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Séance de soutien PCSI2 numéro 10 : Espaces

vectoriels et applications linéaires. Correction des exercices.

Tatiana Labopin-Richard

Mercredi 18 mars 2015

Exercice 1 :Montrer que sif:R→Rest polynômiale de degré 2, alors pour tous réelsaetb: f(b)-f(a) = (b-a)f??a+b2

Correction :

Sifest constante égale à 1, alors la propriété est clairement vérifiée. De même sif=id. De plus, sifest la fonction carrée, alors, pour tous réelsaetb: f(b)-f(a) =b2-a2= (b-a)(b+a)f??a+b2 donc la propriété reste vraie. Comme cette propriété est sable par combinaison

linéaire (par linéarité de la dérivation), on en déduit que toute fonction polynômiale

de degré deux vérifie cette propriété. Exercice 3 :SoiteunK-espace vectoriel de dimension finien?N?etf un endomorphisme deEtel qu"il existe un vecteurx0?Epour lequel la famille (x0,f(x0),...,fn-1(x0))soit une base deE. On note

C={g? L(E)/g◦f=f◦g}.

1) Montrer queCest un sous-espace vectoriel deL(E).

2) Observer que

C=?(a0Id+a1f+...an-1fn-1|a0,...an-1?K?.

3) Déterminer la dimension deC.

1

Correction :

1)C ? L(E),0? C. Soientλetμdeux élément s deKetgethdeux éléments

deC. On a

f◦(λg+μh) =λ(f◦g) +μ(f◦h) =λ(g◦f) +μ(◦f) = (λg+μh)◦f

doncλg+μh? C. b) Soitg=a0+a1f+···+an-1fn-1. On ag◦f=a0f+a1f2+···+an-1fn=f◦g doncg? C. Ainsi, ?a

0Id+a1f+...an-1fn-1|a0,...an-1?K?? C.

Inversement, soitg? C. Puisque(x0,f(x0),...fn-1(x0))est une base deE, il existea0,a1,...an-1?Ktels queg(x0) =a0x0+a1f(x0)+...an-1fn-1(x0). Introduisons alorsh=a0Id+a1f+...an-1fn-1. Nous avonsgethdeux

éléments deCetg(x0) =h(x0)donc

g(f(x0)) =f(g(x0)) =f(h(x0)) =h(f(x0)) et de manière plus générale g(fk(x0)) =fk(g(x0)) =fk(h(x0)) =h(fk(x0)) Ainsi,gethprennent mêmes valeurs sur la base(x0,f(x0),...fn-1(x0))) doncg=h. Ainsi nous avons l"inclusion dans l"autre sens et donc l"égalité. c) On aC=V ect(Id,f,f2,...fn-1). De plus, sia0Id+a1f+...an-1fn-1(x0) = 0.Or, la famillex0,...fn-1(x0)) est libre donca0=a1=...an-1= 0. La famille(Id,f,...fn-1)est une famille libre et génératrice deC, c"est donc une base et a dimension deCest den. Exercice 4 :SoientEun espace vectoriel de dimension finie et(u,v)? L(E). montrer que

Ker(f)?Ker(g)? ?h? L(E), g=h◦f.

Correction :

Le sens indirect est immédiat. Montrons le sens direct. Supposons queker(f)? ker(g). SoitHun supplémentaire deker(f)dansE.fréalise un isomorphisme deHversIm(f)notéf|Im(f). SoientKun supplémentaire deIm(f)dansEet h? L(E)déterminé par h |Im(f)=g◦f-1 |Im(f) 2 et h |K= 0.

Pour toutx?H,

(h◦f)(x) =h(f|H(x)) =g(f-1 |H(f|H(x))) =g(x) Les applicationsgeth◦fcoÃŕncidant sur des cous-espaces vectoriels supplé- mentaires, elles sont égales. Exercice 7 :Montrer que les parties suivantes sont des espaces vectoriels.

1)F={f? C1([a,b]),R)|f?(a) =f?(b)}.

