[PDF] Étude dune suite n ? 2. Calculer les valeurs

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Étude d'une suite

On considère la suite un définie par u0 = 0 et un1=1 2-un.

1. En utilisant une calculatrice et en donnant, le cas échéant, des valeurs approchées à 10-3 près,

compléter le tableau suivant : n012345678910 un0 Quelles conjectures peut-on faire sur le sens de variation et la limite de la suite un ?

2. Calculer les valeurs exactes de u1, u2, u3, u4. Quelle conjecture peut-on faire sur une expression

de un en fonction de n ? Démontrer cette conjecture par récurrence.

3. En utilisant le résultat précédent, démontrer que la suite un est croissante et que sa limite est 1.

4. On se propose ici de retrouver l'expression de un en fonction de n par une autre méthode.

On considère la suite vn définie par vn=2un

1-un. a) Calculer v0, v1, v2, v3, v4. Quelle conjecture peut-on faire sur la nature de la suite vn ?

b) Démontrer la conjecture précédente, en déduire une expression de vn en fonction de n, puis une

expression de un en fonction de n.

Étude d'une suite

On considère la suite un définie par u0 = 0 et un1=1 2-un.

1) En utilisant une calculatrice et en donnant, le cas échéant, des valeurs approchées à 10-3 près,

compléter le tableau suivant : n012345678910

Une manière simple de calculer les différents termes d'une suite définie par récurrence consiste

à inscrire u0, à valider par Entrée, puis à inscrire la formule donnant un+1 en remplaçant un par

ANS ou REP (la touche qui donne le résultat du calcul précédent). Chaque appui sur Entrée

donne alors le terme suivant. Quelles conjectures peut-on faire sur le sens de variation et la limite de la suite un ? Le tableau de valeur laisse penser que la suite un est croissante et que sa limite est 1.

2) Calculer les valeurs exactes de u1, u2, u3, u4. Quelle conjecture peut-on faire sur une expression

de un en fonction de n ? Démontrer cette conjecture par récurrence. On obtient les résultats u1=1/2, u2=2/3, u3=3/4, u4=4/5. Ceci laisse penser que pour tout entier naturel n, un=n n1. Démontrons cette propriété par récurrence. - pour n=0, on a u0=0=0

0+1, la propriété est vérifiée.

- supposons que un=n n1 et démontrons que un1=n1 n2. un+1=1

2-un=1

2-n n+1=1 n+2 n+1=n+1 n+2 Nous pouvons en conclure que pour tout entier naturel n, un=n n1.

3) En utilisant le résultat précédent, démontrer que la suite un est croissante et que sa limite est 1.

Pour montrer que la suite un est croissante, calculons un+1 - un : un+1-un=n+1 n+2-n n+1=1 (n+1)(n+2). Comme 1, n+1 et n+2 sont strictement positifs, un+1-un>0 et la suite un est croissante. Note : on aurait aussi pu étudier le sens de variation de la fonction f définie par fx=x x1 sur [0;+ [. Pour trouver la limite de un, remarquons que un=n n+1=n n(1+1 n) =1 1+1

nLe numérateur est égal à 1 et le dénominateur tend vers 1, on en déduit que la limite de un est 1.

4) On se propose ici de retrouver l'expression de un en fonction de n par une autre méthode.

On considère la suite vn définie par vn=2un

1-un. a) Calculer v0, v1, v2, v3, v4. Quelle conjecture peut-on faire sur la nature de la suite vn ? En utilisant les résultats de la question 2) on trouve v0=0, v1=2, v2=4, v3=6, v4=8. Cela laisse penser que la suite vn est arithmétique de premier terme 0 et de raison 2.

b) Démontrer la conjecture précédente, en déduire une expression de vn en fonction de n, puis une

expression de un en fonction de n.

Calculons vn+1 - vn .

Tout d'abord, vn+1=2un+1

1-un+1=21

2-un 1-1

2-un=2

1-un.

Alors vn+1-vn=2

1-un-2un

1-un=2(1-un)

1-un=2.

La suite vn est donc bien une suite arithmétique de raison 2. On en déduit que vn=2n. De vn=2un

1-un on déduit que vn(1-un)=2un, soit vn=un(vn+2) et donc un=vn

vn+2Et comme vn=2n, un=2n

2n+2=n

n+1.quotesdbs_dbs29.pdfusesText_35

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