[PDF] Chapitre 19 POLYNÔMES Enoncé des exercices

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Chapitre 19

POLYNÔMES

Enoncé des exercices

1Les basiques

Exercice 19.1Montrer que

n? k=0 ?n k? 3 k(1-X)3n-2kXk=?1-X3?n Exercice 19.2Deux polynômesUetVvérifientU(x)sinx+V(x)cosx= 0pour toutx >0.Montrez queUetV sont tous deux égaux au polynôme nul. Exercice 19.3Déterminer le degré de(X2+ 1)n-2X2n+ (X2-1)n.

Exercice 19.4(Archimède 1998). On considère l"applicationΦdeR[X]dans lui même définie par

Φ(P) = (2X-1)P-?

X 2+12? P

oùP?désigne le polynôme dérivé. Déterminer le degré deΦ(P)en fonction du degré deP. RésoudreΦ(P) = 1.

Exercice 19.5SoitPn(X) = (1 +X)(1 +X2)(1 +X4)...(1 +X2n).Calculer les coefficients dePn.

Exercice 19.6Pourn?= 0, factoriser le polynôme

P n= 1-X+X(X-1)2!-...+ (-1) nX(X-1)...(X-n+ 1) n! Exercice 19.7Détermineraetbpour queX2-aX+ 1diviseX4-X+b. Exercice 19.8DéterminerpetqdansRpour queP=X3+pX+qsoit divisible parQ=X2+ 3X-1. Exercice 19.9Montrer queX2-X+ 1diviseP= (X-1)n+2+X2n+1 Exercice 19.10Calculer, pourn≥2les restes des divisions euclidiennes deP= (X-3)2n+ (X-2)n-2par a)(X-3)(X-2)b)(X-2) 2 (on pourra, pour b dériver l"expression obtenue en écrivantune division euclidienne)

Exercice 19.11Donner uneCNS(Condition nécessaire et suffisante) pour queX2+1diviseX4+X3+λX2+μX+2

dansC[X]. Exercice 19.12Soitt?R,n?N,etPn(X) = (sin(t)X+ cos(t))n. Déterminer le reste de la division euclidienne dePpar?X

2+ 1?.

1. LES BASIQUESCHAPITRE 19. POLYNÔMES

Exercice 19.13DétermineraetbdansCtels queA=X2+X+ 1diviseB=X4+aX2+bX+a2+ 1. Exercice 19.14Soitn?N, montrer que le polynômePn= 1+X+X 2 2+X 3

3!+···+X

n n!n"a pas de racine multiple.

Exercice 19.15Déterminerλ >0pour queP=X3-3X+λait une racine double. Quelle est alors l"autre racine?

Exercice 19.16Déterminer tous les polynômesPdeR[X], non nuls, tels que?X2+ 1?P??-6P= 0etP(1) = 2

Exercice 19.17Résoudre l"équation suivante dansC[X] :X(X+ 1)P??+ (X+ 2)P?-P= 1 Exercice 19.18Résoudre l"équation suivante dansC[X] :P(2X) =P?(X)P??(X)

Exercice 19.19Résoudre le système :?

?x+y+z= 2 xyz=- 1 21
x+1y+1z=12

Exercice 19.20SoitP=X4+12X-5, factoriserPsurRet surC, sachant qu"il admet deux racines dont le produit

vaut-1. Exercice 19.21Olympiade mathématiques du Canada 1996

Siα,β,γsont les racines deP(X) =X

3-X-1,calculer

1 +α

1-α+1 +β1-β+1 +γ1-γ

Exercice 19.22Factoriser le polynômeP=?X2+ 1?2+?X2-X-1?2 Exercice 19.23Trouver trois réelsx,yetztels que x+y+z=1 x+1y+1z= 5 etx

2+y2+z2= 15

Exercice 19.24SoitPle polynôme à coefficients réels défini parP=?X2-1?2-3X?X2+ 1?. Montrer quej=e

2iπ

3 est racine deP.

