Correction du devoir surveillé n 4 PDF

S Asie juin 2017

Conjecturer l'expression de (vn) en fonction de n. 2.b. Démontrer cette conjecture. 3. Déterminer la limite de la suite (un) . Copyright

Spécialité Métropole candidat libre 2

À l'aide de ces valeurs conjecturer l'expression de. 4 un en fonction de n. Le but de cet exercice est de démontrer cette conjecture (question 5.)

Étude dune suite

n ? 2. Calculer les valeurs exactes de u. 1. u. 2.

Devoir surveillé n 1 EXERCICE 1 (45 points) Soit la suite (un)n?N

(a) Conjecturer la nature de la suite (vn)n?N. (b) Démontrer cette conjecture et en déduire l'expres- sion de vn en fonction de n. (c)

Suite géométrique - Premi`ere S ES STI - Exercices Corrigés en

b) La suite v semble-t-elle arithmétique ? Géométrique ? c) Démontrer votre conjecture. d) Exprimer vn en fonction de n. En déduire l'expression de un en

Feuille dexercices n 2

Calculer les premiers termes des suites suivantes conjecturer quant au terme (2) En déduire l'expression de vn en fonction de n

Correction du devoir surveillé n 4

16/12/2011 a) Pour tout nombre entier naturel n calculer vn+1 en fonction de vn. ... b) Conjecturer l'expression de wn en fonction de n.

TS1-TS2 : contrôle commun no 1 (3 heures)

Calculer les cinq premiers termes de la suite v puis conjecturer l'expression de vn en fonction de n. 2. Démontrer par récurrence la conjecture précédente.

Raisonnement par récurrence. Limite dune suite

11/07/2021 2) Que peut-on faire comme conjecture sur l'expression de un en fonction de n? ... Montrer par récurrence que : ?n ? N 3 ? vn ? 10.

On considère la suite récurrente ( un ) de premier terme u1 = 0 et

b. Conjecturer l'expression explicite du terme vn en fonction du rang n. 3. a. Démontrer la conjecture émise à la question.

[PDF] S Asie juin 2017 - Meilleur En Maths

Conjecturer l'expression de (vn) en fonction de n 2 b Démontrer cette conjecture 3 Déterminer la limite de la suite (un) Copyright

[PDF] ESD2019_3c02 Conjecture et démonstration

Conjecturer une expression de un en fonction de n et démontrer cette conjecture B Les réponses de deux élèves de terminale scientifique Elève 1

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(a) Conjecturer la nature de la suite (vn)n?N (b) Démontrer cette conjecture et en déduire l'expres- sion de vn en fonction de n (c)

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Quelle conjecture peut-on faire sur une expression de u n en fonction de n ? de n par une autre méthode On considère la suite v n définie par vn=

[PDF] SUITES ARITHMETIQUES ET SUITES GEOMETRIQUES

1) Déterminer la raison et le premier terme de la suite (un) 2) Exprimer un en fonction de n 1) Les termes de la suite sont de la forme u n

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Calculer les cinq premiers termes de la suite v puis conjecturer l'expression de vn en fonction de n 2 Démontrer par récurrence la conjecture précédente

[PDF] SUITES NUMERIQUES

Exprimer vn en fonction de n En déduire une expression de un en fonction de n 3 Soit N un entier Exprimer en fonction de N la somme SN = u0

Conjecturer lexpression de la suite Un en fonction de n - YouTube

13 fév 2017 · Comment Booster Tes Notes dès le prochain DS ? ? Suis ce lien c'est cadeau : https://www Durée : 14:36Postée : 13 fév 2017

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Calculer les premiers termes des suites suivantes conjecturer quant au terme (2) En déduire l'expression de vn en fonction de n puis celle de un

[PDF] EXERCICES — CHAPITRE 9 - Fontaine Maths

(a) Calculer les six premiers termes de la suite (b) Que peut-on conjecturer quant au sens de variation de la suite (vn)n?N ? Exercice 4 (

Classe de TS216 d´ecembre 2011

Correction du devoir surveill´e n

Exercice 12 points

Pr´erequis : d´efinition d"une suite tendant vers plus l"infini. une suite tend vers+∞si, pour tout r´eel A, tous les termes de la suite sont, `a partir d"un certain rang, sup´erieurs `a A D´emontrer le th´eor`eme suivant : une suite croissante non major´ee tend vers +∞.

Voir le cours.

Exercice 28 points

Les deux questions de cet exercice sont ind´ependantes.

1.On consid`ere la suite (un) d´efinie par :

0= 1 et, pour tout nombre entier natureln, un+1=1

3un+ 4.

On pose, pour tout nombre entier natureln, vn=un-6. a) Pour tout nombre entier natureln, calculervn+1en fonction devn. Quelle est la nature de la suite (vn)?

Soitn?0, nous avons

v n+1=un+1-6 1

3un+ 4-6

1 3un-2 1

3un-13×6

3(un-6)

1 3vn. Par cons´equent, pour tout entiern?0, nous avonsvn+1=1

3vn. Ceci implique que la suite

vest g´eom´etrique de raison1 3. b) D´emontrer que pour tout nombre entier natureln,un=-5?1 3? n + 6.

La suitevest g´eom´etrique de raison1

3et de premier termev0=u0-6 = 1-6 =-5. Donc

pour tout entiern?0, on avn=v0×qn=-5×?1 3? n . De plus, la relationvn=un-6 page 1/ 5 impliqueun=vn+ 6 et nous obtenons donc l"´egalit´eun=-5×?13? n + 6 pour tout n?0. c)

´Etudier la convergence de la suite (un).

