EDP et méthodes hilbertiennes
Théor`eme 1.1 (Formule de Green-Ostrogradski) Soient ? un ouvert de Rd et F = (F1
Espaces de Sobolev Formulation variationnelle des EDP.
FORMULATION VARIATIONNELLE DES EDP. Alexandre Popier. Université du Maine Le Mans. A. Popier (Le Mans) Formule de Green : pour u et v dans H1(?) :.
Chapitre 1 (suite) Formulations variationnelles des EDP elliptiques
EDP elliptiques du second ordre. Proposition 5.1. multipliant l'EDP par une fonction test et en appliquant la formule de Green. Démontrons.
Cours de Master 1`ere année Fili`ere : Ingénierie Mathématique `a
Une équations aux dérivées partielles (e.d.p.) est une équation dont l'inconnue Cette notion de trace va nous permettre d'introduire la formule de Green ...
Idriss Mazari
Analyse-EDP. E. Grenier 1.5.6 La formule de Green . ... (revoir : dans le cours le theoreme parle d'un hyoperplan
Equations aux dérivées partielles
14 déc. 2018 1.4 Formule de Green. La formule de Green 3 est un outil fondamental pour la résolution des edp. Elle co?ncide en dimension.
Approximations variationelles des EDP Notes du Cours de M2
est définie en presque tout point de ?? et la formule de Green s'applique. En supposant de plus que v s'annulle au bord on obtient ainsi.
Equations aux dérivées partielles elliptiques linéaires et non
assurant le caract`ere elliptique du syst`eme d'EDP précédent. Pour la premi`ere formule de Green on applique le théor`eme de la divergence au.
Approximations variationnelles des EDP Notes du Cours de M2
on obtient en appliquant la formule de Green dans le sens inverse que. ?. ?. (?u + f)v = 0 pour tout v ? X
Méthodes Numériques
des équations aux dérivées partielles (EDP) contenant une combinaison de : support borné dans ?. Alors w vérifie la formule de Green.
ESPACES DESOBOLEV,
FORMULATION VARIATIONNELLE DESEDP.
Alexandre Popier
Université du Maine, Le Mans
A. Popier (Le Mans)Solutions faibles.1 / 42
PLAN DU COURS1ESPACES DEHILBERT2ESPACES DESOBOLEVPremières définitions et propriétésInégalités de Sobolev
EspaceH10(
)Notion de trace au bord3FORMULATION VARIATIONNELLEProblème de Dirichlet
Régularité des solutions faibles
Équation de la chaleur
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PLAN1ESPACES DEHILBERT2ESPACES DESOBOLEVPremières définitions et propriétésInégalités de Sobolev
EspaceH10(
)Notion de trace au bord3FORMULATION VARIATIONNELLEProblème de Dirichlet
Régularité des solutions faibles
Équation de la chaleur
A. Popier (Le Mans)Solutions faibles.3 / 42
DÉFINITIONS.DÉFINITIONUnespace de Hilber test un espace v ectorielH m unid"un produit scalairehu;viet qui est complet pour la normehu;ui1=2 Un produit scalaire hu;viest une forme bilinéaire de HH dansRsymétrique, définie positive.THÉORÈME DE PROJECTIONSoitKH,HHilbert,Kconvexe fermé non vide. Alors pour tout
u2H, il existev2Kunique t.q. kuvk=infw2Kkuwk=minw2Kkuwk:De plusvcaractérisé par
v2K;huv;wvi 0;8w2K:A. Popier (Le Mans)Solutions faibles.4 / 42THÉORÈME DESTAMPACCHIA.DÉFINITIONUne forme bilinéaire A:HH!Restcontinues"il e xisteC t.q. pour tout (u;v),jA(u;v)j Ckukkvk;coercives"il e xiste >0t.q. pour tout u,A (u;u)kuk2.THÉORÈMESoitAbilinéaire continue et coercive. SoitKconvexe fermé non vide.
Pour2H0, il existeu2Kunique t.q.