En déduire la factorisation dePdansR[X]en produits d"irréductibles et les racines réelles deP.

Exercice 19.25Déterminerλpour que le polynômeX4-2X3+λX2+ 2X-1ait une racine d"ordre3au moins.

Exercice 19.26SoitP=X3+X+ 1,on noteα,βetγses racines complexes.

1. Calculer

2+β2+γ2

2. En utilisantP(α) +P(β) +P(γ)que l"on exprimera de deux manières différentes, en déduire la valeur de

3+β3+γ3.

3. Exprimer le reste de la division euclidienne deX

4parP. En déduire la valeur deα4+β4+γ4.

Exercice 19.27Soientα,β,γles racines de l"équationX3-5X2+ 6X-1.Déterminer la valeur exacte de

A=1

1-α+11-β+11-γ

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CHAPITRE 19. POLYNÔMES2. LES TECHNIQUES

Exercice 19.28Factoriser surRle polynômeP=X6+X3+ 1. Exercice 19.29Résoudre(X+ 4)P(X) =XP(X+ 1).Généraliser à(X+n)P(X) =XP(X+ 1)oùn?N?

Exercice 19.30SoitP(X) =X4+aX3+bX2+cX+d,oùa,b,cetdsont des réels. On sait queP(2i) =P(2 +i) = 0,

que vauta+b+c+d? Exercice 19.31Déterminerapour queP(X) =X4+aX+aetQ(X) =X3+aX+aaient une racine commune, préciser cette racine.

Exercice 19.32SoientPetQdansK[X]tels queP◦Q=Q◦P, montrer que si l"équationP(P(x)) =Q(Q(x))

admet une solution, il en est de même de l"équationP(x) =Q(x). Exercice 19.33SoitP=aXn+1+bXn+1?C[X],déterminer une CNS sur(a,b)pour quePait une racine double.

Exercice 19.34Un exercice sur la divisibilité.

1. Déterminer deux suites(a

n)n?Net(bn)n?Ntelle queAn=anXn+1+bnXn+1soit divisible parB= (X-1)2.

On choisira ainsi pour la suite de l"exercice(a

n)n?Net(bn)n?N.

2. Déterminer le quotient de la division euclidienne deA

nparBpourn≥1

3. En déduire une expression simple de

n? k=1 kxksix?= 1est un complexe. Exercice 19.35SoientA,B,CetDquatre polynômes à coefficients réels, on définit alors

P(x) =?

x 1

A(t)C(t)dt,Q(x) =?

x 1

A(t)D(t)dt,R(x) =?

x 1

B(t)C(t)dtetS(x) =?

x 1

B(t)D(t)dt

Montrer que(X-1)

4diviseP(X)S(X)-Q(X)R(X).

Exercice 19.36Montrer queP=X3+pX+qadmet une racine double si et seulement si4p3+ 27q2= 0.

2Les techniques

Exercice 19.37SoitPun polynôme tel que les restes de la division euclidienne dePpar(X-1),(X-2)et(X-3)

soient3,7et13respectivement. Déterminer le reste de la division euclidienne dePpar(X-1)(X-2)(X-3).

Exercice 19.38Soit??Ret pourn?N?,Pn= cos((n-1)θ)Xn+1-cos(nθ)Xn-cos(θ)X+1. Montrer queP1 divisePnet expliciter le quotient. Exercice 19.39Résoudre l"équation(X-1)P?+XP= 1 +X 3 2. Exercice 19.40Résoudre l"équation4P= (X-1)P?+P??. Exercice 19.41Déterminer les polynômesPtels queP?diviseP.

Exercice 19.42SoitPn= (1 +iX)n-(1-iX)npourn≥1.Factoriser le polynômePnet en déduire la valeur de

p? k=0 tan2 ?kπ

2p+ 1?

et de p-1? k=0 tan2 ?kπ 2p?

