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Approximations variationnelles des EDP

Notes du Cours de M2

Albert Cohen

Dans ce cours, on s"intéresse à l"approximation numérique d"équations aux dérivées partielles linéaires

qui admettent uneformulation variationnelle, c"est à dire dont la solutionuest aussi solution du problème

(V)Trouveru2Xtel quea(u;v) =L(v)pour toutv2X, oùXest un espace de Hilbert,aune forme bilinéaire surXX, etLune forme linéaire surX. Ces formulations sont importantes pour les raisons suivantes :

1. De nombreux problèmes issus de la physique et de la mécanique admettent de telles formulations,

et celles-ci reflètent souvent une propriété fondamentale du modèle, typiquement la minimisation

d"une énergie sous-jacente.

2. Ces formulations donnent accès à des résultats fondamentaux sur le caractère bien posé de l"équa-

tion, c"est à dire l"existence et l"unicité de la solution, et la stabilité de cette solution par rapport à

des perturbations des données.

3. Elles sont à la base de méthodes performantes pour l"approximation numérique des solutions, par la

résolution d"un problème approché :trouveruh2Xhtel quea(uh;vh) =L(vh)pour toutvh2Xh, oùXhest un sous-espace de dimension finie deX. Le cours se concentre autour de ce dernier aspect qui pose la question du contrôle de l"erreuruuh

entre la solution exacte et la solution approchée. On s"interessera tout particulièrement à laméthode des

éléments finisdans laquelle les fonctions deXhsont polynomiales par morceaux sur une partition du

domaine de la solution de l"équation.

Ces notes contiennent la totalité des résultats du cours sous une forme relativement condensée. En

particulier, les démonstrations les plus simples sont esquissées ou laissées en exercice.Ces notes sont mises

à jour et corrigées en temps réel. Toutes les remarques permettant d"en améliorer la rédaction peuvent

être envoyées à l"adressecohen@ann.jussieu.fr. 1

1 Formulations et approximations variationnelles

1.1 Un exemple fondamental

Nous allons illustrer le passage à une formulation variationnelle sur l"exemple simple mais important

du problème du laplacien (ou équation de Poisson) : on cherche une fonctionutelle que u=fdans etuj@ = 0;(1.1) où désigne un ouvert borné de IRd,@ désigne la frontière de etfest une fonction définie sur

Il est important de faire des hypothèses supplémentaires sur larégularité géométriquedu domaine

Définition 1.1.1Le domaine

est dit lipschitzien si il existe une une famille finie de boules ouvertes (Bi)i=1;;ntelle que@ [ni=1Biet sur chaqueBiil existe un système de coordonnées(x1;;xd)et une fonction ilipschitzienne telle que \Bi=f(x1;;xd)2Bi;xd< i(x1;;xd1)g: Intuitivement cela signifie que la frontière de peut-être vue localement comme le graphe d"une

fonction lipschitzienne. La plupart des domaines classiques - en particulier les polygones en dimension

2et presque tous les polyhèdres en dimension3- sont lipschitziens. Des exemples de domaines non-

lipschitziens sont ceux dont la frontière présente des points de rebroussement, ou une fissure rentrant

dans le domaine. On peut aussi définir des domaines plus réguliers : on dira que est de classeCm;1

lorsque les fonctions isontCmet leurs dérivées partielles d"ordremsont lipschitziennes. Tous les

domaines considérés dans ce cours seront au minimum de type lipschitzien.

Afin de donner un sens à l"équation (1.1) il faut préciserl"espacedans lequel on cherche la solution.

