[PDF] Idriss Mazari Analyse-EDP. E. Grenier 1.

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Analyse-EDP

E. Grenier

Transcrit par Idriss Mazari

E.N.S Lyon, 2013-2014

Ces notes ont été rédigées par Idriss Mazari. Les erreurs qui s"y trouvent ne sont donc aucunement du fait de M. Grenier. ( http://umpa.ens-lyon.fr/~egrenier/

Table des matières

1 Distributions et espaces de Sobolev

3

1.1 Introduction et motivation

3

1.2 Quelques rappels d"analyse fonctionnelle : Espaces fonctionnels topologiquesfinir

les propriétés/ topologie sur D(R)) 3

1.2.1 Espaces vectoriels topologiques

3

1.3 Espaces de Fréchet et semi-normes

4

1.4 Distributions

4

1.4.1 Introduction et premières définitions

4

1.4.2 Dérivation de distributions

5

1.5 Les espaces de Sobolev

5

1.5.1 Introduction et premières définitions

5

1.5.2 Structure deH1(Ω)

6

1.5.3 L"espaceH10(Ω)

7

1.5.4 L"inégalité de Poincaré

8

1.5.5 Trace

9

1.5.6 La formule de Green

11

1.5.7 Retour surH10(Ω)

11

1.6 Espaces de Sobolev d"ordres supérieurs/ Injections de Sobolev

11

1.6.1H1(Ω)

11

1.6.2H2(Ω)

12

1.6.3 Injections de Sobolev

12

1.7Wn;p(Ω)

12

2 Inversion du Laplacien

13

2.1 Motivation

13

2.2 Diverses formulations du problème

13

2.2.1 Motivation

13

2.2.2 Formulation au sens des distributions

14

2.2.3 Formulation variationnelle

14

2.2.4 Question de minimisation

15

2.3 Le problème de Neumann

15 1

TABLE DES MATIÈRESL3

3 Propriétés qualitatives du Laplacien

18

3.1 Régularité des solutions faibles

18

3.2 Le principe du maximum

20

3.2.1 Cas des solutions régulières

20

3.2.2 Cadre Sobolevien

20

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1 DISTRIBUTIONS ET ESPACES DE SOBOLEVL3

1 Distributions et espaces de Sobolev

On toruvera des démonstrations des résultats ici admis dans [ RT88

1.1 Introduction et motivation

Considérons l"équation@tu+x@xu= 0. On a vu dans le premier TD que, siu02 C1(R), alors, si on cherche les solutions dérivables de cette équation, elles sont toutes de la forme u: (x;t)7!u0(xct). Maintenant, on cherche des solutions peu régulières, pour traduire le fait que l"on puisse

négliger certains effets d"échelle : considérons, dans le domaine de la mécanique des fluides,

un avion qui passe le mur du son. Il est alors "entouré" par une onde de choc; de part

et d"autre de la frontière, l"air se trouve dans un état différent. Même si, à une échelle

microscopique, l"évolution des différentes caractéristiques (la température, par exemple) se

fait de manière continue, la zone de transition est extrêmement petite, ce qui justifie qu"à

une échelle macroscopique, on les décrive comme des fonctions discontinues. Cela permet également de négliger des effets microscopiques régularisant, tels que la conduction.

Au niveau de l"étude des singularités ou des surfaces, il arrive que l"on veuille rechercher les

solutions les moins régulières possibles. Par exemple, avec la fonction de Heavyside, notée dans toute la sectionh: (x;t)7!h(xct)est bien définie, mais lui appliquer l"équation 1.1

n"a aucun sens, la fonctionhn"étant pas dérivable. Il faut donc alléger la notion de solution

et regarder "en moyenne" ce qu"il se passe : par exemple, siφest une fonction régulière sur le domaine considéré et siuest de classeC1, on peut réécrire l"équation 1 comme u@ tφ+cu@xφ= 0 Donc toute l"information sur la régularité de la solution est passée surφ, et, pour que

l"équation précédente ait un sens, il suffit queusoit localement intégrable : on dit donc que

uest solution faible de l"équation 1.1 si

8φ2 C1c(R);∫ ∫

u@ tφ+cu@xφ= 0 Un calcul nous montre qu"une solution au sens "classique" est une solution au sens faible. La notion de fonction "test" (ici,φ) motive la généralisation de la notion de fonction :

une "solution" opère en fait sur des fonctions extrêmement régulières : on va choisir des

fonctions de classeC1à support compact (on pourrait choisir les fonctions analytiques, mais les structures deviennent beaucoup trop rigide). On note cet ensemble de fonctions

D(Rn).

