Correction TD 1 : Approximation de fonctions
1ère année. Correction TD 1 : Approximation de fonctions. NB : Ne sont corrigés ici que les exercices n'ayant pas été corrigés en TD (pour ces exercices
Feuille de TD 1 - Correction : Interpolation de Lagrange
Calculer le polynôme d'interpolation de Lagrange de la fonction f(x) = x(x2 ? 1) relativement aux points x0 = ?1 x1 = 1 et x2 = 2. Correction : Les valeurs
1 Résolutions déquations avec une variable 2 Approximation dune
Bref corrigé du TD n? 5 - groupe 127. Automne 2018. 1 Résolutions d'équations avec 1) Calculer df en fonction de dx quand x = 0 pour f = ln(1 + x) f =.
Analyse Numérique
x0 ? x?1. l'unique fonction linéaire dont les valeurs coïncident avec celles de f en x?1 et x0. L'approximation x1 est alors obtenue en résolvant :.
´Eléments de calculs pour létude des fonctions de plusieurs
3.2 Approximation d'une fonction de plusieurs variables . 2.2.1 Résolution de l'équation homog`ene associée . ... Correction de l'exercice 1.
Corrigé (des exercices 1-8) du TD no 9 — Formules de Taylor
où ?(h) est une fonction qui tend vers 0 quand h tend vers 0. (b) Formule de Taylor-Lagrange : supposons que f soit de classe Cn+1 sur I. Alors pour tout.
Exercices de mathématiques - Exo7
Donner le développement limité en 0 des fonctions : 1. cosx·expx à l'ordre 3 Exercice 11 Approximation de cos ... Correction de l'exercice 1 ?.
´Eléments de calculs pour létude des fonctions de plusieurs
3.2 Approximation d'une fonction de plusieurs variables . 3.3.1 Le cas des fonctions d'une seule variable . ... Correction de l'exercice 1. 1. f(x y) =.
ALGO 1.1 œ Correction TD N°5.
Remarque : On ne s'occupe pas de la situation où l'utilisateur saisit un entier strictement négatif. Rappel : 0 ! = 1. Calcul de la factorielle d'un entier
Corrigé du TD no 11
Fonctions réelles. J. Gillibert. Corrigé du TD no 11. Exercice 1. Soient f et g deux fonctions continues R ? R. On suppose que : ?x ? Q f(x) = g(x).
Correction TD 1 : Approximation de fonctions - Inria
Correction TD 1 : Approximation de fonctions NB:Nesontcorrigésiciquelesexercicesn’ayantpasétécorrigésenTD(pourcesexercicescf vosnotes) 1 Méthode des moindres carrés Exercice1(quartetd’Anscombe) LestatisticienFrancisAnscombeadé?nien1973plusieursensembles dedonnéesayantunepropriétéintéressante Lesvoici x y x y x y x y
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1 ere ann ee TD 1 : Approximation de fonctions 1 M ethode des moindres carr es Exercice 1 (quartet d’Anscombe) Le statisticien Francis Anscombe a d e ni en 1973 plusieurs ensembles de donn ees ayant une propri et e int eressante Les voici x y x y x y x y 10:0 8:04 10:0 9:14 10:0 7:46 8:0 6:58 8:0 6:95 8:0 8:14 8:0 6:77 8:0 5:76
