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[ Antilles - Guyane 2014 ] 1 a Recopions et complétons le tableau: D’après l’énoncé pour tout entier naturel n: • U n + 1 = 1 5 U n + 3 x 0 5 n • U 0 = 2 Dans ces conditions nous avons le tableau suivant: n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 U n 2 3 4 2 18 1 19 0 61 0 31 0 16 0 08 0 04 1 b Énonçons une conjecture sur le sens de
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11 septembre 2014
EXERCICE16 points
Commun à tous lescandidats
Une entreprise dejouets en peluche souhaite commercialiser un nouveau produit et à cette fin, effectue
divers tests permettant de rejeter les peluches ne répondant pas aux normes en vigueur. D"expérience,
le concepteur sait que 9% des nouveaux jouets ne répondent pas aux normes.À l"issue des tests, il est noté que
96% des peluches répondant aux normes sont acceptées par lestests; 97% des peluches ne répondant pas aux normes ne sont pas acceptées à l"issue des tests. On prélève une peluche au hasard dans la production de l"entreprise. On note Nl"évènement : "la peluche répond aux normes en vigueur»; Al"évènement : "la peluche est acceptée à l"issue des tests».Partie A
1.On construit un arbre pondéré représentant la situation exposée précédemment :
N1-0,09=0,91
A0,96A1-0,96=0,04
N 0,09A1-0,97=0,03
A0,972.La probabilité qu"une peluche soit acceptée estP(A).
D"après la formule des probabilités totales :P(A)=P(N∩A)+P(N∩A).
P?N∩A?
=P?N?×PN(A)=0,09×0,03=0,0027?
=?P(A)=0,8736+0,0027=0,87633.La probabilité qu"une peluche qui a été acceptée soit aux normes estPA(N) :
PA(N)=P(N∩A)
P(A)=0,87360,8763≈0,9969
Partie B
On considère que la vie d"une peluche se termine lorsqu"ellesubit un dommage majeur. On admet quela durée de vie en années d"une peluche, notéeD, suit une loi exponentielle de paramètreλ.
1.On sait queP(D?4)=0,5.
SiDsuit une loi exponentielle de paramètreλ, alorsP(D?a)=? aλe-λtdt=1-e-λa.
4Baccalauréat SA. P. M. E. P.
2.On prendra iciλ=0,1733.
Le jour de ses trois ans, un enfant qui joue avec cette peluchedepuis sa naissance décide, voyant qu"elle est encore en parfait état, de la donner à sa soeur qui vient de naître. La probabilité pour que sa soeur la garde sans dommage majeur au moins cinq années supplé- mentaires est la probabilité conditionnellePD?3(D?3+5).On sait que la loi exponentielle est une loi à "durée de vie sans vieillissement » donc que, pour
tous réels strictement positifssett:PD?t(D?s+t)=P(D?s).Partie C
Un cabinet de sondages et d"expertise souhaite savoir quel est le réel intérêt des enfants pour ce jouet.
À la suite d"une étude, il apparaît que pour un enfant de quatre ans, le nombre de jours, notéJ, où la
peluche est son jouet préféré suit une loi normale de paramètresμetσ. Il apparaît queμ=358 jours.
1.D"après le cours, la variable aléatoireX=J-358
σsuit la loi normale centrée réduite, c"est-à-dire la loi normale de moyenne 0 et d"écart type 1.2.On sait queP(J?385)=0,975.
J?385??J-358?27??J-358
σ?27σcarσest un nombre strictement positif.On cherche doncσpour queP?
X?27 ?0,975 sachant queXsuit la loi normale centrée ré- duite.La calculatrice donne
27σ≈1,96 ce qui équivaut àσ≈13,77. On prendra doncσ=14.
