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1) Réunion d'intervalles Méthode / Explications : La réunion des deux ensembles I et J est l'ensemble des éléments qui sont soit dans I soit dans J
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III Réunion et intersection de deux intervalles 3 IV Exercices sur Internet 3 I Intervalles I 1 Intervalles fermés Définition Soient a et b deux
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0 2 4 Alors ]0 ; 2[?]2 ; 4] n'est pas un intervalle et s'écrit donc tel quel (car 2 n'appartient à aucun des deux intervalles donc il y a un "trou" en 2
[PDF] TD n°2 : intervalles et ensembles CORRECTION
La réunion de deux intervalles n'est donc pas toujours un intervalle (ça peut ne s'écrire qu'avec le symbole d'union comme ]??;?]?] 22
[PDF] Image des intervalles
Autrement dit l'image d'un intervalle par une fonction continue intervalles est la réunion f (I) ? f (J) des images des deux intervalles Exemple
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Étudier les variations d'une fonction sur la réunion de deux intervalles à partir et un intervalle J non vides alors f est-elle une fonction croissante
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Intervalles de R (intersection et réunion) Exercice 1 Déterminer l'intersection des intervalles : 1 0;2 ????? 1;5 ???? 2 ??;3
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Un nombre décimal peut s'écrire comme un quotient de deux entiers dont la division se termine Intersection et réunion d'intervalles :
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II) Intersections et réunions d'intervalles 1) Intersections a) Définition Soit et deux ensembles quelconques On appelle intersection de et
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Définition / Notation : Soit I et J deux intervalles : - L'intersection des intervalles I et J notée I n J (lire I “inter” J)
Seconde - Réunion et intersection d’intervalles
1) Réunion d’intervalles Méthode / Explications : La réunion des deux ensembles I et J est l’ensemble des éléments qui sont soit dans I soit dans J Le graphique nous permet de voir clairement la solution Nous avons décalé les intervalles par rapport à l'axe gradué
Leçon Intervalles - Cours seconde maths
l'un des deux ensembles Il s’agit donc de la zone de l’axe gradué marquée soit par l’intervalle I soit par l’intervalle J Ainsi I ? J = [?1 ; 4[ b) 0 - Ici les ensembles I et J n’ont pas de zone en commun L’intersection des deux intervalles est vide
Réunion etintersection d’intervalles - Blogac-versaillesfr
1 Indiquer si la réunion de deux intervalles est un intervalle ou non et le préciser le cas échéant : cliquer ici 2 Caractériserunintervallepardes inégalités: cliquerici 3 Écrire l’intervalle ensemble des solutions d’une inéquation ou d’un système d’inéquations du premier degréà uneinconnue: cliquerici 4
Exercices : réunion et intersection d’intervalles
Pour chacun des intervalles I et J ci-dessous déterminer leur réunion et leur intersection Conseil : représenter les intervalles I et J de deux couleurs différentes sur une droite graduée a) I =[?2 ; 1[ et J =[0 ; 2]
Réunion etintersection d’intervalles - Blogac-versaillesfr
1 Indiquer si la réunion de deux intervalles est un intervalle ou non et le préciser le cas échéant : cliquer ici 2 Caractériserunintervallepardes inégalités: cliquerici 3 Écrire l’intervalle ensemble des solutions d’une inéquation ou d’un système d’inéquations du premier degréà uneinconnue: cliquerici 4
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• La réunion de deux intervalles est l’ensemble des nombres réels appartenant à l’un ou l’autre de ces intervalles (les éléments de l’intersection appartiennent aussi à la réunion) Exemples :
Qu'est-ce que la réunion des intervalles?
La réunion des intervalles et est l’ensemble des x réels qui est soit dans l’intervalle soit dans l’intervalle. En mathématiques, on note l’union de deux intervalles par le signe suivant : (prononcé “union”)
Qu'est-ce que l'Union des intervalles?
( l’ intersection est repassée en bleu ) La réunion des intervalles et est l’ensemble des x réels qui est soit dans l’intervalle soit dans l’intervalle . En mathématiques, on note l’union de deux intervalles par le signe suivant : (prononcé “union”)
Comment calculer la réunion de deux ensembles ?
La réunion de deux ensembles A et B est l'ensemble des éléments qui appartiennent à A ou à B et se note A?B. Les nombres de la réunion des deux ensembles sont les nombres qui appartiennent au moins à l'un des deux ensembles. Il s’agit donc de la zone de l’axe gradué marquée soit par l’intervalle I soit par l’intervalle J. Ainsi I ? J = [?1 ; 4[.
Comment faire un exercice de réunion et intersection d’intervalles ?
Exercices : réunion et intersection d’intervalles Exercices : réunion et intersection d’intervalles www.bossetesmaths.com Exercice 1 Répondre à chacune des questions ci-dessous en représentant les intervalles proposés de deux couleurs différentes sur une droite graduée.
