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1 8 2 THÉORÈME (L'INÉGALITÉ DES ACCROISSEMENTS FINIS ) On a néanmoins le corollaire suivant : si on n'impose pas aux différentielles des
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On a ensuite défini la notion de différentiabilité qui correspond mieux à nos attentes C'est une notion plus forte puisque l'existence de la différentielle
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3 3 Fonctions de classe C1 et différentielles partielles L'inégalité des accroissements finis en découle alors directement Théorème 3 14
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L3 - Calcul différentiel TD - Inégalités des accroissements finis et Théorème du point fixe Etant donné un réel strictement positif k on rappelle que'une
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Souvent pour étudier des fonctions et calculer des limites on a besoin d'établir des inégalités L'égalité des accroissements finis (et sa généralisation la
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Calcul Différentiel et Analyse Complexe Inégalité des accroissements finis On peut regarder la différentielle du gradient en un point ¯x ? ?
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9 jui 2008 · L'inégalité des accroissements finis est un résultat tout `a fait central du calcul différentiel si important qu'on vient `a l'oublier
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II Théorème et Inégalité des accroissements finis III Approximation de f par un polynôme de degré deux 2° Méthode : pour mémoire I Théorème de Rolle
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Cas de plusieurs variables THEOREME (Inégalité des accroissements finis) Soit f : U ? E ? F o`u E et F sont deux evn et
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et de l'inégalité des accroissements finis pour une fonction d'une ou plusieurs variables réelles Calcul différentiel Cassini (1999) Exercice 1
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Une autre variante du théorème des accroissement finis où l'égalité est rempla- cée par une inégalité sur les normes 1 8 10 THÉORÈME (L'INÉGALITÉ DES
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L'inégalité des accroissements finis est quant à elle toujours valable Et elle nous rendra bien des services 4 1 Fonctions de classe C1 Soit U un ouvert de
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Inégalité des accroissements finis Exemples d'applications à l'étude de suites ou de fonctions L'exposé pourra être illustré par un ou des exemples
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L'égalité des accroissements finis (et sa généralisation la formule de Taylor-Lagrange qu'on verra plus tard dans ce cours) nous fournit une méthode utile
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Si la fonction f est à valeurs dans un evn quelconque on voit donc que l'inégalité des accroissements finis est toujours vraie Par contre le Théorème 3 13 ne l
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Dans le cas spécial des fonctions de R dans R (ou C) on a l'énoncé analogue mais o`u l'on peut simplement utiliser les dérivées au lieu des différentielles:
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•Théorème: (Inégalité des inégalité des accroissements accroissements finis) Soit f: LI CRI application continue our une différentiable
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et de l'inégalité des accroissements finis pour une fonction d'une ou plusieurs variables réelles Calcul différentiel Cassini (1999) Exercice 1
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18 mai 2009 · Inégalité des accroissements finis Exemples d'applications à l'étude de suites et de fonctions L'exposé pourra être illustré par un ou des
Comment utiliser l'inégalité des accroissements finis ?
L'inégalité des accroissements finis se généralise aux fonctions de plusieurs variables. Théorème : Soit U un ouvert de Rn et f:U?Rp f : U ? R p . Soit a et b deux points de U tels que le segment [a,b] soit contenu dans U .- Le théorème énoncé par Rolle comporte la condition plus restrictive f ( a ) = f ( b ) = 0 , cette dernière égalité n'est pas nécessaire à la démonstration mais ce théorème est souvent utilisé dans des problèmes de séparation des racines : il exprime en effet que, pour une fonction dérivable, les zéros de séparent les
Manifestement,
f est dérivable sur ]0 et sur 0[ et sa dérivée en un point x = 0 est égale à f x 2 x sin�1 x� cos�1x� . Notons que f x n'a pas de limite quand x tend vers 0 (pourquoi?). Cela ne signi fi e pas, a priori, que f n'est pas dérivable en 0 ! Pour décider si elle est dérivable, on forme le taux d'accroissement : f x f (0) x0=f(x)x= xsin�1x�
On conclut que
f x f (0) x0tend vers 0 quand x tend vers 0 : f est bien dérivable en 0, et f
(0) = 0 . Mais f n'est pas continue en 06.3 Théorème de Rolle et des accroissements
fi nis. Dé fi nition 6.20. Soit I un intervalle de R et f I R une fonction. On dit que a I est un : maximum de f sur I si pour tout x I on a f x f a minimum de f sur I si pour tout x I on a f x f a extremum de f sur I si a est un minimum ou un maximum de f sur I Dé fi nition 6.21. Soit I un intervalle ouvert de R f I R et a I . On dit que a est un : maximum local de f sur I s'il existe 0 tel que pour tout x I on ait x a f x f a minimum local de f sur I s'il existe 0 tel que pour tout x I on ait x a f x f a extremum local de f sur I si a est un minimum local ou un maximum local de f sur IProposition 6.22.
Soit I un intervalle ouvert de R f I R une fonction et x un extremum local de f . Si f est dérivable en x alors on doit avoir f x ) = 0Démonstration.
Supposons que
x I est tel que f x = 0 , et montrons que x ne peut être un extremum local pour f . Supposons par exemple f x 0 . Comme f x est la limite du taux d'accroissementf(y) - f(x) y xquand y tend vers x, celui-ci doit être > 0 pour y suffisamment proche de x, autrement dit : 0 y I 0 y x f y f x y x> 0 .Par conséquent, pour tout
y I tel que 0 < y x , on a f y > f x , ce qui montre que x n'est pas un maximum local de f ; et pour tout y I tel que y x < 0 , on a f y < f x donc x n'est pas non plus un minimum local.Le cas
f x 0 se traite de la même façon, ou se déduit en appliquant ce qu'on vient de démontrer à fNotons par contre que la condition
f x ) = 0 n'est pas su ffi sante pour conclure que x est un extremum local de f ! Par exemple, si on considère la fonction f x x 3 , alors f (0) = 0 mais 0 n'est pas un extremum local de f. Les développements limités nous permettront bientôt de mieux étudier le comportement local d'une fonction
en un point où f x ) = 0Théorème 6.23
(Théorème de Rolle) Soit a < b deux réels, et f une fonction continue sur a,b et dérivable sur a,b telle que f a f b . Alors il existe c a,b tel que f c ) = 0 53Démonstration. Si f est constante sur [a,b] il n'y a rien à faire; sinon, on sait que f admet un maximum M
et un minimum m sur a,b , et au moins l'un des deux doit être di fférent de
f a . Disons par exemple que M > f a et soit c a,b tel que f c M . Alors f c est le maximum de f sur a,b c est un maximum local de f , donc f c ) = 0Ci-dessous une image
i illustrant le théorème de Rolle; sur le dessin il y a trois c satisfaisant l'égalité f c ) = 0Théorème 6.24
(Égalité des accroissements fi nis) Soit a < b deux réels, et f a,b R une fonction continue sur a,b et dérivable sur a,b . Alors il existe c a,b tel que f b f a fquotesdbs_dbs45.pdfusesText_45[PDF] theoreme accroissements finis
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