2)G=?? C0([a,b]),R)|?b

af(t)dt= 0?.

Correction :

1)F? F([a,b],R)et0?F.

Soientλetμdeux réels etfetgdeux éléments deF. La fonctionλf+μg est de classeC1sur[a,b]et (λf+μg)?(a) =λf?(a) +μg?(a) =λf?(b) +μg?(b) = (λf+μg)?(b) doncλf+μg?F. b)G? F([a,b],R)et0?G. Soientλetμdeux réels etfetgdeux éléments deg. La fonctionλf+μgest continue sur[a,b]et b a(λf+μg)(t)dt)λ? b af(t)dt+μ? b ag(t)dt= 0 doncλf+μg?G.

Exercice 8 :SoitFun sous-espace vectoriel deEet

N={f? L(E), F?Ker(f)}.

Montrer queNest un sous-espace vectoriel deL(E).

Correction :

On peut montrer à la main queNest un sous-espace vectoriel deL(E):N n"est pas vide car comprend l"endomorphisme nul deE. Et pour tout scalaireλet μ, tous élémentsfetgdeN, et tout vecteurxdeF: (λf+μg)(x) =λf(x) +μg(x) = 0E. On peut aussi prouver ce fait en remarquant que l"application 3

φ:L(E)→ L(E,F)

f?→f|F(1) et linéaire, donc son noyauNest un sous-espace vectoriel deL(E). Exercice 9 :SoitFl"ensemble des applications de classeC1deRdansR vérifiant f ?(x)-3f(x+ 2) +f(2) +f?(-1) = 0 pour tout réelx. Montrer queFest un espace vectoriel.

Correction :

La dérivation deC1(R,R)dansC0(R,R)) est linéaire, ainsi que la composition à droite parx?→x+ 2, et toute évaluation donc

φ:C1(R,R)→ C0(R,R)

f?→(x?→f?(x)-3f(x+ 2) + 2f(2) +f?(-1))(2) est linéaire et son noyauEest un sous-espace vectoriel deC1. Exercice 10 :Montrer que l"ensembleFdes triplets(x,y,z)de réels vérifiant : x+y+z= 0

2x-y+z= 0

x-2y= 0(3) est un sous-espace vectoriel deR3.

Correction :

On peut bien entendu vérifier à la main que le vecteur nul est dans l"ensemble et que cet ensemble est stable par combinaison linéaire. Mais, de manière plus élé- gante, on peut aussi voirFcomme intersection de trois noyaux de formes linéaires non nulles surR3(la première étant(x,y,z)?→x+y+z), c"est à dire de trois hyperplans deR3. Exercice 11 :Les parties suivantes sont-ils des espaces vectoriels deR2?

2){(x,y)?R2|x=}

3){(x,y)?R2|x2-y2= 0}

4){(x,y)?R2|xy= 0}

5){(x,y)?R2|x+y= 1}

6){(x,y)?R2|x2+y2= 0}

4

Correction :

1) non : pas stable par multiplication par un scalaire :(0,1)appartient mais

pas-(0,1).

2) non : pas stable par addition :(1,0) + (0,1).

3) oui.

4) non : ne passe pas par(0,0).

5) non : pas stable par addition :(1,1) + (1,-1).

6) oui (c"est l"espace nul!).

Exercice 12 :Les parties suivantes sont-elles des sous-espaces vectoriels de R N?

1)?(un)?RN|(un)bornée?

2) ?(un)?RN|(un)monotone? 3) ?(un)?RN|(un)convergente? 4) ?(un)?RN|(un)arithmétique?

Correction :

1) oui

2) non : pas stable par addition :un=n2etvn=-9n+ 20.

3) oui

4) oui

Exercice 13 :A quelle condition la réunion de deux sous-espaces vectoriels est-elle un sous-espace vectoriel?