1.2 Quelques rappels d"analyse fonctionnelle : Espaces fonctionnels

topologiquesfinir les propriétés/ topologie sur D(R)) On donne isi un résumé des principales propriétés analysées dans [ Vil03

1.2.1 Espaces vectoriels topologiques

Définition :Espace Vectoriel Topologique.

On appelleR-espace vectoriel topologique un

espace topologiqueEmuni d"une structure deR-espace vectoriel telle que(x;y)7!x+yet (;x)7!xsoient continues pour la topologie surE2et surER, et quef0gsoit fermé. Ainsi, tout espace vectoriel normé est un espace vectoriel topologique. On distingue 4 grandes familles d"espaces vectoriels topologiques

1. par IPP

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1 DISTRIBUTIONS ET ESPACES DE SOBOLEVL3

Les espaces vectoriels topologiques abstraits, sans structures supplémentaires. On peut montrer que tout espace vectoriel topologique est séparé. Les espaces vectoriels topologiques localement convexe (0y admet une base de voisinages convexes) Les espaces de Fréchet ,i:eles espaces vectoriels topologiques localement convexes munis d"une métrique complète invariante par translation. Les espaces de Banach : les espaces de Banach sont des espaces de Fréchet pour la distance associée à leur norme. On doit souvent considérer des Fréchet qui sont des limites de Banach, tels que les espaces L p loc(O) =\Kcompact deOLp(K)

1.3 Espaces de Fréchet et semi-normes

SoitEun espace de fréchet; il admet une base de voisinage dénombrable (en0, donc en tout point). On peut montrer qu"Eput être muni d"une métrique compatible avec sa topologie.

1.4 Distributions

1.4.1 Introduction et premières définitions

On va en fait introduire les distributions comme le dual (même si il n"y a pas de norme sur l"espace considéré) deD(Rn). En effet, siEF, on sait que toute forme linéaire surF induit une forme linéaire surE. Donc plus l"espace est petit, plus son dual est grand. C"est pour cela que l"on a choisiD(Rn)comme un petit espace.

Définition :Distribution.

On dit queTapplication linéaire deD(Ω)dansR, est une distribution sur un ouvertΩdeRnsi pour toutKcompact inclus dansΩ,9n2N;9c2R tels que8φ2C1c(Ω)avecKcontenantsupp(φ) j< T;φ >j csup multiindex;jjn;x2Kj@φ(x)j

On noteD′(Ω)l"espace des distributions.

Ainsi,Tagit surφde manière "continue" (on travaille en fait ici avec une semi-norme.)

Exemple1.

1. Le diraca;a2Ω, avec< a;φ >=φ(a)est une distribution. 2. Si est une fonction continue à support compact inclus dansΩ, on noteT :φ7!∫ 3.

Siu2L1loc(Ω), on noteTu:φ7!∫

Ωuφ. C"est une distribution d"ordre 0, comme8K compact deΩ, pour toute fonctionφà support compact inclus dansΩde classeC1, j< Tu;φ >j jjujjL1(K) jjφjj1 4. Dérivée du Dirac ena: on introduita:φ7! φ′(a)(ici, on a prisΩRn). Il s"agit bien d"une distribution carj< ′a;φ >j sup x2Kjφ′(x)j(distribution d"ordre 1). On définit la dérivéen-ième du Dirac enapar(n)a:φ7!(1)nφ(n)(a) 5.

On peut considérerT=∑

nnnC"est une distribution d"ordre 0. Notons que la somme converge toujours, comme on travaille sur un compactK. On peut encore définirT:=∑ nn(n)n

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1 DISTRIBUTIONS ET ESPACES DE SOBOLEVL3

6.

On peut définir la valeur principalvp(1

x )2 D′(Ω) :φ7!limϵ!0∫ jxj>ϵφ(x) x dx. Ainsi, les fonctions localement intégrables s"injectent dans l"ensemble des distributions; celles-ci sont en quelque sorte une généralisation de la notion de fonction. Un semblant de topologie sur les distributionsOn définit la notion de convergence dans l"espace des distributions sur un ouvertΩcomme suit : on dit que la suite de distribu- tions(Tn)n2Nconverge au sens des distributions versTsi

8φ;< Tn;φ >!n!1< T;φ >

1.4.2 Dérivation de distributions

L"objet en jeu est tellement libre de contraintes que, sous certaines hypothèses relative- ment faibles, on peut dériver (en un sens particulier que l"on précisera) des fonctions qui, a priori, n"ont aucune chance d"être dérivables au sens classique.

Définition :Dérivation.

SoitT2 D′(Ω). On définit@iT:φ7! < T;@iφ >, et@iT est une distribution.

Définition :Dérivée-ième.

SoitTune distribution et2Np. On définit

T:φ7!(1)< T;@φ >

et c"est encore une distribution.

Exemple2.