Image des intervalles
DedouMars 2012
Exemples d'images
L'image de [2;3] par la fonction carre est [4;9]L'image de ]2;3[ par la fonction carre est [0;9[.Exo 1
Quelle est l'image de [2;1[ par la fonctionx7!1 +x4?Denition de l'image
Denition
Soitfune fonction etIune partie deDDf.
L'image deIparf, noteef(I) est l'ensemble des nombres de la formef(x) avecx2I: f(I) :=ff(x)jx2Ig:Valeurs intermediaires
Theoreme
Soitfune fonction continue etIun intervalle contenu dansDDf. Alorsf(I) est un intervalle.Autrement dit, l'image d'un intervalle par une fonction continue est un intervalle.Intervalles
Il y a environ sept sortes d'intervalles. Mais on peut donner une denition uniforme. Les mathematiciens aiment bien ce genre de "factorisation".Denition Une partieIdeRest un intervalle ssi chaque fois qu'elle contient deux nombres, elle contient aussi tout l'intervalle entre ces deux nombres :8x;y;z2R;x2Ietz2Ietx Cas des fonctions croissantes
Proposition
Sifest continue croissante sur l'intervalle [a;b] alors on a f([a;b]) = [f(a);f(b)] Si de plusfest strictement croissante, on a aussi
f(]a;b[) =]f(a);f(b)[:Contre exemple L'image par la fonction partie entiereEde l'intervalle [0;1] n'est pas l'intervalle [0;1]. Cas des fonctions quelconques
Pour calculer l'image par des fonctions non monotones, on utilise la formule suivante pour l'image d'une reunion :Proposition L'image par une fonction quelconquefde la reunionI[Jde deux intervalles est la reunionf(I)[f(J) des images des deux intervalles.Exemple Soitfla fonction carre. On a
f([2;3]) =f([2;0][[0;3]) =f([2;0])[f([0;3]) = [0;4][[0;9]. Et doncf([2;3]) = [0;9]:Exo 2
Expliquez le calcul def(]4;1]).
Warning
Attention
L'image d'une intersection n'est en general pas l'intersection des images.Exo 3 Calculez sin([0;2]\[;3]) et sin([0;2])\sin([;3]) . Les bornes des fonctions continues
Theoreme
L'image par une fonction continue d'un intervalle ferme borne est aussi un intervalle ferme borne.Autrement dit, sur un intervalle [a;b] de son domaine de denition, une fonction continue est bornee et atteint ses bornes.Encore autrement dit L'image d'un intervalle [a;b] par une fonction continue est un intervalle ferme borne [m;M].Cet enonce ne nous etonne pas du tout, avec nos potes, vu que pour les fonctions qu'on conna^t, ca se voit gros comme une maison sur le tableau de variations. Pourtant ce theoreme n'est pas facile a prouver. Ceux que ca interesse sont bienvenus a essayer de comprendre la preuve. Exemple
Exo corrige
On posef:=x7!x36x+ 1. Calculerf([2;4]).
Exo Exo 4 On posef:=x7!x315x+ 2. Calculerf([3;5]).
quotesdbs_dbs45.pdfusesText_45
Cas des fonctions croissantes
Proposition
Sifest continue croissante sur l'intervalle [a;b] alors on a f([a;b]) = [f(a);f(b)]Si de plusfest strictement croissante, on a aussi
f(]a;b[) =]f(a);f(b)[:Contre exemple L'image par la fonction partie entiereEde l'intervalle [0;1] n'est pas l'intervalle [0;1].Cas des fonctions quelconques
Pour calculer l'image par des fonctions non monotones, on utilise la formule suivante pour l'image d'une reunion :Proposition L'image par une fonction quelconquefde la reunionI[Jde deux intervalles est la reunionf(I)[f(J) des images des deux intervalles.ExempleSoitfla fonction carre. On a
f([2;3]) =f([2;0][[0;3]) =f([2;0])[f([0;3]) = [0;4][[0;9].Et doncf([2;3]) = [0;9]:Exo 2
Expliquez le calcul def(]4;1]).
Warning
Attention
L'image d'une intersection n'est en general pas l'intersection des images.Exo 3 Calculez sin([0;2]\[;3]) et sin([0;2])\sin([;3]) .Les bornes des fonctions continues
Theoreme
L'image par une fonction continue d'un intervalle ferme borne est aussi un intervalle ferme borne.Autrement dit, sur un intervalle [a;b] de son domaine de denition, une fonction continue est bornee et atteint ses bornes.Encore autrement dit L'image d'un intervalle [a;b] par une fonction continue est un intervalle ferme borne [m;M].Cet enonce ne nous etonne pas du tout, avec nos potes, vu que pour les fonctions qu'on conna^t, ca se voit gros comme une maison sur le tableau de variations. Pourtant ce theoreme n'est pas facile a prouver. Ceux que ca interesse sont bienvenus a essayer de comprendre la preuve.Exemple
Exo corrige
On posef:=x7!x36x+ 1. Calculerf([2;4]).
Exo Exo 4On posef:=x7!x315x+ 2. Calculerf([3;5]).
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