Correction :

SoientFetGdeux sous-espaces vectoriels deK-espace vectorielE. SiF?G ouG?FalorsF?GvautFouGet est évidemment un sous-espace vectoriel de E. Inversement, supposons queF?Gsoit un sous-espace vectoriel deEetF*G. Il existex?Ftel quex?=G. Pour touty?G,x+y?F?Gpar stabilité par somme. Six+y?G, alorsx= (x+y)-y?G, ce qui est exclu. Doncx+y?F et alorsy= (x+y)-x?F. Ainsi,G?F. Ainsi pour queF?Gsoit un sous-espace vectoriel deE, il faut et il suffit

F?GouG?F.

Exercice 14 :SoitEunK-espace vectoriel et-→x ,-→ztrois vecteurs deEtelq que la famille(-→x ,-→y ,-→z)soit libre. On pose u=-→y+-→z ,-→v=-→z+-→x ,-→w=-→x+-→y . Montrer que la famille(-→u ,-→v ,-→w). 5

Correction :

Supposons que

On aurait alors

(β+γ)-→x+ (α+γ)-→y+ (β+α)-→z=-→0.

La famille(-→x ,-→y ,-→z)étant libre, nous avonsβ+γ= 0,α+γ= 0etα+β= 0

et doncα=β=γ= 0. La famille est donc libre. Exercice 15 :Soitα1...αndes réels distincts.

1) Pour toutk? {1,...n}, on définitfk:x?→ |x-αk|. Montrer que

(fk)k?{1,...n}est libre.

2) Pour toutk? {1,...n}, on posePk=?

i=1,i?=k(X-αi).Montrer que(Pk)k?{1,...n} est libre.

Correction :

1) Pour toutk? {1,...n}, la propriété "être dérivable enαk" est vraie pour

tous lesfipouri?=kmais fausse pourfk. On dit que cette propriété est discriminante pourk. Ainsi, soient(a1,...an)des scalaires tels que a

1f1+...anfn= 0.

Nous avons alors pourkfixé, siakest différent de 0, f k=a1fa+...ak-1fk-1+ak+1fk+1+...anfna k ce qui est absurde puisque la fonction de gauche n"est pas dérivable enαk alors que celle de droite l"est. Ainsi, on peut montrer que pour toutk,ak= 0.

2) De la même manière, la propriété "admettreαkcomme racine" est discrimi-

nante pourPket donc la famille est libre. Exercice 16 :Soitα1...αndes entiers distincts ordonnés par ordre croissant.

1) On considère une famille(P1,...Pn)de polynÃťmes tels que pour toutk?

{1,...n},deg(Pk) =αk. Montrer que cette famille est libre.

2) Pour toutkentier, on posefk:x?→exp(αkx). Montrer que pour unen

fixé, la famille(f1,...fn)est libre.

Correction :

1) Pour toutk? {1,...n-1}, on introduit la propriétéPk: "être de degré

au plusαk". On dit que les propriétés(P1,...Pn-1)hiérarchisent l"ensemble 6 (P1,...Pn-1), parce que(P1,...Pk)vérifientPk, et(Pk+1,...Pn)ne vérifient pasPk. Soit ainsi,a1,...andes scalaires non tous nuls tels que a

1P1+...anPn= 0.

Notonsil"indice maximal desaknon nuls.

Nous avons

P i=ai+1Pi+1+...anPn-ai et le terme de gauche vérifie la propriétéPialors que le terme de droite non. Ainsi, nous arrivons à une absurdité. Il n"existe donc pas de tels scalaire non tous nuls vérifiant l"équation précédente et la famille est libre.

2) Pour toutk, on pose les propriétésPk: " être dominée au voisinage de+∞

parfk". L"ensemble(P1,...Pn)hiérarchise l"ensemble des fonctions que nous considérons. La famille est donc libre. Exercice 17 :Les familles suivantes de vecteurs deR3sont-elles libres? Si ce n"est pas le cas, former une relation liant ces vecteurs :

1)(x1,x2)avecx1= (1,0,1)etx2= (1,2,2).

2)(x1,x2,x3)avecx1= (1,2,1),x2= (2,1,-1)etx3= (-1,1,-2).