8v2K;A(u;vu)(vu):
SiAest symétrique, alorsucaractérisé par
u2K;12A(u;u)(u) =minv2K
12A(v;v)(v)
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THÉORÈME DELAX-MILGRAM.THÉORÈMESoitAbilinéaire continue et coercive. Pour2H0, il existeu2H
unique t.q.8v2H;A(u;v) =(v):
SiAest symétrique, alorsucaractérisé par
u2H;12A(u;u)(u) =minv2K
12A(v;v)(v)
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PLAN1ESPACES DEHILBERT2ESPACES DESOBOLEVPremières définitions et propriétésInégalités de Sobolev
EspaceH10(
)Notion de trace au bord3FORMULATION VARIATIONNELLEProblème de Dirichlet
Régularité des solutions faibles
Équation de la chaleur
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INTRODUCTION.
PROBLÈME:pourc2L1(
)etf2L2( u(x) +c(x)u(x) =f(x);x2 u(x) =0;x2@INTÉGRATION PAR PARTIES:siuet
sont assez réguliers, pour 2C1c( Z ru(x):r(x)dx+Z c(x)u(x)(x)dx=Z f(x)(x)dx:RÉGULARITÉdeu:u2L2(
)etru2(L2( ))d!espaces deSobolev
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PLAN1ESPACES DEHILBERT2ESPACES DESOBOLEVPremières définitions et propriétésInégalités de Sobolev
EspaceH10(
)Notion de trace au bord3FORMULATION VARIATIONNELLEProblème de Dirichlet
Régularité des solutions faibles
Équation de la chaleur
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PREMIÈRES DÉFINITIONS.
SoitRdouvert.DÉFINITIONL"espace de SobolevH
1( )est défini par H 1( u2L2( );9g1;:::;gd2L2( )t.q. Z u@@xi=Z g i;82C1c(On pose
@u@xi=gi.NORME:pouru2H1( kukH1( )=kuk2+dX i=1 @u@xi 2:A. Popier (Le Mans)Solutions faibles.10 / 42
REMARQUES.H
1( )est muni du produit scalaire : hu;viH1( )=hu;viL2( )+dX i=1h@u@xi;@v@xiiL2( ):Siu2L2( )\C1( ), et si@u@xi2L2( ), alors les deux définitions de dérivée coïncident.Norme équivalente : kuk22+dX i=1 @u@xi 2 2! 1=2 :Espaces de fonctions-tests :C1c( )convient aussi.C 1c( )H1( )et si borné,C1( )H1( ).A. Popier (Le Mans)Solutions faibles.11 / 42 RÈGLES DE DÉRIVATION.PROPOSITION(PRODUIT)Soient u et v dans H 1( )\L1( ). Alors uv2H1( )\L1( )et @@xi(uv) =@u@xiv+u@v@xi:PROPOSITION(COMPOSITION)Soient G2C1(R)t.q. G(0) =0etjG0(s)j M,8s2R; et u2H1(Alors Gu2H1(
)et @@xi(Gu) = (G0u)@u@xi:A. Popier (Le Mans)Solutions faibles.12 / 42
RÈGLES DE DÉRIVATION.PROPOSITION(CHANGEMENT DE VARIABLES)Soient et0deux ouverts deRdet H:
0! une application bijective, x=H(y)t.q. H2C1(0);H12C1(
);Jac H2L1(0);Jac H12L1(
Soit u2H1(
). Alors uH2H1( 0)et8j=1;:::;d;@@yj(uH)(y) =dX
i=1@u@xi(H(y))@Hi@yj(y):A. Popier (Le Mans)Solutions faibles.12 / 42ESPACESHm(
Soitm2 entier.DÉFINITIONEspace de SobolevH
m( )défini par récurrence H m( u2Hm1( );@u@xi2Hm1( u2L2( );8t.q.jj m;9g2L2( )t.q. Z u@= (1)jjZ g ;82C1c(On pose@u=g.NORME:pouru2Hm(
),kukHm( )=X0jjmk@uk2:A. Popier (Le Mans)Solutions faibles.13 / 42
ESPACESHm(
).PROPOSITIONH m( )muni du produit scalaire hu;viHm( )=X0jjmh@u;@viL2(
est un espace de Hilbert.A. Popier (Le Mans)Solutions faibles.13 / 42
PLAN1ESPACES DEHILBERT2ESPACES DESOBOLEVPremières définitions et propriétésInégalités de Sobolev
EspaceH10(
)Notion de trace au bord3FORMULATION VARIATIONNELLEProblème de Dirichlet
Régularité des solutions faibles
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CAS OÙ
=RdET2Il existeC=C(p;N)t.q.