3 . 1 4 1 5 9 2 6 5 3 5 8 9 7 9 3 2 3 8 4 6 2 6 4 3 3 8 3 2 7 9 5 0 2 8 8 4 1 9 7 1 6 9 3 9 9
3 7 5 1 0 5 8 2 0 9 7 4 9 4 4 5 9 2 3 0 7 8 1 6 4 0 6 2 8 6 2 0 8 9 9 8 6 2 8 0 3 4 8 2 5 3 4 2 1 1 7 0 6
7 9 8 2 1 4 8 0 8 6 5 1 3 2 8 2 3 0 6 6 4 7 0 9 3 8 4 4 6 0 9 5 5 0 5 8 2 2 3 1 7 2 5 3 5 9 4 0 8 1 2 8 4 8 1 1
1 7 4 5 0 2 8 4 1 0 2 7 0 1 9 3 8 5 2 1 1 0 5 5 5 9 6 4 4 6 2 2 9 4 8 9 5 4 9 3 0 3 8 1 9 6 4 4 2 8 8 1 0 9 7 5 6
6 5 9 3 3 4 4 6 1 2 8 4 7
5 6 4 8 23 3 7 86 7 8
3 1 6 52 7 1 20 1 9 0
9 1 4 5 6 4 8 5 6 6 9 2
3 4 6 0 3 4 8 6 1 0 4
5 4 3 2 6 6 4 8
2 1 3 3 9 3 6 0
7 2 6 0 2 4 9 1 4 1
2 7 3 7 2 4 5 8 7 0
0 6 6 0 63 1 5 5 8 8
1 7 4 8 8 1 5 2 0 9 2
0 9 6 2 8 2 9 2 5 4 0 9
1 7 1 5 3 6 4 3 6 7 8 9
2 5 9 0 3 6 0 0 1 1 3 3 0
5 3 0 5 4 8 8 2 0 4 6 6 5
2 1 3 8 4 1 4 6 9 5 1 9 4 1 5
1 1 6 0 9 4 3 3 0 5 7 2 7 0 3
6 5 7 5 9 5 9 1 9 5 3 0 9 2 1 8
6 1 1 7 3 8 1 9 3 2 6 1 1 7 9 3 1
0 5 1 1 8 5 4 8 0 7 4 4 6 2 3 7 9
9 6 2 7 4 9 5 6 7 3 5 1 8 8 5 7 5 2
7 2 4 8 9 1 2 2 7 9 3 8 1 8 3
0 1 1 9 4 9 1Université de TOURS - L1 GESTION
Cours Maths Stats Appliqués à la Gestion
Bref corrigé du TD n
5 - groupe 127
Automne 2018
1Résolutions d"équations a vecune v ariable
1) Résoudre les différentes équations du premier et du second degré suivantes, aveca2R:
xa= y+ 3 = 12y22y+a= 0xa= 2y+a x2+x+ 1 = 014 x25x+ 9 = 0On trouve
x=a+ y= 9y= 1p1a(sia <1)x2y= 2a S=;x= (54)2 Cary22y+a= (y1)2+(a1)ce qui équivaut à(y1)2= 1a, équation qui n"a de solution que lorsquea <1, la solution étant telle quey1 =p1a2) Dire si les équations suivantes sont équivalentes ou non
2x=y+1y
2x=y+ 1=ylnx= lny
()xy=y+ 1()y=x+px 21x=y8< :x+y= 2(L+`) xy=L`()8 :x=`+p` 2164
y=`p` 2164
- Prenons l"équation
2x=y+1y
. Si on la multiple paryà droite et à gauche, elle devient2xy=y2+ 1, ce qui n"a rien à voir avecxy=y+ 1
- Prenons l"équation2x=y+1y
. En multipliant paryet en soustrayant à droite et à gauche2xycette équation devienty22xy+ 1 = 0qu"on peut encore écrirey22xy+X2+ 1x2=
(yx)2+1x2= 0, soit(yx)2=x21. Cette égalité n"est possible que quand le membre de droite est positif, cad quandx1oux 1. On a alorsyx=px
21, soit,y=xpx
21.L"équivalence n"est pas tout à fait vraie, il manque au moins une solution. - Prenons l"équationlnx =lny. Si on calcule de part et d"autre l"exponentielle du membre de droite et du membre de gauche, on trouvex =y. Cependant, là encore, il n"y a. Pas d"équivalence, car on ne peut pas faire le. Chemin inverse, si par exemplexetysont négatifs.
Prenons le système d"équations
8 :x=`+p` 2164y=`p` 2164
, if we computex +ywe find2`=4 =6=
2L+ 2`, that is enough to say that the two systems are different.