Un premier choix intuitivement possible est de chercherudansC2en supposant alorsfcontinue. En

multipliant l"équation par une fonctionvarbitraire de classeC1, et en intégrant sur le domaine, on obtient

Z uv=Z fv; et en appliquant la formule de Green Z ru rvZ @u@n v=Z fv; où @u@n =runest la dérivée normale deu, avecnle vecteur unitaire normal extérieur au bord@ . Dans le cas d"un domaine lipschitzien, cette normale est définie en presque tout point de@ et la formule de Green s"applique. En supposant de plus quevs"annulle au bord on obtient ainsi Z ru rv=Z fv: L"équation ci-dessus garde un sens lorsqueuest seulement de classeC1. En introduisant l"espaceX= fv2 C1;vj@ = 0g, on obtient ainsi que toute solution de (1.1) est aussi solution de la formulation variationnelle

Trouveru2Xtel quea(u;v) =L(v)pour toutv2X;

avec a(u;v) :=Z ru rv=hru;rviL2etL(v) :=Z fv=hf;viL2;

(dans l"ensemble du cours, on ne considère que des fonctions à valeurs réelles, ce qui explique l"absence

de quantités conjuguées dans la définition du produit scalaire). On voit aisément queaest bilinéaire sur

XXetLest linéaire surX.

Remarque 1.1.1La formulation variationnelle nous permet aisément d"obtenir un résultat d"unicité

pour l"équation, en prouvant, ce qui est équivalent, queu= 0sif= 0. En effet, en prenant dans ce cas

v=udans (1.1), on obtientru= 0, doncuest constante et forcément nulle puisqueu@ = 0. 2

Remarque 1.1.2Il est important de vérifier que réciproquement, toute solution suffisament régulière de

(1.1) est aussi solution de la formulation initiale (1.1). En supposantude classeC2et solution de (1.1),

on obtient en appliquant la formule de Green dans le sens inverse que Z (u+f)v= 0;pour toutv2X; qui implique immédiatement queu=f(exercice : on peut au choix évoquer l"égalitéu+f= 0au sens des distributions, ou la densité deXdansL2( ), ou prouver directement queu+fest nul en tout point de

Remarque 1.1.3Il est assez naturel que l"espaceXoù l"on cherche la solution soit le même que celui que

parcourent les fonctionsv. Remarquons que siXest un espace de dimension finie, toute équation de type

(1.1) peut se reformuler sous la forme d"une équation linéaireAu=foùAest l"unique endomorphisme

deXtel quea(u;v) =hAu;vietfl"unique élément deXtel queL(v) =hf;vi, avech;iun produit

scalaire fixé dansX. Dans un tel cas, l"unicité de la solution signifie queAest injective et donc un

isomorphisme ce qui assure l"existence d"une solution. Cependant nous travaillons ici en dimension infinie

et ce raisonement n"est plus valable. L"existence de la solution de (1.1) va découler de la théorie de Lax-

Milgram.

1.2 Théorie de Lax-Milgram

Dans cette section, on considère un problème général pouvant se mettre sous la forme variationnelle

(V)Trouveru2Xtel quea(u;v) =L(v)pour toutv2X,

Le théorème de Lax-Milgram apporte une réponse à l"existence, l"unicité et la stabilité de la solution

dans un cadre précis. Théorème 1.2.1On suppose queXest un espace de Hilbert et que les formesaetLvérifient les hypothèses suivantes :

1. Continuité deL:jL(v)j CLkvkXpour toutv2X.

2. Continuité dea:ja(u;v)j CakukXkvkXpour toutu;v2X.

3. Coercivité dea:a(u;u)kuk2Xpour toutu2X, avec >0.

Alors il existe une solution uniqueuau problème(V)qui vérifie l"estimation a-priori kukXkLkX0 aveckLkX0= supkvkX=1jL(v)jla norme deLdans le dualX0deX.

Preuve :L"estimation à postériori s"établit en prenantv=udans (V) puis en appliquant la continuité

deLet la coercivité deace qui donne kuk2XCLkukX: Il suffit alors de prendreCL=kLkX0. Cette estimation nous donne aussi l"unicité de la solution.