kukLp(R)CkrukL2;8u2H1(Rd):COROLLAIRESi2CAS OÙ
=R.THÉORÈME(MORREY)Alors H1(R)L1(R);
avec injection continue. De plus pour toutu2H1(R): ju(x)u(y)j Ckxyk1=2krukL2;p.p.x;y2R:A. Popier (Le Mans)Solutions faibles.16 / 42CAS OÙ
=Rd.COROLLAIRE(ESPACESHm)Soient m1entier. Avec injections continues :Si 12 md >0, alors Hm(Rd)Lq(Rd)où1q =12 md .Si 12 md =0, alors Hm(Rd)Lq(Rd),8q2[2;+1[.Si 12 md <0, alors Hm(Rd)L1(Rd).De plus si md2
>0non entier, k= [md=2]et=md=2k, H m(Rd)Ck(Rd)et : k@ukL1CkukHm;8avecjj k j@u(x)@u(y)j CkukHmjxyj;p.p. x;y2Rd:A. Popier (Le Mans)Solutions faibles.17 / 42CAS OÙ
Rd.HYPOTHÈSES:
ouvert de classeC1avec@ borné, =Rd+=fx= (x1;:::;xd)2Rd;xd>0g.COROLLAIREAvec injections continues :Si2 )Lp( )où1p =12 1d .Si d=2, alors H1( )Lq( ),8q2[2;+1[.Si d=1, alors H1( )L1( De plus si d=1pour tout u2H1(
ju(x)u(y)j CkukH1jxyj1=2;p.p. x;y2 Donc H
1( )C( ).A. Popier (Le Mans)Solutions faibles.18 / 42 CAS OÙ
Rd. HYPOTHÈSES:
ouvert de classeC1avec@ borné, =Rd+=fx= (x1;:::;xd)2Rd;xd>0g.COROLLAIRELes conclusions du corollaire (Espaces H m) restent vraies en remplaçantRdpar .A. Popier (Le Mans)Solutions faibles.18 / 42 PLAN1ESPACES DEHILBERT2ESPACES DESOBOLEVPremières définitions et propriétés Inégalités de Sobolev
EspaceH10(
)Notion de trace au bord 3FORMULATION VARIATIONNELLEProblème de Dirichlet
Régularité des solutions faibles
Équation de la chaleur
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DÉFINITION.DÉFINITIONH
10( )désigne la fermeture de C1c( )dans H1( ).PROPOSITIONH 10( )muni de la norme induite par H1( )est un espace de Hilbert séparable.REMARQUESi =Rd,H10(Rd) =H1(Rd).En général,H10( )6=H1( ).H 10( )est aussi la fermeture deC1c( ).A. Popier (Le Mans)Solutions faibles.20 / 42 COMPORTEMENT AU BORD.THÉORÈMESoit
ouvert de classeC1. Soitu2H1( )\C( ):Alors : u=0 sur@ ,u2H10( ):PROPOSITIONOn suppose de classe C1. Soit u2L2( ). Alors équivalence entreu2H10( );il existe une constante C t.q. : Z u@@xi Ckk2;82C1c(Rd);8i=1;:::;d;la fonctionu(x) =u(x)pour x2 etu(x) =0pour x2Rdn est dans H 1( )et@u@xi=@u @xi. A. Popier (Le Mans)Solutions faibles.21 / 42
INÉGALITÉ DEPOINCARÉ.THÉORÈMESoit
ouvert borné (ou borné dans une direction). Alors il existe C=C( )t.q. kuk2Ckruk2;8u2H10( Donckruk2est une norme surH10(
)équivalente à la normekukH1. Autrement dit,Z
rurvest un produit scalaire qui induit la norme kruk2équivalente àkukH1.A. Popier (Le Mans)Solutions faibles.22 / 42 PLAN1ESPACES DEHILBERT2ESPACES DESOBOLEVPremières définitions et propriétés Inégalités de Sobolev
EspaceH10(
)Notion de trace au bord 3FORMULATION VARIATIONNELLEProblème de Dirichlet
Régularité des solutions faibles
Équation de la chaleur
A. Popier (Le Mans)Solutions faibles.23 / 42
CAS OÙ
=Rd+.LEMMEIl existe une constante C t.q. pour tout u2C1c(Rd): Z R d1u(x0;0)2dx0 1=2 CkukH1(
):DÉFINITION 0:C1c(Rd)!L2(@
)qui à u associe uj@ , avec@ =Rd1f0g, est continu. Donc se prolonge en un opérateur linéaire continu de H 1( )dans L 2(@ ). Cet opérateur est latr acesur @ .A. Popier (Le Mans)Solutions faibles.24 / 42 CAS D"UN OUVERT BORNÉ RÉGULIER.