En déduire la valeur detan

2?π

14? + tan 2 ?3π 14? + tan 2 ?5π 14? -3/46-

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2. LES TECHNIQUESCHAPITRE 19. POLYNÔMES

Exercice 19.43Factoriser surCle polynômeP= (X+ 1)n-e2inaoùa?R,en déduire n-1? k=0 sin? a+kπn?

Que vaut

n-1? k=0 sin?kπn? ? Déterminer, par passage à la limite, le produit n-1? k=1 sin?kπn?

Exercice 19.44SoitP?C[X],on suppose que?x?R,P(x)?R. Montrer que les coefficients dePsont tous réels.

Exercice 19.45SoitPun polynôme tel queP(X) =P(1-X),montrer quePpeut s"écrire comme un polynôme

enX(1-X).

Exercice 19.46SoitPun polynôme de degré3ayant au moins deux racines distinctesαetβ,montrer queP?

2?

0(Alors que d"après le théorème de Rolle, il existec?]α,β[tel queP

?(c) = 0,cela prouve quecn"est jamais le milieu du segment).

Exercice 19.47SoitP(X)un polynôme de degré3à coefficients réels ayant trois racines réellesα,βetγ.Montrer

que la tangente en

2au graphe dePenOxcoupe l"axe en la troisième racineγ. On pourra utiliser l"exercie

19.46.

Plus technique : Que dire siPa une seule racine?.En déduire la propriété suivante pour les polynômes de degré3:

SoitPde degré3,si(u,v)?R

2,on définitAetBde coordonnées(u,P(u))et(v,P(v))dans le repère canonique

deR

2. Montrer que la corde(AB)et la tangente au graphe dePau point d"abscisseu+v2se coupent en un point du

graphe deP.

Exercice 19.48SoitPde degré4tel que ses racines forment une suite arithmétique, montrezque les racines deP?

forment aussi une suite arithmétique. Exercice 19.49SoitP(X) =X3-aX2+bX-c,déterminer une CNS pour que ses racines dansCsoient en progression arithmétique. Exercice 19.50Déterminer tous les polynômesPtels que P ?X

2?=X2?X2+ 1?P(X)

P(2) = 12

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CHAPITRE 19. POLYNÔMES2. LES TECHNIQUES

Exercice 19.51SoitP= 2X3-6X2+7X+λoùλ?C. Déterminerλpour que2des racines soient inverses l"une

de l"autre. Quelles sont alors les racines deP?

Exercice 19.52SoitP=X3+aX2+bX+c,on noteα,β,γses racines. Déterminer le polynômeQunitaire ayant

pour racinesα

2,β2,γ2. Montrer queP(X)diviseQ?X2?. Retrouver alorsQ(X).

Exercice 19.53Le but de cet exercice est de présenter sur les poynômes de degré4la méthode Laguerre pour la

localisation des racines.

On considère donc un polynôme unitaireP=X

4+aX3+bX2+cX+ddont on suppose qu"il admet4racines réelles

notéesα,β,γetδ.

1. Justifier que

a

2-2b-α2=β2+γ2+δ2

2. Soit-→u=(

)et-→v=( (1 1 1) ),justifier que -→u·-→v) en déduire que

3. Conclure que les racines dePsont dans l"intervalle

I=? -a-⎷

9a2-24b

4,-a+⎷

9a2-24b

4?

En particulier le réel9a

2-24best positif ou nul.

Exercice 19.54 (Olympiade de Norvége 2007)Déterminerm >0tel que le polynômeP(X) =X4-(3m+ 2)X2+

m

2ait quatre racines en progression arithmétique.

Exercice 19.55SoitP=X3+X+ 1etQle polynôme de degré3tel queQ(0) =-1et dont les racines sont les cubes des racines deP.CalculerQ(-1). Exercice 19.56Soit le polynômeP(X) =X3-4X2+ 6X-4.