2Appro ximationd"u nefonction conca ve
Le but de cet exercice est de vérifier, quandfest une fonction concave, que l"approximation defpar
f+df=f+fxdxest toujours supérieure àf.1) Calculerdfen fonction dedxquandx= 0pour
f= ln(1 +x)f=px+ 1f= 111 +xf= 1x2 Le cours indique quedf=fxdx, oùfxdésigne la dérivée defen zéro, que l"on notef0(0). - Pour la fonctionf= ln(1 +x),fx= 1=(1 +x),f0(0) = 1,df=dx. - Pour la fonctionf=px,fx= 1=(2px+ 1),f0(0) = 1=2,df=dx=2. - Pour la fonctionf= 111 +x,fx= 1 +1(1 +x)2,f0(0) = 1,df=dx. - Pour la fonctionf= 1x2,fx=2x,f0(0) = 0,df= 0, ce qu"il n"est pas très correct d"écrire. Il faut à ce stade passer à l"approximation quadratique2) Pour savoir si l"approximation defest au-dessus ou au-dessous def, il nous faut une approximation
deffxdx, ce qu"on obtient en considérant l"approximation quadratique def. Calculer l"approximation
quadratique defen fonction dedxet de(dx)2quandx= 0pour f= ln(1 +x)f=px f= 111 +xf= 1x2Le cours indique quedf
=fxdx+12 fxx(dx)2, oùfxxdésigne la dérivée. seconde defen zéro, que l"on note encoref00(0). - Pour la fonctionf= ln(1 +x),fx= 1=(1 +x),fxx=1=(1 +x)2,f00(0) =1,df=dx12 (dx)2. - Pour la fonctionf =px,fx= 1=(2px+ 1) =12(x+ 1)1=2,fxx==14(x+ 1)3=2,f0(0) =1=4, df=dx=218 (dx)2. - Pour la fonctionf = 111 +x,fx= +1(1 +x)2= (1 +x)2,fxx=2(1 +x)3,f00(0) =2, df=dx(dx)2. - Pour la fonctionf = 1x2,fx=2x,fxx=2,f0(0) =2,df=(dx)2, ce qui est maintenant une écriture acceptable .3) Vérifier dans chacun des cas précédents quefest concave, et que l"approximation linéaire defest
supérieure àf. Si on reprend les calculs précédents, on vérifie quef00<0dans chacun des cas. Par ailleurs, si on soustrait àfson approximation linéaire, il ne reste plus que le terme 12 f00 (0)(dx)2<0, puisque la fonction est concave : donc l"approximation linéaire est plus grande que.f. 3Appro ximations
Pour cet exercice, on a besoin de connaître les premières décimales de. On trouve dans l"énoncé := 3;14159265358979323846264338327950288419.1) Définir et donner une approximation deà101près puis à1011près. Soyez très précis dans la
définition de cette approximation, dans votre réponse, et dans la motivation de votre réponse.
Une approximation à
101près, indique que l"on doit prendre un chiffre après la virgule,
mais en arrondissant au 1/10 inférieur si le Nombre est plus proche du 1/10 inférieur, ou au 1/10 supérieur si le Nombre est plus proche du 1/10 supérieur. Ainsi, l"approximation101près, de1;23est1;2tandis que l"approximation à101près, de1;27est1;3. Pour
dont les deux premières décimales sont 14, l"approximation à101près est3;1.Pour connaître l"approximation à
1011près, en suivant la même rigoureuse logique, il faut
connaître les douze premières décimales de, soit141592653589. On en déduit que cette
approximation ne se finit pas par 8, mais par 9 : on a alors3;14159265359.2) Soit une fonctionfqui. Vérifie en particulierf(0) = 0etf() =. Donner une approximation linéaire
def(2;516)à102près. Donner une approximation linéaire. Entre. Deux points d"une courbe, c"est considérer la corde entre ces deux points, et donner la valeur du point correspondant sur la corde La corde qui passe par les points(0;0)et(;)n"est autre que la première bissectrice, cadle lieu des points pour lesquels la seconde coordonnée égale. La première coordonnée. Ainsi
si la première coordonnée est 2,516, la valeur sur la corde sera aussi2;516. Si par ailleurs
on. Approxime cette valeur à102près, on dira quef(2;516)2;52, à102près.3) Soit une fonctiongqui. Vérifie en particulierg(0) = 0etg(1) =. Donner une approximation linéaire
deg(1=2)à102près.On trouve une approximation deg
(1=2)en cherchant le milieu des points(0;0)et(1;). C"est donc (1=2;=2). On approxime doncg(1=2)par=2. Puisqu"on demande le résultat à à102 près, il faut déjà connaître les trois premières décimales de=2 = 1;5705:::, donc à102près,
cela donneg(1=2)1;57. 4 Appro ximationsqu adratiquesd"une fonction de coûtSoit une entreprise qui produit une quantitéq= 1et dont la fonction de coût est :C= 1 +q2ln(q).
Donner une approximation quadratique de la fonction de coût autour deq= 1. On calculera donc les coefficientsetqui apparaissent dans la formule suivante :C(1 +dq) =C(1) +dq+(dq)2
Il faut calculerC
(1),C0(1)etC00(1)et on aura l"approximation quadratiqueC(1 +dq) =C(1) +C0(1)dq+12
C00(1)(dq)2. IciC= 1 +q2ln(q), doncC0= 2qln(q) +q2=q= 2qln(q) +q, et c 00 = 2ln(q) + 2q=q+ 1 = 2ln(q) + 3, en 1, on. TrouveC(1) = 1 + 0 = 1,C0(1) = 0 + 1 = 1et C00(1) = 0 + 3 = 3. Ainsi,
C(1 +dq) = 1 +dq+32
(dq)2= 1= 3=2 5Questions à rédiger
La fonction de profit d"une firme, quandpest exogène (non choisi par la firme elle-même),(q) =pqC(q)
est concave : quand le coût est convexe, quand elle n"augmente pas énormément à l"infini; Elle pourrait
diminuer quand le coût est très élevé, elle est maximum pour une valeur particulière deq?