3)(x1,x2,x3)avecx1= (1,0,0),x2= (1,1,0)etx3= (1,-1,-2).

4)(x1,x2,x3)avecx1= (1,-1,1),x2= (2,-1,3)etx3= (-1,1,-1).

Correction :

1) oui

2) oui

3) nonx3=x2-x1

4) nonx3=-x1

Exercice 18 :Soit(a,b,c)?R3. les fonctionsx?→sin(x+a),x?→sin(x+b) et?→sin(x+c)sont-elles linéairement indépendantes? CorrectionNon car les ces trois fonctions sont combinaisons linéaires des deux fonctiosn suivantes : x?→sin(x), x?→cos(x). Exercice 19 :Soientf1,...fndes formes linéaires sur unK-espace vectorielE de dimensionn. On suppose qu"il existex?Enon nul tel que f

1(x) =···=fn(x) = 0.

Montrer que la famille(f1,...fn)est liée.

7 Correction :Soitφune forme linéaire ne s"annulant pas enx. Celle-ci n"est pas combinaison linéaire des(f1,...fn). Cette famille n"est donc pas génératrice et par suite elle est liée car formée den=dimE?éléments deE?. Exercice 20 :SoitE={(x,y,z)?R3|x+y-2z= 0et2x-y-z= 0}. Chercher une famille génératrice pour cette espace vectoriel. Correction :Le vecteur(1,1,1)forme une famille génératrice deE. (Il suffit pour le remarquer de transformer le système définissantEen le systèmex=y=z. Exercice 21 :SoitE={(x1,x2,x3,x4)?R4|x1+x3= 0et, x2+x4= 0} etF=V ect(u1= (1,1,1,1),u2= (1,-1,1,-1),u3= (1,-1,1,-1)). Déterminer une famille génératrice deE+F.

Correction :

Soitu= (x1,x2,x3,x4)?E. Nous avons

x 1=-x3 x

2=-x4(4)

Ainsi, on peut prendreu4= (-1,0,1,0)etu5= (0,-1,0,1)deux vecteurs non proportionnels qui forment donc une base deE(qui est donc de dimension 2). PourF, il est clair queu1+u2= 2u3donc la famille(u1,u2,u3)est liée. Ainsi,

F=V ect(u1,u2,u3) =V ect(u1,u2)

et les vecteursu1,u2n"étant pas colinéaires, ils forment une famille libre qui engendreF, c"est donc une base deFdont la dimension est donc 2. Ainsi, une famille génératrice deE+Fest donc(u1,u2,u4,u5). En effet, soit x?E+F,?u?Fetv?Etels quex=u+v. Mais?a1,a2,a3,a4tels que u=a1u1+a2u2etv=a3u4+a4u5d"où le résultat. Exercice 22 :SoitEunK-espace vectoriel de dimension 3 ete= (e1,e2,e3) une base deE. On pose

1=e2+ 2e3,?2=e3-e1, ?3=e1+ 2e2.

Montrer que?est une base deE.

Correction :

On montrer que la nouvelle famille est libre. En supposant queλ1?1+λ2?2+

3?3= 0, on trouve que(λ3-λ2)e1+ (λ1+ 2λ3)e2+ (2λ2+λ2)e3= 0. Comme la

famille(e1,e2,e3)est une base, c"est une famille libre. Nous avons doncλ3-λ2= 0,

1+ 2λ3= 0et2λ2+λ2= 0d"oùλ1=λ2=λ3= 0et la famille est libre. Nous

8 avons une famille libre de même cardinal que la base initiale, il s"agit donc aussi d"une base. Exercice 23 :DansR4, on considère l"ensembleEdes vecteurs(x1,x2,x3,x4) vérifiantx1+x2+x3+x4= 0. L"ensembleEest-il un espace vectoriel? Si oui, en donner une base.