Pour l"existence, considérons d"abord le cas simple oùaest une forme symétrique. Dans ce cas, la

continuité et la coercivité deamontrent qu"il s"agit d"un produit scalaire surXXet que la norme

kvka:=pa(v;v)est équivalente à la normek kX. PuisqueLest continue, elle l"est aussi par rapport à

k k

aet le théorème de représentation de Riesz nous assure donc l"existence d"un uniqueu2Xtel que

L(v) =a(u;v)pour toutv2X.

Dans le cas non-symétrique, on remarque que puisquev7!a(u;v)etv7!L(v)sont continues, on peut écrirea(u;v) =hAu;vietL(v) =hf;vioùAest un opérateur continu surX,f2Xeth;iun

produit scalaire dansX. L"équation (V) s"écrit doncAu=fdansX. L"hypothèse de coercivité nous

permet d"affirmer que kvkX kAvkX; 3

pour toutv2X, ce qui entraine queIm(A)est un sous-espace fermé deXqui se décompose donc suivant

X= Im(A)(Im(A))?. Considérons à présentw2(Im(A))?. La coercivité nous montre que kwk2Xa(w;w) =hAw;wi= 0: Par conséquentIm(A) =Xce qui prouve l"existence de la solutionu. Remarque 1.2.1Bien qu"un espace de Hilbert s"identifie avec son dual, il sera souvent pertinent de

distinguerXetX0. On écrit donc plutôta(u;v) =hAu;viX0;XetL(v) =hf;viX0;XoùAest un opérateur

continu deXdansX0,f2X0eth;iX0;Xle produit de dualité entreX0etX. L"équation (V) s"écrit alorsAu=fdansX0et le théorème de Lax-Milgram montre queAest isomorphisme deXdansX0.

Remarque 1.2.2Dans le cas où la formeaest symétrique, on vérifie que toute solutionude (V) est

aussi un minimiseur surXde la fonctionelle

J(v) :=12

a(v;v)L(v):

On pourra vérifier (exercice) que la propriété de coercivité est alors équivalente à la propriété dite de

-convexité

J(v+w2

)J(v) +J(w)2 8 kvwk2X; et que toute fonction-convexe continue sur un espace de Hilbert atteint un minimum qui est unique (indication : prouver que les suites minimisantes sont de Cauchy).

Si l"on revient à présent au problème du laplacien (1.1) et à sa formulation variationnelle (1.1) dans

l"espaceX=fv2 C1;vj@ = 0g, on voit que kvkX:=krvkL2;

définit une norme surXtelle que les propriétés de continuité et de coercivité sont trivialement satisfaites

para. La continuité deL(v) =hf;viL2est une conséquence del"inégalité de Poincaré: si est un domaine lipschitzien borné, il existe une constanteCPtelle que pour toute fonctionfdeXon a kvkL2CPkrvkL2:(1.2)

En appliquant successivement l"inégalité de Cauchy-Schwarz et l"inégalité de Poincaré on a donc

jL(v)j kfkL2kvkL2CLkvkX;

avecCL=CPkfkL2. Toutes les conditions du théorème de Lax-Milgram sont vérifiées à l"exception du fait

queXmuni de la norme définie ci-dessus n"est pas un espace complet. Il est donc nécessaire d"introduire

un cadre fonctionnel mieux approprié. Celui-ci se fonde sur les espaces de Sobolev.

1.3 Rappels sur les espaces de Sobolev

Pourmentier positif,1p 1et

un domaine ouvert de IRdon définit W m;p( ) :=fv2Lp( ) ;Dv2Lp( );jj mg; les dérivéesDv=@jjv@x

11@xddétant prises au sens des distributions avec la notation usuellejj=

1++d. Autrement ditv2Wm;p(

)si et seulement si pour toutjj m, il existev2Lp( )telle queZ v '= (1)jjZ vD pour tout'2 D( )oùD( )est l"ensemble des fonctionsC1à support compact dans , et on note alors v =Dv. Lorsque1< p <1, une autre façon équivalente d"exprimer ceci est d"affirmer que pour tout jj m, il existe une constanteCtelle que j Z vD 'j Ck'kLp0; 4 avec1=p0+ 1=p= 1(exercice). Pourm= 0on poseW0;p=Lp