EXERCICE26 points
Commun à tous lescandidats
Partie A
On considère la fonctionfdéfinie et dérivable sur l"intervalle[0 ;+∞[parf(x)=xe-x.1.D"après le cours, limx→+∞e
x x=+∞; donc limx→+∞xex=0 ce qui équivaut à limx→+∞xe-x=0.Donc lim
x→+∞f(x)=02.La fonctionfest dérivable surRdonc sur[0 ;+∞[et :
f Pour tout réelx, e-x>0 doncf?(x) est du signe de 1-x;f(0)=0 etf(1)=e-1≈0,37 D"où le tableau de variation de la fonctionfsur[0 ;+∞[: x0 1+∞ f?(x)+++0--- e-1 f(x) 00On donne la courbeCfreprésentative de la fonctionfdans un repère du plan ainsi que la droiteΔ
d"équationy=x.Antilles-Guyane211 septembre 2014
Baccalauréat SA. P. M. E. P.
0,51 2Δ
C fA0A1A2u
1 u 2Partie B
Soit la suite(un)définie paru0=1 et, pour tout entier natureln,un+1=f(un).1.On place sur le graphique, en utilisant la courbeCfet la droiteΔ, les pointsA0,A1etA2d"ordon-
nées nulles et d"abscisses respectivesu0,u1etu2.2.SoitPnla propriétéun>0.
•u0=1>0 donc la propriété est vraie au rang 0. • On suppose la propriété vraie au rangp?0, c"est-à-direup>0. Pour tout réelx, e-x>0 donc pour tout réelx>0,xe-x>0 doncf(x)>0. Orup+1=f(up) etup>0 (hypothèse de récurrence); doncf(up)>0 et doncup+1>0.La propriété est vraie au rangp+1.
• La propriété est vérifiée au rang 0, et elle est héréditaire pour toutp?0; elle est donc vraie
pour toutn?0. On a donc démontré que, pour tout entier natureln,un>0.3.Pour tout réelx>0 :
-x<0??e-xOn résout l"équationxe-x=x:
xe-x=x??x(e-x-1)=0??x=0 ou e-x-1=0 ??x=0 ou e-x=1??x=0 ou-x=0 Donc la limite de la suite (un) est égale à 0.Partie C
On considère la suite
(Sn)définie pour tout entier naturelnparSn=k=n? k=0u k=u0+u1+...+unL"algorithme suivant donneS100:
Antilles-Guyane311 septembre 2014
Baccalauréat SA. P. M. E. P.
Déclaration des variables :Setusont des nombres réels kest un nombre entierInitialisation :uprend la valeur1
Sprend la valeuru
Traitement : Pourkvariant de 1 à100
uprend la valeuru×e-uSprend la valeur
S+uFin Pour
AfficherS
EXERCICE33 points
Commun à tous lescandidats
Soit (E1) l"équation : ex-xn=0 oùxest un réel strictement positif etnun entier naturel non nul.
1.ex-xn=0??ex=xn
??ln(ex)=ln(xn) ??x=nln(x) ??x n=ln(x) ??ln(x)-x n=0 Donc les équations (E1) et (E2) sont équivalentes.2.L"équation (E1) admet deux solutions si et seulement si l"équation (E2) admet deux solutions.
Soitfla fonction définie surI=]0;+∞[parf(x)=ln(x)-x n; résoudre l"équation (E2) revient donc à résoudre l"équationf(x)=0. Cherchons les limites de la fonctionfaux bornes de son ensemble de définition : lim x→0 x>0ln(x)=-∞ lim x→0x n=0????? par somme limx→0 x>0f(x)=-∞ f(x)=ln(x)-x npeut s"écrirex?ln(x)x-1n? pour toutxde]0;+∞[. lim x→+∞ln(x) x=0=?limx→+∞ln(x)x-1n=-1n<0 lim x→+∞x=+∞????? par produit lim x→+∞x?ln(x)x-1n? =-∞??limx→+∞f(x)=-∞La fonctionfest dérivable surIetf?(x)=1
x-1n=n-xnx. f ?(x) s"annule et change de signe pourx=netf(n)=ln(n)-n n=ln(n)-1.D"où le tableau de variation de la fonctionf:
x0n+∞ n-x+++0--- f?(x)+++0--- ln(n)-1 f(x)Antilles-Guyane411 septembre 2014
Baccalauréat SA. P. M. E. P.
