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1 8 2 THÉORÈME (L'INÉGALITÉ DES ACCROISSEMENTS FINIS ) On a néanmoins le corollaire suivant : si on n'impose pas aux différentielles des
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On a ensuite défini la notion de différentiabilité qui correspond mieux à nos attentes C'est une notion plus forte puisque l'existence de la différentielle
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3 3 Fonctions de classe C1 et différentielles partielles L'inégalité des accroissements finis en découle alors directement Théorème 3 14
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L3 - Calcul différentiel TD - Inégalités des accroissements finis et Théorème du point fixe Etant donné un réel strictement positif k on rappelle que'une
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Souvent pour étudier des fonctions et calculer des limites on a besoin d'établir des inégalités L'égalité des accroissements finis (et sa généralisation la
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Calcul Différentiel et Analyse Complexe Inégalité des accroissements finis On peut regarder la différentielle du gradient en un point ¯x ? ?
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9 jui 2008 · L'inégalité des accroissements finis est un résultat tout `a fait central du calcul différentiel si important qu'on vient `a l'oublier
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II Théorème et Inégalité des accroissements finis III Approximation de f par un polynôme de degré deux 2° Méthode : pour mémoire I Théorème de Rolle
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Cas de plusieurs variables THEOREME (Inégalité des accroissements finis) Soit f : U ? E ? F o`u E et F sont deux evn et
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et de l'inégalité des accroissements finis pour une fonction d'une ou plusieurs variables réelles Calcul différentiel Cassini (1999) Exercice 1
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Une autre variante du théorème des accroissement finis où l'égalité est rempla- cée par une inégalité sur les normes 1 8 10 THÉORÈME (L'INÉGALITÉ DES
[PDF] Fonctions de classe C - Inégalité des accroissements finis
L'inégalité des accroissements finis est quant à elle toujours valable Et elle nous rendra bien des services 4 1 Fonctions de classe C1 Soit U un ouvert de
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Inégalité des accroissements finis Exemples d'applications à l'étude de suites ou de fonctions L'exposé pourra être illustré par un ou des exemples
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L'égalité des accroissements finis (et sa généralisation la formule de Taylor-Lagrange qu'on verra plus tard dans ce cours) nous fournit une méthode utile
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Si la fonction f est à valeurs dans un evn quelconque on voit donc que l'inégalité des accroissements finis est toujours vraie Par contre le Théorème 3 13 ne l
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Dans le cas spécial des fonctions de R dans R (ou C) on a l'énoncé analogue mais o`u l'on peut simplement utiliser les dérivées au lieu des différentielles:
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•Théorème: (Inégalité des inégalité des accroissements accroissements finis) Soit f: LI CRI application continue our une différentiable
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et de l'inégalité des accroissements finis pour une fonction d'une ou plusieurs variables réelles Calcul différentiel Cassini (1999) Exercice 1
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18 mai 2009 · Inégalité des accroissements finis Exemples d'applications à l'étude de suites et de fonctions L'exposé pourra être illustré par un ou des
Comment utiliser l'inégalité des accroissements finis ?
L'inégalité des accroissements finis se généralise aux fonctions de plusieurs variables. Théorème : Soit U un ouvert de Rn et f:U?Rp f : U ? R p . Soit a et b deux points de U tels que le segment [a,b] soit contenu dans U .- Le théorème énoncé par Rolle comporte la condition plus restrictive f ( a ) = f ( b ) = 0 , cette dernière égalité n'est pas nécessaire à la démonstration mais ce théorème est souvent utilisé dans des problèmes de séparation des racines : il exprime en effet que, pour une fonction dérivable, les zéros de séparent les
1.Applicationsdif férentiables:Le théorèmedesaccroissementsfinis33
1.8Lethéorème desaccroissementsfinis
Rappelonslerésultat classiquepourles fonctionsd'unevariable réelleàvaleurs dansR.1.8.1THÉORÈME(THÉORÈMEDESACCROISSEME NTSFINISS URR)
Soitfunefonction continuesurunintervalle[a,b],àvaleurs dansR,dérivable sur ]a,b[.Alors,ilexiste c2]a,b[telque
f(b)f(a)=f 0 (c)(ba). (oùilexiste q2]0,1[telque f(b)f(a)=f 0 (a+q(ba))(ba). Uneautre version(plusfaible)dece résultatestl'i négalitédesaccr oissementsfinis:1.8.2THÉORÈME(L'INÉGALITÉDESACCROISSEMENTS FINIS)
Soitfunefonction continuesurunintervalle[a,b],àvaleurs dansR,dérivable sur ]a,b[.SoitM0telleque |f 0 (x)|M,pourtout x2[a,b],alors|f(y)f(x)|M|yx|pourtoutx,y2[a,b].