1. Déterminer les racines dePsachant que le produit de deux d"entre elles est égal à la troisième.

2. Résoudre le système

?(x-1) + (y-1) + (z-1) = 1 x(x-1) +y(y-1) +z(z-1) = 0 x

2(x-1) +y2(y-1) +z2(z-1) = 0

Exercice 19.57Soientaetbdeux complexes, pourn≥2,on considère le polynômeP(X) =Xn+aX-b. Montrer quePadmet une racine double si et seulement si?a n? n+?bn-1? n-1 = 0. Quelle condition retrouve-t-on sin= 2 ?Quelle condition retrouve-t-on sin= 3et siP(X) =X

3+pX+q?

Exercice 19.58SoitP?R[X]tel queP(0) = 0etP?X2+ 1?=P(X)2+1. On définit la suite(un)n?Nparu0= 0 etu n+1=u2 n+ 1. Montrer que?n?N,P(un) =un. En déduireP. Exercice 19.59 (Mines-Ponts PSI 2008)Trouver uneCNSsur(p,q)?C2pour que les trois racinesa,betcdu polynômesX

3+pX+qvérifienta2+b2= 1 +c2.

Exercice 19.60 (Mines-Ponts PSI 2008)SoitP=X3+aX2+bX+c?C[X],trouver uneCNSsur(a,b,c) pour que le carré de l"une des racines soit égal au produit desdeux autres. -5/46-

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3. LES EXOTIQUESCHAPITRE 19. POLYNÔMES

Exercice 19.61SoitPun polynôme à coefficients complexes,P(x) =anxn+···+a0, montrer qu"il existe un complexe

z Indication : Rendre unitaireP(x)en écrivantP(x) an=xn+bn-1xn-1+···+b0et considérerQ(x) =P(x)an-b0-b0 |b0| sia

0?= 0, que dire du produit des racines deQ?

Exercice 19.62 (Centrale 2008)1. SoitP(X)?R[X],P(X)?=X. Montrer queP(X)-XdiviseP◦P(X)-X (Le polynômeP◦P(X)est par définition le polynômeP(P(X))).

2. Trouver une racine de l"équation?z

2-3z-5?2-3z2+ 8z+ 10 = 0.

Exercice 19.63On considère l"applicationTdéfinie surR[X]par

T(P) = 3XP+X

2P?-X3P??

1. Montrer queT? L(R[X]).

2. Déterminer le degré deT(P)en fonction deP.

3. L"endomorphismeTest-il injectif? surjectif?

3Les exotiques

Exercice 19.64SoitP?R[X]unitaire. Montrer quePest scindé dansR[X]si, et seulement si : ?z?C,|P(z)| ≥ |Im(z)| degP Exercice 19.65SoitP?C[X]non nul vérifiantP?X2?=P(X)P(X-1)

1. Montrer quePn"a pas de racine réelle.

2. Déterminer tous les polynômesP?C[X],tels queP?X

2?=P(X)P(X-1)

Exercice 19.66Soient(a,b)?R2etP=X4-4X3-4X2+aX+b.Déterminer la valeur maximale dea+b sachant quePa deux racines réelles positivesx

1etx2telles quex1+x2= 2x1x2(on pourra utiliser une calculatrice

ou Maple).

Exercice 19.67Soitaun réel positif etP=X3-aX2+aX-a,on noteα,βetγles racines deP, déterminer la

valeur minimale deα

3+β3+γ3-3αβγ. Que vaut alorsP?

Exercice 19.68SoitA=?a?R,P(X) = (1 + 2i)X3+ 2(3-i)X2+ (5-4i)X+ 2a2a au moins une racine réelle?, calculerS=? a?S a2.

4Les olympiques

Exercice 19.69Déterminern≥2pour queP= (X-1)n-(Xn-1)ait une racine multiple dansC.