La fonction de profit est la différence d"une fonction linéaire enqet de la fonction de coût
C (q). Son caractère concave ou convexe proviendra uniquement deC(q): Ainsi, elle sera concave quandCsera concave, cad quandCsera convexe. Quand elle est concave, la fonction de profit, quand elle est croissante n"est pas très crois- sante. Elle peut cependant aller tout de même jusqu"à l"infini. Un profil possible d"une fonction concave est que lorsqueqest grand elle soit décroissante.Ceci sera vrai siC(q)> pquandqgrand.
6Con vexité
Justifier que la fonction dont la représentation est ci-après est convexe :xf(x)xyx+ (1)yf(x) + (1)f(y) La fonction est. en. Dessous de ses cordes. On voit en effet clairement : f(x+ (1)y)< f(x) + (1)f(y) On voit par ailleurs quefest au-dessus de ses tangentes. 7Limites
Donner si elles existent la limite quandx!0+des fonctions suivantes (3e cas difficile) x=ln(1 +x) ln(1 +x)=x xln(x) - Soit la fonctionx=ln(1+x), elle se présente comme une fractionf=gdont le numérateurf=x et le dénominateurg =ln(1 +x)tendent vers 0. Pour que la. Règle de l"hopital fonctionne il faut que la dérivée du dénominateur ne soit pas nulle. Icif0 = 1,g0= 1=1 +x,g0(0) = 1: la règle de l"Hopital s"applique la limite est1=1 = 1. - Soit la fonctionln (1 +x)=x, elle se présente comme une fractiong=fdont le dénominateur f =xet le numérateurg=ln(1+x)tendent vers 0. Pour que la. Règle de l"hopital fonctionne il faut que la dérivée du dénominateur ne soit pas nulle. Icif0 = 1,g0= 1=1 +x,g0(0) = 1: la règle de l"Hopital s"applique la limite est1=1 = 1. -Soit la fonctionxln (x). C"est d"abord, on peut le noter une limite classique en 0 : elle est a priori indéterminée puisque de la forme0 1. Mais on se souvient que c"est lexqui
l"emporte. On peut tenter d"utiliser la règle de l"hopital en écrivant la fonction sous la forme :x= (1=ln(x)). La limite a bien alors cette forme indéterminéef=gavecf=x!0et g= 1=ln(x)!0. La dérivée defest 1, la dérivé deg:g0=1=x(ln(x))2. çà ne marche pas. On
reprend dans la suiteLa fonctionh
=xln(x)a pour dérivéeh0=ln(x) +x=x= 1 +ln(x)ainsi pourx <1=ecette dérivée est négative, montrant qu"en zéro, la fonction ne peut pas tendre vers1. C"est déjà un premier résultat. Ensuite, on sait que pourx <1,h <0, donc la limite est dansR.
Orh (x2) =xh(x). Cette propriété est incompatible avec une limite dehqui serait strictement négative, égale par exemple àa. On trouverait alorsaxa0, ce qui est impossible quadn
x!0. Donc la limite est 0 8 Elasticité de la demande de marc héet opp ortunitésdu monop oleConsidérons un monopole qui produit et vend un bien, dont la fonction de coût estC(q)convexe, anticipant
qu"il ne pourra pas vendre plus de bien au prixpque ne le demande le marché, soit la qtéq=D(p). On
supposera queDest l"inverse d"une fonction affineD= 1=(p+)avecetpositifs.1) Ecrire la fonction de profitp!(q)en fonction deC(q)et deD(p)(en substituantqparD(p)).
(p) =pD(p)C(D(p))2) Montrer, en calculant sa dérivée seconde, que la fonctionpD(p)est concave. Montrer queD(p)est
convexe, en déduire queC(D(p))concave. Conclure que la fonction profit(p)est concave. - La fonctionf =pD(p) =p=(p+) =p+==p+= 1==p+a pour dériféef0=(p+)2 et pour dérivée secondef00=2=(p+)3<0: elle est concave quand; >0. - La fonctionD = 1=(p+)a pour dérivée première=(p+)2et pour dérivée seconde :22=(p+)3>0: elle est convexe.