Si est une ouvert borné de classeC1, alors il existe 0:H1( )!L2(@ )opérateur linéaire continu t.q.1noyau de 0=H10(
);2image de 0:W1=2;2(@
)et kuj@ kW1=2;2(@ )CkukH1(quotesdbs_dbs14.pdfusesText_20
De plus si d=1pour tout u2H1(
ju(x)u(y)j CkukH1jxyj1=2;p.p. x;y2Donc H
1( )C( ).A. Popier (Le Mans)Solutions faibles.18 / 42CAS OÙ
Rd.HYPOTHÈSES:
ouvert de classeC1avec@ borné, =Rd+=fx= (x1;:::;xd)2Rd;xd>0g.COROLLAIRELes conclusions du corollaire (Espaces H m) restent vraies en remplaçantRdpar .A. Popier (Le Mans)Solutions faibles.18 / 42 PLAN1ESPACES DEHILBERT2ESPACES DESOBOLEVPremières définitions et propriétésInégalités de Sobolev
EspaceH10(
)Notion de trace au bord3FORMULATION VARIATIONNELLEProblème de Dirichlet
Régularité des solutions faibles
Équation de la chaleur
A. Popier (Le Mans)Solutions faibles.19 / 42
DÉFINITION.DÉFINITIONH
10( )désigne la fermeture de C1c( )dans H1( ).PROPOSITIONH 10( )muni de la norme induite par H1( )est un espace de Hilbert séparable.REMARQUESi =Rd,H10(Rd) =H1(Rd).En général,H10( )6=H1( ).H 10( )est aussi la fermeture deC1c( ).A. Popier (Le Mans)Solutions faibles.20 / 42COMPORTEMENT AU BORD.THÉORÈMESoit
ouvert de classeC1. Soitu2H1( )\C( ):Alors : u=0 sur@ ,u2H10( ):PROPOSITIONOn suppose de classe C1. Soit u2L2( ). Alors équivalence entreu2H10( );il existe une constante C t.q. : Z u@@xi Ckk2;82C1c(Rd);8i=1;:::;d;la fonctionu(x) =u(x)pour x2 etu(x) =0pour x2Rdn est dans H 1( )et@u@xi=@u @xi.A. Popier (Le Mans)Solutions faibles.21 / 42
INÉGALITÉ DEPOINCARÉ.THÉORÈMESoit
ouvert borné (ou borné dans une direction). Alors il existe C=C( )t.q. kuk2Ckruk2;8u2H10(Donckruk2est une norme surH10(
)équivalente à la normekukH1.Autrement dit,Z
rurvest un produit scalaire qui induit la norme kruk2équivalente àkukH1.A. Popier (Le Mans)Solutions faibles.22 / 42 PLAN1ESPACES DEHILBERT2ESPACES DESOBOLEVPremières définitions et propriétésInégalités de Sobolev
EspaceH10(
)Notion de trace au bord3FORMULATION VARIATIONNELLEProblème de Dirichlet
Régularité des solutions faibles
Équation de la chaleur
A. Popier (Le Mans)Solutions faibles.23 / 42
CAS OÙ
=Rd+.LEMMEIl existe une constante C t.q. pour tout u2C1c(Rd): Z R d1u(x0;0)2dx0 1=2CkukH1(
):DÉFINITION0:C1c(Rd)!L2(@
)qui à u associe uj@ , avec@ =Rd1f0g, est continu. Donc se prolonge en un opérateur linéaire continu de H 1( )dans L 2(@ ). Cet opérateur est latr acesur @ .A. Popier (Le Mans)Solutions faibles.24 / 42CAS D"UN OUVERT BORNÉ RÉGULIER.
Si est une ouvert borné de classeC1, alors il existe 0:H1( )!L2(@ )opérateur linéaire continu t.q.1noyau de0=H10(
);2image de0:W1=2;2(@
)et kuj@ kW1=2;2(@ )CkukH1(quotesdbs_dbs14.pdfusesText_20[PDF] formule de green gradient
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