D"après ce tableau de variation, l"équationf(x)=0 admet deux solutions dans]0;+∞[si et seulement si le maximum dela fonctionfest strictement positif, c"est-à-direquand ln(n)-1>0 : ln(n)-1>0??ln(n)>1??n>e??n?3 Donc on peut dire que l"équation (E1) admet deux solutions si et seulement sinest un entier naturel supérieur ou égal à 3.EXERCICE45 points
Réservéaux candidatsn"ayant passuivi l"enseignementde spécialitéOn noteCl"ensemble des nombres complexes.
Le plan complexe est muni d"un repère orthonormé?O,-→u,-→v?
On considère la fonctionfqui à tout nombre complexezassocief(z)=z2+2z+9.1.f?-1+i?
2.On résout dansCl"équationf(z)=5 :
3?2 Donc l"équation admet deux racines complexes conjuguées : -2+2i? 32=-1+i?3 et-1-i?3
On appelleAle point d"affixezA=-1+i?
3 etBle point d"affixezB=-1-i?3
zA|=? 1+3=2SoitθAun argument dezA:cosθA=-1
2 sinθA=? 32???????
=?θA=2π3+k2πoùk?Z
DonczA=2e2iπ
3 Les nombres complexeszAetzBsont conjugués, donc ils ont le même module et des arguments opposés donczB=2e-2iπ 3 zA|=2 donc le pointAse trouve sur le cercle de centreOet de rayon 2. Deplus la partie réelle de Avaut-1 doncAse trouve sur la droite d"équationx=-1. Idem pourB.Voir graphique page??.
3.Soitλun nombre réel. On considère l"équationf(z)=λd"inconnuez.
f(z)=λ??z2+2z+9=λ??z2+2z+9-λ=0Pour que l"équationf(z)=λadmette deux solutions complexes conjuguées, il faut et il suffit que
le discriminant du polynômez2+2z+9-λsoit strictement négatif. L"ensemble des valeurs deλpour lesquelles l"équationf(z)=λadmet deux solutions complexes conjuguées est l"intervalle]-∞; 8[.4.Soit (F) l"ensemble des points du plan complexe dont l"affixezvérifie??f(z)-8??=3
f(z)-8=z2+2z+9-8=z2+2z+1=(z+1)2; donc??f(z)-8??=??(z+1)2??=|z+1|2car le module d"un carré est égal au carré du module.Donc??f(z)-8??=3??|z+1|2=3??|z+1|=?
3 SoitΩle point d"affixe-1, donc de coordonnées (-1; 0); si on appelleMle point d"affixez, alors z+1|=?3??|zM-zΩ|=?3.
L"ensemble des pointsMvérifiant|zM-zΩ|=?
3 est le cercle de centreΩet de rayon?3.
On trace (F) sur le graphique (voir page??).
5.Soitzun nombre complexe, tel quez=x+iyoùxetysont des nombres réels.
=x2-y2+2x+9+i(2xy+2y)Antilles-Guyane511 septembre 2014
Baccalauréat SA. P. M. E. P.
b.On note (E) l"ensemble des points du plan complexe dont l"affixezest telle quef(z) soit un nombre réel. f(z) réel??2xy+2y=0??2y(x+1)=0??y=0 oux=-1 Donc (E) est la réunion de deux droitesD1d"équationy=0 (l"axe des abscisses) etD2d"équa- tionx=-1. Le cercle (F) est de centreΩd"affixe-1 et de rayon?3. Donc les points d"intersection du cercle
(F) avec l"axe des abscisses ont pour coordonnées?-1-?3; 0?et?-1+?3; 0?.
Les pointsAetBont pour affixeszAetzBdont les parties réelles sont égales à-1; doncAetB sont situés sur la droiteD2.ΩA=|zA-zΩ|=??-1+i?
3+1??=??i?3??=?3 donc le pointAappartient au cercle (F).
ΩB=|zB-zΩ|=??-1-i?
3+1??=??-i?3??=?3 donc le pointBappartient au cercle (F).
Les coordonnées des quatre points d"intersection des ensembles (E) et (F) sont :?-1-?3; 0?,?-1+?3; 0?,?-1;?3?et?-1;-?3?
u? v O ?A BΩ?(F)
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