On munitWm;p(

)de la norme kvkWm;p:=X jjmkDvkp L p 1=p; et on définit aussi la semi-norme par jvjWm;p:=X jj=mkDvkp L p 1=p; de sorte quekvkWm;p= (kvkp W m1;p+jvjp W m;p)1=p. Dans le casp=1ces définitions sont modifiées en remplacant les norme`ppar desmax. En partant de ces définitions et en utilisant le fait queLp( )est complet, on démontre facilement le résultat suivant.

Théorème 1.3.1Wm;p(

)muni de sa norme est un espace de Banach. Dans le casp= 2qui nous intéresse plus particulièrement on poseHm( ) :=Wm;2( ). La norme H mdérive du produit scalaire hv;wiHm:=X jjmhDu;DviL2; et par conséquentHmest un espace de Hilbert.

La définition deWm;p(

)montre facilement que siv2Wm;p(IRd)alors sa restriction à est dans W m;p( ). Une question plus délicate est de savoir si toute fonction deWm;p( )est la restriction d"une fonction deWm;p(IRd). Nous admettrons le résultat difficile suivant du à Stein.

Théorème 1.3.2Si

est un domaine lipschitzien, il existe un opérateur linéaire d"extensionEborné deWm;p( )dansWm;p(IRd), c"est à dire tel que pour toutv2Wm;p( ), la restriction deEvà est

égale àvetkEvkWm;p(IRd)CkvkWm;p(

A titre d"exercice on pourra essayer de montrer que ce théorème est faux dans un domaine non- lipschitzien présentant une fissure.

Rappelons quelques résultats importants sur la densité des fonctions régulières dans les espaces de

Sobolev : si

est un ouvert lipschitzien,D( )est dense dansWm;p( )pourp <+1, oùD( )désigne l"ensemble des restrictions à des fonctionsC1. Ce théorème peut se démontrer d"abord sur IRdpar des opérations de troncature et de régularisation, puis sur en utilisant le théorème de prolongement

1.3.2. Il faut bien noter queD(

)diffère deD( )qui n"est pas dense dansWm;p( ), sauf si =IRdou sim= 0ce qui correspond à la densité deD( )dansLp( ). D"autre part, tous ces résultats de densité sont faux dans le casp=1.

Rappelons à présent les résultats concernant la restriction au bord outracedes fonctions des espaces

de Sobolev : si est un ouvert lipschitzien alors l"opérateur

0qui à une fonction régulièreudéfinie sur

associe sa restriction

0uau bord@

vérifie l"estimation k

0ukL2(@

)CkukH1( Cette estimation se prouve facilement dans le cas où est le demi-espace IRd1IR+(exercice), le passage à un ouvert plus général est technique et utilise les ouverts recouvrant la frontière de dans la définition 1.1.1. Par un argument de densité ceci montre que la trace

0définit un opérateur continu

deH1( )dansL2(@ ). Remarquons que la trace d"une fonction deL2( )n"a en général pas de sens puisque le@ est un ensemble de mesure nulle. La continuité de l"opérateur de trace permet de définir l"espace H 10( ) :=fv2H1(

0v= 0g;

qui est un sous-espace hilbertien deH1( ). On peut vérifier queD( )est dense dansH10( )qui peut ainsi être défini de manière équivalente comme la fermeture deD( )au sens de la normeH1. Ceci entraine en 5 particulier la validité de l"inégalité de Poincaré (1.2) pour les fonctions deH10( ). Cette inégalité nous indique que la semi-normekrvkL2est une norme équivalente à la normeH1surH10(quotesdbs_dbs14.pdfusesText_20

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