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Exercice 26 points
Partie A
On considère la fonction f définie et dérivable sur l'intervalle[0;+∞[parf(x)=xe-x1 . Déterminer la limite de la fonction
fen +∞.2 . Déterminer la dérivéef'de la fonctionfsur
[0;+∞[et en déduire le tableau de variations defsur [0;+∞[.On donne en annexe la courbe
creprésentative de la fonctionfdans un repère du plan. La droiteΔd'équation y=xa aussi été tracée.Partie B
Soit la suite(un)définie paru0=1 et, pour tout entier natureln, un+1=f(un).1 . Placer sur le graphique donné en annexe, en utilisant la courbe
cet la droite Δ, les pointsA0,A1etA2 d'ordonnées nulles et d'abscisses respectivesu0, u1,u2. Laisser les tracés explicatifs apparents.2 . Démontrer par récurrence que pour tout entier natureln,
un>0.3 . Montrer que la suite(un)est décroissante.
4 .a. Montrer que la suite(un)est convergente.
b. On admet que la limite de la suite(un)est solution de l'équationxe-x=x. Résoudre cette équation pour
déterminer la valeur de cette limite.Partie C
On considère la suite(Sn)définie pour tout entier naturelnpar : Sn=∑k=0k=n uk=u0+u1+...+un Compléter l'algorithme donné en annexe afin de calculer S100.Antilles-Guyane-Septembre-2014.
ANNEXE de l'exercice 2
( à rendre avec la copie)Partie B Question 1
Partie C
Déclaration des variables :
S et u sont des nombres réels
k est un nombre entierInitialisation :
u prend la valeur .....S prend la valeur .....
Traitement :
Pour k variant de 1 à .....
u prend la valeur u×e-uS prend la valeur .....
Fin Pour
Afficher .....
Antilles-Guyane-Septembre-2014.
Correction :
Partie A
1 . f(x)=x×1
ex=x exLe cours nous donne :limx→+∞ex
x=+∞ donclimx→+∞x ex=0.Conséquence :
limx→+∞xe-x=02 . fest dérivable sur[0;+∞[.
On a (eu)'=u'euet(e-x)'=-e-xDonc, f'(x)=e-x-xe-x=(1-x)e-xLe signe def'(x)est le signe de (1-x)Tableau de variations de f
x01+∞ f'(x)+0- f(x) 01 e0 f(0)=0 et f(1)=1×e-1=1 ePartie B
1 . u0= 1
A0(u0;0)
f(u0)=u1 u1est l'ordonnée du point de la courbe cd'abscisse u0. u1est l'abscisse du point de Δd'ordonnéeu1, c'est à dire l'abscisse du point d'intersection deΔet de la droite d'équation y=u1A1(u1;0)De même pour
u2etA2(u2;0).Antilles-Guyane-Septembre-2014.
2 . On veut démontrer en utilisant un raisonnement par récurrence que pour tout entier natureln, on a un> 0.
. Initialisation : u0=1>0La propriété est vérifiée pourn=0.
. Hérédité :Pour démontrer que la propriété est héréditaire pour tout entier natureln, on suppose queun> 0 et on doit
démontrer queun+1> 0.Or,un+1=f(un)Le tableau de variations de
fnous permet d'affirmer que si03 . Pour tout entier natureln
un+1-un=f(un)-un=une-un -un=un(e-un -1)On aun>0 donc-un< 0
La fonction exponentielle est strictement croissante sur ℝ donc e-unPour tout entier natureln, on aun(e-un
-1)<0 doncun+1-un<0 et la suite (un)est strictement décroissante.Antilles-Guyane-Septembre-2014.
4 .a. (un)est une suite décroissante minorée par 0 donc(un)est convergente.
b. xe-x=x⇔x(e-x-1)=0⇔(x=0 oue-x=1) ore-x=1⇔e-x=e0⇔-x=0⇔x=0Conclusion :
L'unique solution de l'équationxe-x=xest 0.
Conséquence :
(un)converge vers 0.Partie C
Déclaration des variables :
S et u sont des nombres réels
u est un entier naturelInitialisation :
u prend la valeur 1S prend la valeur 1
Traitement :
Pour k variant de 1 à 100
u prend la valeur u×e-uS prend la valeur S+u
Fin Pour
Afficher S
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