Onendéduit unepremièr eextensiondu théorèmedesaccr oissementsfinispour lesfonctionsdéfinies surunouvert d'unespacevectoriel norméEàvaleurs dansR.1.8.3DÉFINITION
1)SoitEunespace vectoriel,a,b2E.Lesegment [a,b]estlesous-ensemble deE
définipar [a,b]={x2E;ilexiste t2[0,1]telquex=a+t(ba)}2)Unsous-ensemble U⇢Eestditconvexesipourtout a,b2Ulesegment
[a,b]⇢U.1.8.4THÉORÈME(THÉORÈMEDESACCROISSEME NTSFINISÀ VALEURSDANSR)
Soitf:U!Runefonctiondif férentiabledans l'ouvertU⇢E.Soita,b2U,sile segment[a,b]estcontenudans U,ilexiste q2]0,1[telleque f(b)f(a)=Df(a+q(ba)).(ba) cequiest équivalentàdir equ'il existec2]a,b[telquef(b)f(a)=Df(c).(ba).1.Applicationsdif férentiables:Le théorèmedesaccroissementsfinis34
FIGURE1.1-convexe
FIGURE1.2-non convexe
Démonstration:Onappliquele théorèmedesaccr oissementsfinisà lafonctiong: n est l'applicationdéfiniepar A(t)=a+t(ba). gestdiffér entiablesur[0,1],commecomposée defonctionsdif férentiableset g 0 (t)=Df(A(t))(DA(t))=Df(a+t(ba)).(ba)Ilexistedonc q2]0,1[telqueg(1)g(0)=g
0 (q), quisetraduit par:il existeq2]0,1[telque f(b)f(a)=Df(a+q(ba)).(ba).1.8.6REMARQUE.L'exemplesuivantmontreque cerésultatest fauxsifestàvaleurs
dansunespace vectorieldedimension 2.1.8.7EXEMPLE.Soitf:R!R
2 ,x7!f(x)=(x 2 ,x 3 ).Sadif férentielleau pointxestDf(x)=(2x,3x
2 ).D'autre part,f(1)f(0)=(1,1)etpourtout c2R,Df(c)= (2c,3c 2 )6=(1,1)onmontre ainsi,lethéorèmeprécédentnes'applique pasàf. Onanéanmoins, lecorollair esuivant: sionn'impose pasauxdifférentiellesdes composantesde fsoientévaluéesen unmêmepoint c:1.8.8COROLLAIRE
Soitf:U!R
m ,x7!(f 1 (x),...,f m (x))unefonctiondif férentiable.Soit a,b2U, silesegment [a,b]estcontenudans U,ilexiste mpointsc 1 ,...,c m2]a,b[telleque
pourtoutj2{1,...,m}ona f j (b)f j (a)=Df(c j ).(ba)1.Applicationsdif férentiables:Le théorèmedesaccroissementsfinis35
Démonstration:Onapplique 1.8.4àchaquecomposante f j def. Uneautre varianteduthéorèmedesaccr oissementfinisoù l'égalitéestr empla- céeparune inégalitésurles normes.1.8.10THÉORÈME(L'INÉGALITÉDESACCROISSEMENTS FINIS)
Soitf:U!R
m uneapplicationdif férentiable.UouvertdeR nPourtouta,b2R
n telsquele segment[a,b]⇢U,ona : kf(b)f(a)k sup x2]a,b[ kDf(x)k .kbak Démonstration:Onsupposef(b)f(a)6=0,sinonl'inégalité estévidente.On pose v= f(b)f(a) kf(b)f(a)k .Onconsidér elaforme linéairecontinuey,définiepar :pourtout y2F,y(y)=Dyf(a+q(ba)).(ba)=y
Df(a+q
y (ba))(ba) s'écritaussiDémonstration:Soite>0fixé.