Correction :

En posantφ: (x1,x2,x3,x4)?→x1+x2+x3+x4, nous avons facilement que l"ensemble considéré est un espace vectoriel puisque que c"est le noyau deφqui est linéaire. Le théorème du rang nous donne alors que la dimension de ce noyau vaudra

3 puisqueφest surjective ( le rélaa pour antécédent(a4

,a4 ,a4 ,a4 )par exemple). Nous devons donc chercher trois vecteurs de l"ensemble et vérifier qu"ils forment une famille libre. Le lecteur vérifiera quev1= (1,-1,0,0),v2= (1,0,-1,0)et v

3= (1,0,0,-1)rÃľpond au problème.

Exercice 24 :SoitP1=X2+ 1,P2=X2+X-1etP3=X2+X. Montrer que cette famille est une base deK2[X].

Correction :

Supposonsλ1P1+λ2P2+λ3P3= 0. Par égalité de coefficients de polynômes, on a

1-λ2= 0,λ2+λ3= 0etλ1+λ3+λ3= 0. Soit, après résolutionλ1=λ2=λ3= 0.

La famille est donc libre, et formée de3 =dimK2[X]éléments. La famille est donc aussi génératrice : c"est une base! Exercice 25 :Pourk? {0,...n}; on posePk= (X+ 1)k+1-Xk+1. Montrer que(P0,...Pn)forme une base deKn[X].

Correction :

On remarque quedeg(Pk) =k, doncPk?Kn[X]. Supposons queλ0P0+ nPn= 0. Siλn?= 0, alorsdeg(λ0P0+···+λnPn) =ncardeg(λ0P0+···+ être nul. Doncλn= 0. On réitère pour montrer que tous lesλsont nuls. La famille est donc libre et contientn+ 1 =dimKn[X]éléments, c"est donc une base. Remarque :On peut rédiger la partie liberté de la même manière qu"à l"exer- cice 13. Exercice 27 :DansR4, on considère les vecteursu= (1,0,1,0),v= (0,1,-1,0 =, w= (1,1,1,1),x= (0,0,1,0)ety= (1,1,0,-1). SoitF=V ect(u,v,w)et G=V ect(x,y). Quelles sont les dimensions deF,G,F+GetF∩G?

Correction :

(u,v,w)forme une famille libre donc une base deF. Ainsi, la dimension deF 9 vaut 3.(x,y)forment une famille libre docn une base deG. Ainsi, la dimension de G vaut 2.(u,v,w,x,)forme une famille libre donc une base deR4. Ainsi,F+G=E et donc la dimension deF+Gvaut 4. Enfin, nous avons dim(F∩G) =dim(F) +dim(G)-dim(F+G) = 1. Exercice 28 :SoitEunK-espace vectoriel de dimension 3 ete= (e1,e2,e3) une base deE. On pose

On pose

1=e1+ 2e2+ 2e3,?2=e2+e3

Montrer que la famille?est libre et la compléter en une base deE.

Correction :

Les vecteurs?1et?2ne sont pas colinéaires et forment donc une famille libre. Pour?3=e2(ou encore?3=e3, mais pas?3=e1), on montre que la famille(?) est libre et donc une base deE. Exercice 29 :SoitEl"ensemble des fonctionsf:R→Rtelles qu"il existe a,b,c?Rpour lesquels : ?x?R, f(x) = (ax2+bx+c)cos(x).

1) Montrer queEest une sous espace vectoriel deF(R,R).

2) Déterminer une base deEet sa dimension.

Correction :

1)E=V ect(f0,f1,f2)avecf0(x) = cos(x),f1(x) =xcos(x)etf2(x) =

x

2cos(x).Eest donc un sous-espace vectoriel et(f0,f1,f2)en est une fa-

mille génératrice.

2) Supposonsαf0+βf1+γf3= 0.

On a donc pour toutx?R,(α+βxγx2)cos(x) = 0. Pourx= 2nπ, on obteint

α+2nπβ+4n2π2γ= 0pour toutn. Siγ?= 0, alorsα+2nπβ+4n2π2γ→ ∞.

