? ????? ???? ?? ??????? ???? ?? ????B0? RMat(u;B0) =PB0;BMat(u;B)PB;B0=
3515 25
15 (1 21 3)(112 3) = (4 51 0):quotesdbs_dbs19.pdfusesText_25
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