onposeS e e est unepartien onvideet bornéedeR,elleadmet unebornesupérieur e,qu'onnotera t 0Onveutmontr erque t
0 =1. Sit 0 <1,alorspar définitiondela bornesupérieure, ilexiste unesuiteh n >0 tellequelim n!+• h n =0etkg(t 0 +h n )g(0)k>(M+e).(t 0 +h n ).D'oùpar conti- nuitédegetpassageà lalimite,on aurakg(t 0 )g(0)k(M+e).t 0 .Alors kg(t 0 +h n )g(t 0 )kkg(t 0 +h n )g(0)kkg(t 0 )g(0)k>(M+e).(t 0 +h n )(M+e).t 0 (M+e).h n ainsik g(t 0 +h n )g(t 0 h n k>M+eetparpassage àlalimite onobtient kDg(t 0 )kM+e>M,cecicontr editl'hypothèsekDg(t)kMpourtoutt2 [0,1].Donct 0 =1.Par suite,pourtoute>0,kg(1)g(0)k(M+e)cequi signifiekg(1)g(0)kM.1.Applicationsdif férentiables:Le théorèmedesaccroissementsfinis36
1.8.14THÉORÈME(L'INÉGALITÉDESACCROISSEMENTS FINIS(CASGÉNÉRAL ))
SoientEetFdeuxevnet f:U!Funeapplicationdif férentiable. UouvertdeE. Soientx,y2Utelsquele segment[x,y]⇢U.Onsuppose qu'ilexisteM0 kf(y)f(x)kMkxyk(1.3) etparsuite kDg(t)kkDf(x+t(yx))k.kyxkM.kyxk. Onappliquele lemmeprécédentà gpourobtenirle résultat kf(y)f(x)k=kg(1)g(0)kMkyxk1.8.1Quelquesapplications duthéorèmedes accroissementsfinis
1.8.16COROLLAIRE
SoientEetFdeuxevn.f:U!Funeapplicationdif férentiable.UouvertdeE. SoitT2L(E,F).Pourtout a,b2Etelsquele segment[a,b]⇢U,ona : kf(b)f(a)T(ba)kkbak sup x2]a,b[ kDf(x)Tk .(1.4)Enparticulier, siT=Df(a)onaura
kf(b)f(a)Df(a)(ba)kkbak sup x2]a,b[ kDf(x)Df(a)k .(1.5) Démonstration:Résultedel'inégalité desaccroissement finisappliquéeà fTetde lalinéaritéde TquientraîneDT(x)=T.SoientE=E
1 ⇥...⇥E n etFdesespacesvectoriels normés,U⇢Eunouvertet f:U!Funeapplication. Onavu précédemmentquesi festdiffér entiableentoutpointa2U,alorsDf(a)=(D
1 f(a),...,D n f(a))etchaquecomposante D i f(a)2L(E,F),maisque la réciproqueestengénérale fausse. Lerésultatsuivant donnele lienentre continuitédesdérivées partiellesetconti- nuitédela différentielle.1.Applicationsdif férentiables:Le théorèmedesaccroissementsfinis37
1.8.18THÉORÈME
SoientE=E
1 ⇥...⇥E n etFdesespacesvectoriels normés,U⇢Eunouvertet f:U!Funeapplication.Alorsfestdeclasse C
1 sietseulement sipourtout j2{1,...,n},D j fexisteet estcontinue. Démonstration:"=)"SiDfestcontinueil enestde mêmedeses composantesD i f, donclesdérivées partiellessont continues. "(="Supposonsque pourtoutj2{1,...,n},D j fexisteetest continue. Pourallégerles notatiosnonpr endran=2,lamême techniquemar chepour n3.Soita=(a
1 ,a 2 )2Uet(h 1 ,h 2 )2E=E 1 ⇥E 2 ,onécrit f(a+h)f(a)=f(a 1 +h 1 ,a 2 +h 2 )f(a 1 ,a 2 =f(a 1 +h 1 ,a 2 +h 2 )f(a 1 +h 1 ,a 2 )+f(a 1 +h 1 ,a 2 )f(a 1 ,a 2Soit#>0.Parhypothèse, ilexisted>0telque pourkh
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