1. T ′h(φ) =∫1

0φ′=< 0;φ >

2. Si on considèrex0<< xpet une fonction dont la restriction à tous les intervalles ]xi;xi+1[est de classeC1(on note icette restriction, en notant (resp. +) la fonction sur] 1;x0[(resp.]xp;1[)). Alors < T x0 1

φ′+p∑

i=0∫ xi+1 x i φ′+∫ +1 x p φ′] (1) x0 1 ′φφ(x0) (x0)::: (2) )T′ =T+p∑ i=0 xi( (x+ i) (xi)) (3) oùdésigne la fonction dérivé de aux endroits où elle est dérivable ( entre les différentsxi).

Remarquons que la notion est cohérente avec la notion déjà connue de dérivabilité : si

est une fonction dérivable, alorsT′ =T ′. De plus, siu0est une fonction localement intégrable, alors la distributionTu: (x;t)7!u0(xct)vérifie l"équation@tT+c@xT= 0, au sens des distributions.

1.5 Les espaces de Sobolev

1.5.1 Introduction et premières définitions

Soitu2L2(Ω). On peut alors lui associer la distributionTu(uest localement intégrable par Cauchy-Schwarz). On put donc parler de ses dérivées@iTu. Si il existevi2L2tel que iTu=Tvi, on dit queu2H1(Ω), aussi appelé espace de Sobolev.

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1 DISTRIBUTIONS ET ESPACES DE SOBOLEVL3

Définition :Espaces de Sobolev.

On dit queu2H1(Ω)siu2L2(Ω)et si8i2Nn;9vi2 L

2(Ω)tel que@iTu=Tvi.

On notera par la suitevi=@iu. Par ailleurs, on munitH1(Ω)d"un produit scalaire(;) défini par (u;v) :=∫ uv+n∑ i=1∫ iu@iv

On pourra se référer à [

Bre10 ] pour une autre présentation de ces espaces. On remarque que

Remarque.

On a l"inclusion stricteH1(Ω)⊊L2(Ω). En effet, considérons la fonctionu:= 1 [a;b]. Alorsu2L2(R). Maisu′=ab, etan"est pas une fonction de classeL2(on peut considérer la fonction de Heavyside par exemple). En effet, si on suppose9v2L2(R)telle que8φ2 D(Rn);< a;φ >=∫ Rvφ, alors8a2R;jφϵ(a)j c jjφϵjjL2où l"on définitφ0 une fonctionC1positive à support compact, valant1en0. On pose ensuite, pourϵ >0la fonctionφϵ:x7!φ0(x ). Alors, par convergence dominée,jjφϵjj2!ϵ!00et doncφϵ(0)!0, ce qui est absurde.

1.5.2 Structure deH1(Ω)

Théorème.

H

1(Ω)est un espace de Hilbert.

ComplétudeAttention, on a donc un emboîtement d"espaces de Hilbert :H1(Ω)L2(Ω), mais ce ne sont pas des espaces de Hilbert pour la même norme.

Démonstration du théorème.

Soit(vn)n2Nune suite de Cauchy deH1(Ω), c"est donc une suite de Cauchy dansL2, de même que les suites@ivn. Donc9v2L2(Ω)telle que v nL2!vet9vitels que@ivnL2!vi. Il nous reste donc à montrer que@iv=viau sens des distributions. Mais8φ2 D(Ω),< @ivn;φ >!< vi;φ >et< @ivn;φ >=! < v;@ iφ >=< @iv;φ >et la preuve est achevée. SéparabilitéOn s"intéresse un peu plus en détails à la topologie de ces espaces :

Théorème.

H

1(Ω)est séparable.

Démonstration du théorème.

Un produit cartésien d"espaces séparables est séparable, et, siFest un sous-espace vectoriel fermé deEséparable,Flui-même est séparable. Or i:H1(Ω)!L2(Ω)n+1,i:v7!(v;@1v;:::;@nv)et donci(H1(Ω))est fermé et est ainsi séparable.

Théorème.

D(Rn)est dense dansH(Rn)

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1 DISTRIBUTIONS ET ESPACES DE SOBOLEVL3

Démonstration du théorème.

i)

Troncature

On introduit une fonctionM2 D(Rn)définie par

8< :M(x) = 1;jxj 1

0< M(x)<1;1< x <2

M(x) = 0;jxj 2

puis, pour tout réelR >0;MR(x) :=M(x R ).Alors, siv2H1(Rn);MRv!R!1vdans H

1(Rn): en effet, d"une part,

R njMRvvj2∫ jxjRjvj2!R!10 et, d"autre part, iTMRv;φ >=∫ R nv[@i(MRφ)@i(MR)φ]quotesdbs_dbs14.pdfusesText_20

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