[PDF] Espaces de Sobolev Formulation variationnelle des EDP.





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EDP et méthodes hilbertiennes

Théor`eme 1.1 (Formule de Green-Ostrogradski) Soient ? un ouvert de Rd et F = (F1



Espaces de Sobolev Formulation variationnelle des EDP.

FORMULATION VARIATIONNELLE DES EDP. Alexandre Popier. Université du Maine Le Mans. A. Popier (Le Mans) Formule de Green : pour u et v dans H1(?) :.



Chapitre 1 (suite) Formulations variationnelles des EDP elliptiques

EDP elliptiques du second ordre. Proposition 5.1. multipliant l'EDP par une fonction test et en appliquant la formule de Green. Démontrons.



Cours de Master 1`ere année Fili`ere : Ingénierie Mathématique `a

Une équations aux dérivées partielles (e.d.p.) est une équation dont l'inconnue Cette notion de trace va nous permettre d'introduire la formule de Green ...



Idriss Mazari

Analyse-EDP. E. Grenier 1.5.6 La formule de Green . ... (revoir : dans le cours le theoreme parle d'un hyoperplan



Equations aux dérivées partielles

14 déc. 2018 1.4 Formule de Green. La formule de Green 3 est un outil fondamental pour la résolution des edp. Elle co?ncide en dimension.



Approximations variationelles des EDP Notes du Cours de M2

est définie en presque tout point de ?? et la formule de Green s'applique. En supposant de plus que v s'annulle au bord on obtient ainsi.



Equations aux dérivées partielles elliptiques linéaires et non

assurant le caract`ere elliptique du syst`eme d'EDP précédent. Pour la premi`ere formule de Green on applique le théor`eme de la divergence au.



Approximations variationnelles des EDP Notes du Cours de M2

on obtient en appliquant la formule de Green dans le sens inverse que. ?. ?. (?u + f)v = 0 pour tout v ? X



Méthodes Numériques

des équations aux dérivées partielles (EDP) contenant une combinaison de : support borné dans ?. Alors w vérifie la formule de Green.

.

ESPACES DESOBOLEV,

FORMULATION VARIATIONNELLE DESEDP.

Alexandre Popier

Université du Maine, Le Mans

A. Popier (Le Mans)Solutions faibles.1 / 42

PLAN DU COURS1ESPACES DEHILBERT2ESPACES DESOBOLEVPremières définitions et propriétés

Inégalités de Sobolev

EspaceH10(

)Notion de trace au bord

3FORMULATION VARIATIONNELLEProblème de Dirichlet

Régularité des solutions faibles

Équation de la chaleur

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PLAN1ESPACES DEHILBERT2ESPACES DESOBOLEVPremières définitions et propriétés

Inégalités de Sobolev

EspaceH10(

)Notion de trace au bord

3FORMULATION VARIATIONNELLEProblème de Dirichlet

Régularité des solutions faibles

Équation de la chaleur

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DÉFINITIONS.DÉFINITIONUnespace de Hilber test un espace v ectorielH m unid"un produit scalairehu;viet qui est complet pour la normehu;ui1=2 Un produit scalaire hu;viest une forme bilinéaire de HH dansR

symétrique, définie positive.THÉORÈME DE PROJECTIONSoitKH,HHilbert,Kconvexe fermé non vide. Alors pour tout

u2H, il existev2Kunique t.q. kuvk=infw2Kkuwk=minw2Kkuwk:

De plusvcaractérisé par

v2K;huv;wvi 0;8w2K:A. Popier (Le Mans)Solutions faibles.4 / 42

THÉORÈME DESTAMPACCHIA.DÉFINITIONUne forme bilinéaire A:HH!Restcontinues"il e xisteC t.q. pour tout (u;v),jA(u;v)j Ckukkvk;coercives"il e xiste >0t.q. pour tout u,A (u;u)kuk2.THÉORÈMESoitAbilinéaire continue et coercive. SoitKconvexe fermé non vide.

Pour2H0, il existeu2Kunique t.q.

8v2K;A(u;vu)(vu):

SiAest symétrique, alorsucaractérisé par

u2K;12

A(u;u)(u) =minv2K

12

A(v;v)(v)

A. Popier (Le Mans)Solutions faibles.5 / 42

THÉORÈME DELAX-MILGRAM.THÉORÈMESoitAbilinéaire continue et coercive. Pour2H0, il existeu2H

unique t.q.