Exercice 19.70(Olympiades Bulgares d"hiver 1995 )

Soitmun réel tel que les racines,x

1etx2du polynômeP=x2+ (m-4)x+m2-3m+ 3soient réelles.

Déterminermpour quex

2 1+x2 2= 6.

Exercice 19.71(Olympiades des USA1975) SoitPun polynôme de degréntel que?k? {0,...,n}P(k) =kk+ 1.

DéterminerP(n+ 1)

Exercice 19.72( Concours Roumain (1998) équivalent au concours général enFrance) Les coefficientsm,petqsont réels. Pouvez-vous montrer que le polynôme suivant :x

4+mx3+ (m2+ 1)x2+px+q

ne peut pas avoir quatre racines réelles? -6/46-

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CHAPITRE 19. POLYNÔMES5. LE GRENIER

Exercice 19.73SoientPetQdeux polynômes à coefficients entiers. On suppose qu"il existe un entieravérifiant

P(a) =P(a+ 1999) = 0,et queQ(1998) = 2000.Montrer que l"équationQ(P(x)) = 1n"a pas de solution dansZ.

Exercice 19.74SoitP(X) =X3-X2-4X-1eta,bdeux racines deP.Montrer que ou bien1 +a+ab= 0, ou bien1 +b+ab= 0.

Exercice 19.75 (A faire avec Maple)SoitPde degrén+ 3tel que ses racines forment une suite arithmétique,

montrez qu"il en est de même de la dérivée énièmeP (n)(on pourra utiliser l"exercice 19.48 et faire quelques essais avec Maple ou une calculateur formel). Exercice 19.76Trouvera?Rpour que le polynômeP= (1-a)x3+ (2 +a)x2+ (a-1)x+ 7-aadmette une racine complexe de module1.Trouver les autres racines.

Exercice 19.77Soienta1,a2,a3,b1,b2,b3six réels deux à deux distincts. On considère le tableau (la matrice) sui-

vant(e)( (a

1+b1a1+b2a1+b3

a2+b1a2+b2a2+b3 a3+b1a3+b2a3+b3

On suppose que le produit des éléments de chaque colonne est égal à2003.Que dire du produit des éléments de chaque

ligne? Par exemple voici un tel tableau où l"on a remplacé2003par24: a

1= 1,a2= 6,a3=-1,b1= 2,b2=-5,b3=-3

(3-4-2 8 1 3

1-6-4)

Exercice 19.78Déterminer les polynômesPtels que

P(cost) +P(sint) = 1

Exercice 19.79SoitPde degréntel que pouri? {1,···,n+ 1}on aitP(i) =1i. DéterminerP(0).

Exercice 19.80Déterminer les polynômes deC[X]tels queP?X2-X+ 1?=P(X)P(X+ 1).

5Le grenier

Exercice 19.81FactoriserP= 36X3-12X2-5X+1sachant que l"une des racines est la somme des deux autres. Exercice 19.82SoitP(X) =Xn-1,factoriserP(X).En calculantP?(1)déduire la valeur du produit n? k=1 sin?kπn? (on pourra passer au module). SoitA

0A1···An-1un polygône régulier inscrit dans le cercle unité, que vautA0A1×A0A2×···×A0An-1le produit

des distances d"un sommet aun-1autres?

Exercice 19.83Déterminer les polynômesPnon nuls et non constants tels queP(nx) =P?(x)P??(x)P(3)(x)···P(n)(x).

Exercice 19.84(Olympiades d"Espagne 2000) SoitP=X4+aX3+bX2+cX+1etQ=X4+cX3+bX2+aX+1

aveca?=c.Déterminer une CNS pour quePetQaient deux racines communes. Déterminer alors toutes les racines

dePet deQ.

Indic :P-Q=···.

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5. LE GRENIERCHAPITRE 19. POLYNÔMES

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Chapitre 8

POLYNÔMES

Solution des exercices

1Les basiques

Exercice 8.1On écrit que

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