C"est exclu. Doncγ= 0. On a alorsα+ 2nπβ= 0pour toutn. Pourn= 0, puisn= 1, on obtient alorsα=β= 0. Finalement,(f0,f1,f2)est une famille libre. C"est donc une base deEqui est donc de dimension 3. Exercice 30 :SoitEl"espace vectoriel des fonctions deRdansR. SoientPle sous-espace des fonctions paires etIle sous-espace des fonctions paires. Montrer queE=P?I.

Correction :

10 Analyse : Soitfune fonction réelle. Soitgune fonction paire ethune fonction impaire telles que f=g+h.

Nous avons donc

f(-x) =g(x)-h(x) f(x) =g(x) +h(x)(5) En sommant ces deux équations, nous trouvons donc que l"unique possibilité est de prendre g(x) =f(x) +f(-x)2 h(x) =f(x)-g(x) =f(x)-f(-x)2 (6) Nous venons donc de montrer que si une telle décomposition existe, alors elle est celle-ci (unicité!).

Synthèse : Posons

g(x) =f(x) +f(-x)2 h(x) =f(x)-f(-x)2 (7) Nous avons alorsh?I,g?Petf=g+h. Ainsi, nous avons montrer que ?f,?!(g,h)?P×I,|f=g+h et donc queE=I?P. Exercice 31 :SoitF={f? C1(R,R)|f(0) =f?(0) = 0}etG={x?→ax+b|(a,b)?R2}. Montrer queFetGsont supplémentaires dansC1(R,R).

Correction :

Fest inclus dans l"ensemble des fonctionsC1et0est un élément deF. La stabilité par multiplication par un scalaire et addition est claire (linéarité de la somme et de la dérivée).

De même pourG, il n"y a pas de difficultés.

Soith?F?G. Commeh?F,h(0) =b= 0eth?(0) =a= 0donch(x) = 0.

L"intersection est donc le singleton nul.

Soithune fonctionC1. Pososnsa=h?(0)?Retb=h(0),g:x?→ax+bet f=h-g. Clairement, nous avonsg?Geth=f+g. De plus,f(0) =h(0)-b etf?(0) =h?(0)-a= 0. Doncf?F. Ainsi, 11

F+G=C1.

D"où le résultat.

Remarque :Pour trouver la bonne décomposition, il faut faire une raisonne- ment par analyse. Nous avonsh. Nous voulons l"écrireh=f+gavecg(x) =ax+b etf(0) =f?(0) = 0. Ainsi,h(0) = 0 +aeth?(0) = 0 +b. Nous devons donc for- cément prendrea=h(0)etb=h?(0), ce qui nous donneg! Il reste en réalité seulement à vérifier alors quef=h-gvérifie les bonnes propriétés. Exercice 32 :SoitEun espace vectoriel de dimension finie, et(f,g)deux endomorphismes deEavecE=Im(f)+Im(g) =Ker(f)+Ker(g). Montrer que

E=Im(f)?im(g) =Ker(f)?Ker(g).

Correction :

Il s"agit d"abord de montrer queIm(f)∩Im(g) =Ker(f)?Ker(g) ={0E}.

Par hypothèse,

dim(E) =rg(f) +rg(g)-dim(Im(f)∩Im(g)) =dim(Ker(f)) +dim(Ker(g))-dim(Ker(f)?Ker(g))(8) d"où en sommant

2dim(E) =rg(f) +dim(Ker(f)) +rg(g) +dim(Ker(g))

-dim(Im(f)?Im(g))-dim(Ker(f)?Ker(g))(9) Le téhorème du rang appliqué àfet àgdonne alors dim(Im(f)?Im(g)) +dim(Ker(f)?Ker(g)) = 0. d"où le résultat. Exercice 33 :Soitf? L(E)etP?K[X]. Montrer que siPannulef, et admet 0 pour racine simple, alorsIm(f)etKer(f)sont supplémentaires dansE.