8v2H;A(u;v) =(v):

SiAest symétrique, alorsucaractérisé par

u2H;12

A(u;u)(u) =minv2K

12

A(v;v)(v)

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Inégalités de Sobolev

EspaceH10(

)Notion de trace au bord

3FORMULATION VARIATIONNELLEProblème de Dirichlet

Régularité des solutions faibles

Équation de la chaleur

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INTRODUCTION.

PROBLÈME:pourc2L1(

)etf2L2( u(x) +c(x)u(x) =f(x);x2 u(x) =0;x2@

INTÉGRATION PAR PARTIES:siuet

sont assez réguliers, pour 2C1c( Z ru(x):r(x)dx+Z c(x)u(x)(x)dx=Z f(x)(x)dx:

RÉGULARITÉdeu:u2L2(

)etru2(L2( ))d!espaces de

Sobolev

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Inégalités de Sobolev

EspaceH10(

)Notion de trace au bord

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Régularité des solutions faibles

Équation de la chaleur

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PREMIÈRES DÉFINITIONS.

Soit

Rdouvert.DÉFINITIONL"espace de SobolevH

1( )est défini par H 1( u2L2( );9g1;:::;gd2L2( )t.q. Z u@@xi=Z g i;82C1c(

On pose

@u@xi=gi.NORME:pouru2H1( kukH1( )=kuk2+dX i=1 @u@xi 2:

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REMARQUES.H

1( )est muni du produit scalaire : hu;viH1( )=hu;viL2( )+dX i=1h@u@xi;@v@xiiL2( ):Siu2L2( )\C1( ), et si@u@xi2L2( ), alors les deux définitions de dérivée coïncident.Norme équivalente : kuk22+dX i=1 @u@xi 2 2! 1=2 :Espaces de fonctions-tests :C1c( )convient aussi.C 1c( )H1( )et si borné,C1( )H1( ).A. Popier (Le Mans)Solutions faibles.11 / 42 RÈGLES DE DÉRIVATION.PROPOSITION(PRODUIT)Soient u et v dans H 1( )\L1( ). Alors uv2H1( )\L1( )et @@xi(uv) =@u@xiv+u@v@xi:PROPOSITION(COMPOSITION)Soient G2C1(R)t.q. G(0) =0etjG0(s)j M,8s2R; et u2H1(

Alors Gu2H1(

)et @@xi(Gu) = (G0u)@u@xi:

A. Popier (Le Mans)Solutions faibles.12 / 42

RÈGLES DE DÉRIVATION.PROPOSITION(CHANGEMENT DE VARIABLES)Soient et

0deux ouverts deRdet H:

0! une application bijective, x=H(y)t.q. H2C1(

0);H12C1(

);Jac H2L1(

0);Jac H12L1(

Soit u2H1(

). Alors uH2H1( 0)et

8j=1;:::;d;@@yj(uH)(y) =dX

i=1@u@xi(H(y))@Hi@yj(y):A. Popier (Le Mans)Solutions faibles.12 / 42

ESPACESHm(

Soitm2 entier.DÉFINITIONEspace de SobolevH

m( )défini par récurrence H m( u2Hm1( );@u@xi2Hm1( u2L2( );8t.q.jj m;9g2L2( )t.q. Z u@= (1)jjZ g ;82C1c(

On pose@u=g.NORME:pouru2Hm(

),kukHm( )=X

0jjmk@uk2:A. Popier (Le Mans)Solutions faibles.13 / 42

ESPACESHm(

).PROPOSITIONH m( )muni du produit scalaire hu;viHm( )=X

0jjmh@u;@viL2(

est un espace de Hilbert.

A. Popier (Le Mans)Solutions faibles.13 / 42

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Inégalités de Sobolev

EspaceH10(

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Équation de la chaleur

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CAS OÙ

=RdET21(Rd)Lp(Rd);avec1p =12 1d

Il existeC=C(p;N)t.q.

kukLp(R)CkrukL2;8u2H1(Rd):COROLLAIRESi21(R2)Lq(R2), pour tout q2[2;+1[avec injection continue.A. Popier (Le Mans)Solutions faibles.15 / 42

CAS OÙ

=R.THÉORÈME(MORREY)Alors H

1(R)L1(R);

avec injection continue. De plus pour toutu2H1(R): ju(x)u(y)j Ckxyk1=2krukL2;p.p.x;y2R:A. Popier (Le Mans)Solutions faibles.16 / 42

CAS OÙ

=Rd.COROLLAIRE(ESPACESHm)Soient m1entier. Avec injections continues :Si 12 md >0, alors Hm(Rd)Lq(Rd)où1q =12 md .Si 12 md =0, alors Hm(Rd)Lq(Rd),8q2[2;+1[.Si 12 md <0, alors Hm(Rd)L1(Rd).

