1 Fonction convexe fonction concave 2 Lien avec la dérivée
concave convexe . Conséquence : Si f une fonction deux fois dérivable sur un intervalle I : • si la dérivée seconde est positive alors la fonction f est
LA DÉRIVÉE SECONDE
Une fonction convexe possède une dérivée première croissante ce qui lui donne l'allure de courber vers le haut. Au contraire une fonction concave possède
1 Rappels 2 Dérivée seconde convexité
Une fonction f : I intervalle ? R est concave sur I si son sousgraphe est convexe. Si une fonction est dérivable deux fois la dérivée seconde est notée f
CONVEXITÉ
I. Fonction convexe et fonction concave La fonction f est concave sur I si sa dérivée f ' est décroissante sur I soit f ''(x) ? 0 pour tout x de I.
Dérivabilité et convexité
8 nov. 2011 On appelle alors dérivée seconde la dérivée de f et on la ... Une fonction est dite concave si son opposée est convexe.
Comment montrer quune fonction est convexe ou concave: la
une fonction fest convexe sur un intervalle I si et seulement si la dérivée seconde f" est positive sur I et une fonction fest concave sur un intervalle I
Rappels sur la dérivabilité. Compléments et convexité
11 juil. 2021 concave convexe. Théorème 9 : Tangentes et dérivée seconde. Soit une fonction f deux fois dérivables sur I de courbe représentative Cf .
Convexité
La fonction racine carrée et la fonction logarithme sont concaves : b) Si f est deux fois dérivable et si sa dérivée seconde est.
CONVEXITÉ
On appelle fonction dérivée seconde de sur I la dérivée de ? et on note La fonction cube ? est concave sur ]?? ; 0] et convexe sur [0 ; +?[ ...
Terminale ES - Convexité et inflexion
La fonction est concave sur un intervalle I si et seulement si la dérivée. ' est décroissante sur I. Conséquences : On note " la dérivée seconde de
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Si f une fonction deux fois dérivable sur un intervalle I : • si la dérivée seconde est positive alors la fonction f est convexe ; • si la dérivée seconde est
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La fonction f est convexe sur I si sa dérivée f ' est croissante sur I soit f ''(x) ? 0 pour tout x de I La fonction f est concave sur I si sa dérivée f '
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Une fonction f : I intervalle ? R est concave sur I si son sousgraphe est convexe Si une fonction est dérivable deux fois la dérivée seconde est notée f
[PDF] Convexité
La convexité des fonctions (une ou deux fois) dérivables est gouvernée par le sens de variation de la premi`ere dérivée ou le signe de la dérivée seconde
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On dit que f est concave sur I si sa courbe représentative sur I est entièrement située au-dessous de chacune de ses tangentes La fonction est convexe sur l'
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8 nov 2011 · La fonction f est convexe sur I si et seulement si sa dérivée seconde f est positive ou nulle sur I Une fonction deux fois dérivable est
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Exemple 1 : la fonction x ?? x2 est convexe sur R car sa dérivée seconde vaut 2 Exemple 2 : la fonction ln est concave sur ]0+?[ car sa dérivée
Fonction convexe et fonction concave sur un intervalle - Maxicours
Objectif(s) • Reconnaître graphiquement les fonctions convexes et concaves • Utiliser le lien entre convexité et sens de variation de la dérivée
YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr1CONVEXITÉ I. Fonction convexe et fonction concave Vidéo https://youtu.be/ERML85y_s6E Définitions : Soit une fonction f dérivable sur un intervalle I. La fonction f est convexe sur I si, sur l'intervalle I, sa courbe représentative est entièrement située au-dessus de chacune de ses tangentes. La fonction f est concave sur I si, sur l'intervalle I, sa courbe représentative est entièrement située en dessous de chacune de ses tangentes. Fonction convexe Fonction concave Propriétés : - La fonction carré
x!x 2 est convexe sur . - La fonction cube x!x 3 est concave sur -∞,0 et convexe sur0;+∞
. - La fonction inverse x! 1 x est concave sur -∞;0 et convexe sur0;+∞
. - La fonction racine carrée x!x est concave sur0;+∞
. - Admis - Notation : La dérivée d'une fonction dérivée f ' se note f ''. Propriété : Soit une fonction f définie et dérivable sur un intervalle I. La fonction f est convexe sur I si sa dérivée f ' est croissante sur I, soit f''(x)≥0
pour tout x de I. - Admis -YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr2 Méthode : Etudier la convexité d'une fonction Vidéo https://youtu.be/8H2aYKN8NGE Soit la fonction f définie sur
par f(x)= 1 3 x 3 -9x 2 +4 . Etudier la convexité de la fonction f. Pour tout x de , on a f'(x)=x 2 -18x . Pour tout x de , on a f''(x)=2x-18 qui s'annule pour x=9Pour tout x≥9
f''(x)≥0 f ' est donc strictement décroissante sur -∞;9 et donc f est concave sur -∞;9 . f ' est donc strictement croissante sur 9;+∞ et donc f est convexe sur 9;+∞. II. Point d'inflexion Vidéo https://youtu.be/r8sYr6ToeLo Définition : Soit une fonction f dérivable sur un intervalle I. Un point d'inflexion est un point où la courbe traverse sa tangente en ce point. Remarque importante : Au point d'inflexion, la fonction change de convexité. Exemple : On considère la fonction cube
x!x 3 . La tangente au point O(0,0) est l'axe des abscisses. Pour , la courbe est en dessous de sa tangente. x≥0, la courbe est au-dessus de sa tangente. La tangente à la courbe en O traverse donc la courbe. Le point O est un point d'inflexion de la courbe de la fonction cube. Méthode : Etudier la convexité pour résoudre un problème Vidéo https://youtu.be/_XlgCeLcN1k Une entreprise fabrique des clés USB avec un maximum de 10000 par mois. Le coût de fabrication C (en milliers d'euros) de x milliers de clés produites s'exprime par :
C(x)=0,05x
3 -1,05x 2 +8x+4. 1) À l'aide de la calculatrice graphique, évaluer la convexité de la fonction C. En déduire si la courbe possède un point d'inflexion. 2) Démontrer ces résultats. 3) Interpréter les résultats obtenus. 1) La fonction semble concave sur l'intervalle [0 ; 7] et convexe sur l'intervalle [7 ; 10]. La courbe semble posséder un point d'inflexion pour
x=7 . 2)C(x)=0,05x
3 -1,05x 2 +8x+4C'(x)=0,15x
2 -2,1x+8C''(x)=0,3x-2,1
Or0,3x-2,1=0
pour x=7 . On peut ainsi résumer les variations de C' et la convexité de C dans le tableau suivant : x0 7 10
C''(x)
- 0 + C'(x) Convexité de C concave convexeC(7)=25,7
YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr4Ainsi, le point de coordonnées (7 ; 25,7) est un point d'inflexion de la courbe. 3) Après le point d'inflexion, la fonction est convexe, la croissance du coût de fabrication C s'accélère. Avant le point d'inflexion, la fonction est concave, la croissance du coût de fabrication ralentie. Ainsi, à partir de 7000 clés produites, la croissance du coût de fabrication s'accélère. Horsducadredelaclasse,aucunereproduction,mêmepartielle,autresquecellesprévuesàl'articleL122-5ducodedelapropriétéintellectuelle,nepeutêtrefaitedecesitesansl'autorisationexpressedel'auteur.www.maths-et-tiques.fr/index.php/mentions-legales
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