On a lim

n→+∞(1

3)n= 0 car-1<13<1 , donc par produit limn→+∞-5(13)n= 0; enfin par

somme, nous trouvons lim n→+∞-5×?1 3? n + 6 = 0. Ceci revient `a dire que lim n→+∞un= 6.

2.On consid`ere la suite (wn) dont les termes v´erifient, pour tout nombre entiern?1 :

nw n= (n+ 1)wn-1+ 1 etw0= 1. Le tableau suivant donne les dix premiers termes de cette suite. w0w1w2w3w4w5w6w7w8w9

135791113151719

a) D´etailler le calcul permettant d"obtenirw10. La relation qui d´efinit la suitewimplique 10w10= 11w9+ 1. On aw9= 19 d"apr`es le tableau ci-dessus.

Ainsi, 11w9+ 1 = 11×19 + 1 = 210 et doncw9=210

10= 21.

b) Conjecturer l"expression dewnen fonction den. D´emontrer par r´ecurrence cette conjec- ture. En utilisant le tableau, nous pouvons conjecturerwn= 1 + 2npour tout entiern?0. On pose pourn?0,P(n) =?wn= 1 + 2n?. Montrons queP(n) est vraie pour tout entier natureln.

Initialisation : Montrons queP(0) est vraie.

On aw0= 1 d"apr`es le tableau, donc nous avons bienw0= 1 + 2×0. Ainsi,P(0) est vraie. H´er´edit´e : On suppose que pour un certain entierk,P(k) est vraie i.e.wk= 1 + 2ket nous voulons montrer queP(k+ 1) est vraie i.e.wk+1= 1 + 2(k+ 1) = 3 + 2k. On awk= 1+2ket (k+1)wk+1= (k+2)wk+1 donc (k+1)wk+1= (k+2)(1+2k)+1. Ce qui donne (k+ 1)wk+1= 2k2+ 5k+ 3. Si on consid`ere le polynˆome du second degr´e f:x?-→2x2+ 5x+ 3, on calcule Δ et on trouve deux racines distinctes-1 et-1,5. On en d´eduit la factorisation pour tout r´eelx, 2x2+ 5x= 3 = 2(x+ 1)(x+ 1,5) ou encore

2x2+5x+3 = (x+1)(2x+3). Nous avons ainsi 2k2+5k+3 = (k+1)(2k+3). On obtient

finalement (k+1)wk+1= (k+1)(2k+3) et doncwk+1= 2k+3. Ainsi,P(k+1) est vraie. Donc par r´ecurrence, pour tout entiern?0,wn= 2n+ 1. c) En d´eduire la nature de la suite (wn) et calculerw2009. D"apr`es la question pr´ec´edente, nous avonswn= 1 + 2npour toutn?0; on obtient facilementwn+1-wn= 2 et ceci implique que la suitewest arithm´etique de raison 2.

On aw2009= 1 + 2×2009 = 1 + 4018 = 4019.

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Exercice 310 points

On consid`ere la fonctionfd´efinie sur ]- ∞; 6[ par f(x) =9 6-x On d´efinit pour tout entier naturelnla suite (un) par ?u0=-3 u n+1=f(un)

1.La courbe repr´esentative de la fonctionfest donn´ee sur la feuille jointe accompagn´ee de celle

de la droite d"´equationy=x. Construire, sur cette feuille annexe les pointsM0(u0; 0), M1(u1; 0), M2(u2; 0), M

etM4(u4; 0). Quelles conjectures peut-on formuler en ce qui concerne le sens de variation et la convergence

´eventuelle de la suite (un)?

On peut conjecturer que la suiteuest croissante et converge vers 3.

2.a) D´emontrer que six <3 alors9

6-x<3.

On ax <3; en multipliant par-1 nous obtenons-x >-3 et par somme 6-x >3.

Il suffit maintenant de prendre l"inverse

6-x<13et de multiplier par 9 pour obtenir

l"in´egalit´e souhait´ee.

En d´eduire queun<3 pour tout entier natureln.

On poseP(n) =?un<3?et montrons que pour tout entier natureln,P(n) est vraie. Initialisation : Commeu0=-3, nous avons bienu0<3 et ainsiP(0) est vraie. H´er´edit´e : On suppose que pour un certain entierk,P(k) est vraie i.e.uk<3 et nous voulons montrer queP(k+ 1) est vraie i.e.uk+1<3. Nous avonsuk<3, donc d"apr`es la question pr´ec´edente9

6-uk<3 et ceci est ´equivalent

`auk+1<3. Par cons´equent,P(k+ 1) est vraie. donc par r´ecurrence, pour tout entier natureln,un<3. b) ´Etudier le sens de variation de la suite (un). M´ethode 1 : Apr`es avoir remarqu´e que la fonctionf:x?-→9

6-xest strictement croissante

sur ]- ∞;3] (il suffit de d´eriverf) on peut prouver par r´ecurrence, que pour tout entier

natureln,un?un+1<3 et cela implique que la suiteuest croissante.

M´ethode 2 : On a la relation ci-dessous :

u n+1-un=9

6-un-un=9-6un+u2n6-un=(un-3)26-un.

Commeun<3 on en d´eduit 6-un>0 et doncun+1-un?0 pour tout entiern. La suiteuest donc croissante. c) Que peut-on d´eduire des questions 2. a. et 2. b.? Les questions 2 a) et 2 b) impliquent que la suiteuest croissante et major´ee. On peut donc en d´eduire que la suiteuest convergente.

3.On consid`ere la suite (vn) d´efinie parvn=1

un-3pour tout entier natureln. page 3/ 5 a) D´emontrer que la suite (vn) est une suite arithm´etique de raison-13.

Soit un entier natureln,

v n+1-vn=1 un+1-3-1un-3 1 9

6-un-3-1un-3

6-un

9-3(6-un)-1un-3