De plus si md2

>0non entier, k= [md=2]et=md=2k, H m(Rd)Ck(Rd)et : k@ukL1CkukHm;8avecjj k j@u(x)@u(y)j CkukHmjxyj;p.p. x;y2Rd:A. Popier (Le Mans)Solutions faibles.17 / 42

CAS OÙ

Rd.

HYPOTHÈSES:

ouvert de classeC1avec@ borné, =Rd+=fx= (x1;:::;xd)2Rd;xd>0g.COROLLAIREAvec injections continues :

Si2 )Lp( )où1p =12 1d .Si d=2, alors H1( )Lq( ),8q2[2;+1[.Si d=1, alors H1( )L1(

De plus si d=1pour tout u2H1(

ju(x)u(y)j CkukH1jxyj1=2;p.p. x;y2

Donc H

1( )C( ).A. Popier (Le Mans)Solutions faibles.18 / 42

CAS OÙ

Rd.

HYPOTHÈSES:

ouvert de classeC1avec@ borné, =Rd+=fx= (x1;:::;xd)2Rd;xd>0g.COROLLAIRELes conclusions du corollaire (Espaces H m) restent vraies en remplaçantRdpar .A. Popier (Le Mans)Solutions faibles.18 / 42 PLAN1ESPACES DEHILBERT2ESPACES DESOBOLEVPremières définitions et propriétés

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DÉFINITION.DÉFINITIONH

10( )désigne la fermeture de C1c( )dans H1( ).PROPOSITIONH 10( )muni de la norme induite par H1( )est un espace de Hilbert séparable.REMARQUESi =Rd,H10(Rd) =H1(Rd).En général,H10( )6=H1( ).H 10( )est aussi la fermeture deC1c( ).A. Popier (Le Mans)Solutions faibles.20 / 42

COMPORTEMENT AU BORD.THÉORÈMESoit

ouvert de classeC1. Soitu2H1( )\C( ):Alors : u=0 sur@ ,u2H10( ):PROPOSITIONOn suppose de classe C1. Soit u2L2( ). Alors équivalence entreu2H10( );il existe une constante C t.q. : Z u@@xi Ckk2;82C1c(Rd);8i=1;:::;d;la fonctionu(x) =u(x)pour x2 etu(x) =0pour x2Rdn est dans H 1( )et@u@xi=@u @xi.

A. Popier (Le Mans)Solutions faibles.21 / 42

INÉGALITÉ DEPOINCARÉ.THÉORÈMESoit

ouvert borné (ou borné dans une direction). Alors il existe C=C( )t.q. kuk2Ckruk2;8u2H10(

Donckruk2est une norme surH10(

)équivalente à la normekukH1.

Autrement dit,Z

rurvest un produit scalaire qui induit la norme kruk2équivalente àkukH1.A. Popier (Le Mans)Solutions faibles.22 / 42 PLAN1ESPACES DEHILBERT2ESPACES DESOBOLEVPremières définitions et propriétés

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CAS OÙ

=Rd+.LEMMEIl existe une constante C t.q. pour tout u2C1c(Rd): Z R d1u(x0;0)2dx0 1=2

CkukH1(

):DÉFINITION

0:C1c(Rd)!L2(@

)qui à u associe uj@ , avec@ =Rd1f0g, est continu. Donc se prolonge en un opérateur linéaire continu de H 1( )dans L 2(@ ). Cet opérateur est latr acesur @ .A. Popier (Le Mans)Solutions faibles.24 / 42

CAS D"UN OUVERT BORNÉ RÉGULIER.

Si est une ouvert borné de classeC1, alors il existe 0:H1( )!L2(@ )opérateur linéaire continu t.q.1noyau de

0=H10(

);2image de

0:W1=2;2(@

)et kuj@ kW1=2;2(@ )CkukH1(quotesdbs_dbs14.pdfusesText_20

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