Les 3 formes dun système linéaire PDF

Rappels sur les applications linéaires

f est bijective ?? Ker f = {0} ?? Im f = E. 5. Matrices associées aux applications linéaires. Soient E et F deux espaces vectoriels de dimension finie n

IV. Applications linéaires

L'application linéaire f est un isomorphisme si et seulement si Kerf = {0} et Imf = F. Théor`eme. Soit G un sous-espace vectoriel de E. Si G est engendré

Séance de soutien PCSI2 numéro 10 : Espaces vectoriels et

g(t)dt = 0 donc ?f + µg ? G. Exercice 8 : Soit F un sous-espace vectoriel de E et. N = {f ? L(E) F ? Ker(f)}. Montrer que N est un sous-espace vectoriel

Chapitre 17 : Applications linéaires

On a donc Imf = Vect22. 1 0. 1 0 32. 0 1. 0 1 33. = kerf Ceci est immédiat car Imf ? kerf (voir exo type suivant). Exercice type 3. Soit E un K ev

Les 3 formes dun système linéaire

Le noyau de f noté par Ker(f )

Applications linéaires

(i) Ker f = Im f. (ii) f2 = 0 et n = 2·rg(f). Indication ?. Correction ?. Vidéo ?. [000943]. Exercice 5. Soient f et g deux endomorphismes de E tels que f

Exercices de mathématiques - Exo7

Montrer que [Kerf = Kerf2 ? Kerf ?Imf = {0}] et [Imf = Imf2 ? E = Kerf +Imf] (où f2 = f ? f). 2. Par définition un endomorphisme p de E est un

Noyau et image des applications linéaires

Kerf := {v ? E

f (v)=0}. Exemple. Le noyau de la projection p := (xy

Notes de cours L1 — MATH120

29 nov. 2004 i) L'application f est injective si et seulement si ker f = {0}. ii) L'application f est surjective si et seulement si im f = E2.

1 Programme de Colles : Espaces vectoriels. 2 Petits

11 mai 2009 {f

[PDF] Rappels sur les applications linéaires - Université de Rennes

On les équivalences suivantes : f est bijective ?? Ker f = {0} ?? Im f = E 5 Matrices associées aux applications linéaires Soient E et F deux espaces

[PDF] Noyau et image des applications linéaires

Définition Si f : E ? F est une application linéaire son noyau noté Kerf est l'ensemble des vecteurs de E que f annule : Kerf := {v ? Ef (v)=0}

[PDF] Noyau et image des applications linéaires

Définition Si f : E ? F est une application linéaire son noyau noté Kerf est l'ensemble des vecteurs de E que f annule : Kerf := {v ? Ef (v)=0} Exemple

[PDF] IV Applications linéaires

L'application linéaire f est un isomorphisme si et seulement si Kerf = {0} et Imf = F Théor`eme Soit G un sous-espace vectoriel de E Si G est engendré par u1

[PDF] Espaces vectoriels et applications linéaires Correction des exercices

Montrer que si P annule f et admet 0 pour racine simple alors Im(f) et Ker(f) sont supplémentaires dans E Correction : Notons P = ? k?1 akXk (on rappelle

[PDF] 1 Applications linéaires Morphismes Endomorphismes

On appelle noyau de u et on note Ker(u) le sous-espace vectoriel de E constitué des antécédents par u du zéro de F : Ker(u) = {x ? E u(x)=0F } Les deux

[PDF] Applications linéaires - Mathématiques PTSI

(Q3) D'après le théorème du rang dim(Ker(g ? f) = {0} ce qui prouve que : Ker(g ? f) = {0} (Q4) f est surjective injective et linéaire d'après ci-dessus

[PDF] Applications linéaires - Xiffr

Montrer que l'ensemble des endomorphismes g de E tels que f ? g = 0 est un sous-espace vectoriel de L(E) de dimension dim E × dim Ker f Exercice 87 [ 03771 ]

[PDF] Applications linéaires - Mathieu Mansuy

noyau de f le sous-espace vectoriel noté Ker(f) de E défini par Ker(f) = f?1({0E}) Ainsi ?x ? E x ? Ker(f) ? f(x)=0F Soit f ? L(EF)

[PDF] Applications linéaires - Exo7 - Exercices de mathématiques

De plus d'après la formule du rang dim Ker f +rg(f) = n mais dim Ker f = dimIm f = rgf ainsi 2rg(f) = n (ii) ? (i) Si f2 = 0 alors Im f ? Ker f car pour y

Les 3 formes d"un système linéaire

1. d"un système d"équations

2 . de produit matricielA~x=~b, ou bien, en représentantApar ses colonnes ~v1~vm)0 B @x 1... x m1 C A=0 B @b 1... b n1 C A:

3. de combinaison linéaire :

1~v1+x2~v2++xm~vm=~b:

Interprétation du point 2

: Etant donner une matrice A, on considère l"application linéairef:0 B @x 1... x m1 C A7!A0 B @x 1... x m1 C

A:Résoudre le

systèmeA~x=~brevient à déterminer les antécédents de~bparf. §5.2 Image et noyau d"une application linéaire. DéfinitionSoitf:Rm!Rnd"une application linéaire, de la forme 0 B @x 1... x m1 C A7!0 B @a

11a1m......

a n1anm1 C A0 B @x 1... x m1 C A=A~x:Le noyaude f, noté parKer(f), est l"ensemble des antécédents du vecteur ~0:

Ker(f) =f~xjf(~x) =~0g=f~xjA~x=~0g

=l"ensemble solutions du systèmeA~x=~0:

Exemple.Soitfx

y =x+y. Quel est le noyau def? Et pour f x y =1 1 2 2 x y §5.2 Image et noyau d"une application linéaire. DéfinitionSoitf:Rm!Rnd"une application linéaire, de la forme 0 B @x 1... x m1 C A7!0 B @a

11a1m......

a n1anm1 C A0 B @x 1... x m1 C A=A~x:Le noyaude f, noté parKer(f), est l"ensemble des antécédents du vecteur ~0:

Ker(f) =f~xjf(~x) =~0g=f~xjA~x=~0g

=l"ensemble solutions du systèmeA~x=~0:

Exemple.Soitfx

y =x+y. Quel est le noyau def? Et pour f x y =1 1 2 2 x y

Base de Ker(f)

Théorème.Pour toute application linéairef:Rm!Rn,Ker(f) est un sous espace vectoriel deRm.

Preuve. Il faut vérifier que pour tout

~u;~v2Ker(f)et tout2R, u+~v2Ker(f)et~u2Ker(f). Ou bienf(~u) =~0=f(~v)implique f(~u+~v) =~0etf(~u) =~0.On cherche à trouver une base pour Ker(f). Dans l"exemple ci-dessus :Ker(f) =fx y jx+y=0g=fy y jy2Rg= fy1 1 jy2Rg=h1 1 i. Donc une base est1 1 .Exercice.SiKer(f)est de la formef0 @2a b+a ba1 A ja;b2Rg.

Déterminer une base.

Base de Ker(f)

Théorème.Pour toute application linéairef:Rm!Rn,Ker(f) est un sous espace vectoriel deRm.

Preuve. Il faut vérifier que pour tout

Déterminer une base.