- On utilise alors le résultat sur la composition de fonctions convexes qui demeure une fonction convexe :C (D(p))est convexe car à la foisCetDsont convexes. On en déduit que l"opposéeC(D(p))est concave. - La fonction profit est la somme de deux fonctionspD(p)etC(D(p))qui, toutes les deux sont concaves : la fonction profit est donc concave.3) Montrer que le prixpqui annule la fonction dérivée0(p)vérifie l"équation
pCmp =1" ;(M) OùCm=c0(q)et"est l"élasticité de la demande par rapport au prix.La dérivée de la fonction profit est0
(p) =D(p)+pD0(p)C0(D(p))D0(p). Elle s"annulle quand D (p)+D0(p)(pCm) = 0(On a écrit le termeC0(D(p))sous la formeCmcad le coût marginal de la firme). Ce que l"on peut encore écrire sous une forme proposée par l"énoncé :D(p)pD
0(p=pCmp
On reconnaît dans le terme de gauche l"opposé de l"élasticité de la demande par rapport au
prix. En effet,"=pq q0(p) =pD0(p)D(p).Remarque" <
0et donc on en déduit qu"au monopolep > cm, ce qui est une caractéristique
du monopole. Le monopole produit un bien qu"il vend plus cher que son coût marginal. Contrairement à la firme en concurrence pure et parfaite qui vend le bien au prix de la dernière unité produite.4) Déduire de (M) ce qui se passe quand"est très petit puis quandj"jest très grand : interpréter le
choix du monopole en se souvenant qu"une firme en Concurrence pure et parfaite tarifie au coût marginal.
Quand"est très petit (en valeur absolue) le termepCmest très grand, et le monopole propose vraiment un prix très supérieur au coût marginal. La situation pour le monopoleest facilitée par le fait que l"élasticité de la demande est très faible, et donc que s"il augmente
les prix, la demande ne faiblira pas beaucoup. Il peut donc augmenter très sensiblemnet ses profits en augmentant le prix, au-delà du cout marginal. Quand"est très grand (en valeur absolue) le termepCmest très petit, et le monopole propose un prix qui n"est pas vraiment supérieur au coût marginal. La situation pour lemonopole est difficile par le fait que l"élasticité de la demande est très forte, et donc que s"il
augmente les prix, la demande chutera dans des proportions telles que son profit pourraitêtre écorné. Le monopole doit donc être très prudent quand il augmente les prix, et en tout
état de cause, en ne considérant que des augmentations faibles au-delà du cout marginal. 9 V ariationsinfinitésimales de deux v ariablescorréléesConsidérons une fonctionfdéfinie sur deux variables et dérivable. Soient deux variablesx1etx2corrélées,
vérifiant plus précisément la relationf(x1;x2) = 0. On suppose plus précisément qu"étant donnéx12R+,
il existe au plus une valeur dex22R+, telle quef(x1;x2) = 0.On rappelle que la différentielle defcalcule les variations infinitésimales defquandx1etx2varient
df=fx1dx1 +fx2dx2;Oufx1désigne la dérivée partielle defpar rapport àx1etfx2, la dérivée partielle defpar rapport àx2.
1) Expliquer et montrer que la relation entre les deux variablesx1etx2, s"approxime autour de(x1;x2)
par une relation linéaire entredx1etdx2. Par définition les deux variablesx1etx2, sont telles quef (x1;x2) = 0. Si on se situe en un point ou cette relation est vérifiée, et qu"on regarde les faibles variations dex1etx2autour, x 1 +dx1etx2+dx2telles que la relation est toujours vérifiée, on a :f(x1+dx1;x2+dx2) = 0ce quiconduit, en différentiant àdf= 0à l"équationfx1dx1+fx2dx2 = 0ce qui établit formellement
une relation linéaire entredx1etdx2. CQFD. Interprétation, pour que la relationf (x1;x2) =0continue à être vérifiée autour dex1etx2, il faut qu"il y ait un certain rapport de
proportionalité entrex1etx2.2) Trouver la pente de la relation précédente. Expliquer en quoi cette pente établit localement une échelle
de valeur entre la variablex1et la variablex2. le rapport de proportionalité entrex1etx2établie par l"égalitéfx1dx1 +fx2dx2 = 0est égal
àfx1=fx2: dit autrement, les variations autour dex1etx2doivent être choisies telles que la valeur relative dex1soitfx1=fx2. Autre interprétation,fx1=fx2est la pente de la tengente de la courbef= 0en(x1;x2).quotesdbs_dbs22.pdfusesText_28[PDF] Loi binomiale - Loi de Poisson - MATHEMATICfr
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