Correction :

NotonsP=?

k≥1a kXk(on rappelle queP(0) = 0). Le polynômePadmettant

0 pour racine simple,a1?= 0.

Soity?Im(f)∩Ker(f). Soitx?Etel quey=f(x). DeP(f)(x) = 0E, on déduit quea1y= 0E, donc quey= 0E. AinsiIm(f)∩Ker(f) = 0.

Pour toutx?E,?

k≥1a kfk-1(x)?Ker(f), etk≥2akfk-1(x)?Im(f), et on peut donc écrire 12 s=1a 1( k≥1a kfk-1(x)-? k≥2a kfk-1(x)) ?Ker(f) +Im(f). Finalement,Im(f)etKerf(f)sont supplémentaires dansE. Exercice 34 :Soituetvdes applications linéaires deEdansFdeux espaces de dimensions finies. Montrer que

Correction :

Cet exercice est très classique, il faut savoir le faire! Clairement, nous avons,

Im(u+v)?Im(u) +Im(v).

En prenant les dimensions, nous avons

En appliquant cette première inégalité àu+vet-v, on obtient rg(u+v). En appliquant la première inégalité àu+vet-u, on trouve

Finalement, nous avons montré que

Exercice 35 :SoitFun sous-espace vectoriel deEet

N={f? L(E), F?Ker(f)}.

Calculer la dimension deN.

Correction :

Revenons à l"exercice 7. L"applicationφest surjective. En effet, soitGun supplémentaire deFdansEeth? L(E,F). L"élément deL(E)coincidant avec hsurFet nul surGa pour imagehparφ. Le théorème de rang appliqué àφ permet alors d"affirmer que : 13 dim(N) =dim(L(E))-dim(L(E,F)), soit dim(N) =dim(E)(dim(E)-dim(F)). Exercice 36 :SoitEunK-espace vectoriel de dimension finie,fetgdeux endomorphismes deE, telq quef◦g= 0etf+ginversible. Montrer que rg(f) +rg(g) =dim(E).

Correction :

D"après l"exercice 34, nous avons

Ainsi Pour l"inégalité en sens inverse, on part de la relationf◦g= 0, qui donne dim(E)-rg(f)d"après le téhorème du rang. Ainsi,

Nous avons démontré l"égalité.

Exercice 37 :Soientp?N?etEl"ensemble des suites réellesp"périodiques. Montrer queEest unR-espace vectoriel de dimension finie et déterminer cette dimension.

Correction :

e i(n) =:? ?1sin=i[p]

0sinon

On vérifie aisément que les suitese0,...ep-1sont linéairement indépendantes et on a ?u?E, u=p-1? i=0u(i)ei 14 La famille(e0,...ep-1)est donc une base deeet par suitedim(E) =p. Exercice 38 :SoieEl"ensemble des applications deRdansR. Soitφallant deEdansE, qui àfassociex?→f(-x2).Montrer queφest linéaire.

Correction :

Il sufit de remarquer queφest la composition à gauche (linéaire!) parg:x?→ -x2. Attention, en revanche, la composition à droite parφn"est pas linéaire! Exercice 39 :SoitEleR-espace vectoriel des applications indéfiniment déri- vables surR. Soientφ:E→Eetψ:E→Eles applications définies par :

φ(f) =f?, ψ(f) :x?→?

x

0f(t)dt.

Montrer queφetψsont des endomorphismes. Déterminer images et noyaux.

Correction :

1) Soientλ,μ?R,f,g?E,

φ(λf+μg) = (λf?+μg?=λφ(f) +μφ(g) et ?x?R,ψ(λf+μg)(x) =? x

0λf(t)μg(t)dt=λ?

x

0f(t)dt+μ?

x

0g(t)dt

Remarque :Lorsque ces notions sont devenues évidentes pour vous, une phrase de justification du genre "φetψsont linéaires par linéarité de l"inté- grale et de la dérivation" sera suffisante. De plusφ:E?→Eainsi queψdonc nous avons bien deux endomorphismesquotesdbs_dbs45.pdfusesText_45

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