[PDF] Nouvelle Calédonie mars 2019 On considère la suite (





Previous PDF Next PDF



Étude dune suite

Chaque appui sur Entrée donne alors le terme suivant. Quelles conjectures peut-on faire sur le sens de variation et la limite de la suite u n ?



Suite et conjecture de Syracuse Algorithme

7 nov. 2015 Suite et conjecture de Syracuse. Algorithme. 1 Définition. La suite de Syracuse est définie de la façon suivante : on choisit un entier ...



La suite de Syracuse un monde de conjectures

22 avr. 2021 Conjecture de non divergence ((no) divergent trajectories conjecture) : Toutes les suites de Collatz sont bornées. Cette dernière conjecture est ...



ESD2019_3c02. Conjecture et démonstration

Conjecturer une expression de un en fonction de n et démontrer cette conjecture. L'exercice réinvestit la notion de « somme des termes d'une suite ...



Conjectures sur les suites à laide dun tableur

Utilisation d'un tableur (EXCEL) pour établir des conjectures sur les suites. Activité 1. Le but de cette activité est d'établir une formule explicite 



Nouvelle Calédonie mars 2019

On considère la suite (un) à valeurs réelles définie par u0=1 et pour tout entier naturel n



Conjecture de SYRACUSE: avancées inédites

15 sept. 2020 Cette conjecture est l'hypothèse mathématique selon laquelle la suite de Syracuse de n'importe quel entier strictement positif atteint 1.



Amérique du Sud-novembre-2014.

Conjecturer le sens de variation et la convergence de la suite (un) . Partie B : Validation des conjectures. On considère la suite numérique (vn) définie pour 



LES SUITES NUMERIQUES

( la table de la calculatrice permet de conjecturer le sens de variation d'une suite). Méthode 1 : (la plus utilisée). On calcule la différence en fonction.



suite-de-syracuse-2.pdf

Ecrire un programme permettant de conjecturer le comportement de la suite pour d'une conjecture appelée conjecture de Syracuse ou conjecture de Collatz.



[PDF] Les suites - Partie I : Raisonnement par récurrence

Cette conjecture fera l'objet d'une étude plus précise dans la suite de ce chapitre lorsque nous étudierons la notion de limite d'une suite > Solution n°10 ( 



[PDF] ESD2019_3c02 Conjecture et démonstration

Conjecturer une expression de un en fonction de n et démontrer cette conjecture L'exercice réinvestit la notion de « somme des termes d'une suite 



[PDF] Etude de limites de suites définies par récurrence - Parfenoff org

Une suite définie par récurrence est une suite définie par son premier terme Nous pouvons conjecturer graphiquement sur la convergence de la suite



[PDF] Première S - Comportement dune suite Problèmes - Parfenoff org

Conjecturez le sens de variation de la suite 3 Justifier que si appartient à ]0 ; 1[ alors appartient aussi à cet intervalle 4 Prouver la conjecture faite 



[PDF] LES SUITES

En calculant les premiers termes de la suite on peut donc émettre une conjecture quant à la forme du terme général un On a : u1 = 1 ; u2 = 3 ; u3 = 7



[PDF] Étude dune suite - Labomath

Quelles conjectures peut-on faire sur le sens de variation et la limite de la suite u n ? 2 Calculer les valeurs exactes de u



[PDF] Raisonnement par récurrence Limite dune suite - Lycée dAdultes

11 juil 2021 · 3) Démontrer cette conjecture par récurrence et donner la valeur exacte de u2021 EXERCICE 3 Soit la suite (un) définie pour n ? 1 par 



[PDF] SUITES ARITHMETIQUES ET SUITES GEOMETRIQUES

1) Déterminer la raison et le premier terme de la suite (un) 2) Exprimer un en fonction de n 1) Les termes de la suite sont de la forme u n 



[PDF] GÉNÉRALITÉS SUR LES SUITES - maths et tiques

On peut conjecturer que cette suite est croissante pour n ? 3 Définitions : Soit un entier p et une suite numérique (un) - La suite (un) est croissante à 



[PDF] [PDF] Suites - Exo7 - Cours de mathématiques

Une suite est une application u : ? • Pour n ? on note u(n) par un et on l'appelle n-ème terme ou terme général de la suite La suite est notée u 

  • Comment faire la conjecture d'une suite ?

    On peut conjecturer que la limite de la suite u est 1 : Soit l'intervalle I = ] 1 - a ; 1 + a [, où a est un réel strictement positif quelconque, pour démontrer que la limite est 1, on doit démontrer que, à partir d'un certain rang, tous les termes de la suite sont dans cet intervalle.

  • Comment étudier le comportement d'une suite ?

    Définitions : • La suite u est croissante si, pour tout n, un+1 ? un. La suite u est décroissante si, pour tout n, un+1 ? un. La suite u est constante si, pour tout n, un+1 = un. Une suite est monotone si elle est soit croissante, soit décroissante, soit constante.

  • Comment conjecturer la limite d'une suite à la calculatrice ?

    Méthode : Pour la limite en + ? : afficher un tableau de valeurs en prenant des abscisses de plus en plus grandes et conjecturer sur la limite dans la colonne des ordonnées (sens de lecture du haut vers le bas). f (x) = ? ?. La lecture du graphique conduit à la même conjecture.
  • Démontrer que la suite (un) est croissante à partir d'un certain rang. n+1 ? u n ? 0 pour 2n ? 3? 0 donc pour n ?1,5. n+1 ? u n ? 0 . On en déduit qu'à partir du rang 2, la suite (un) est croissante.
Nouvelle Calédonie mars 2019

Nouvelle Calédonie mars 2019

EXERCICE 4 Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité 5 points

On considère la suite (un) à valeurs réelles définie par u0=1 et, pour tout entier naturel n,

un+1=nn un+8.

Partie A : Conjectures

Les premières valeurs de la suite (un) ont été calculées à l'aide d'un tableur dont voici une capture d'écran :

1. Quelle formule peut-on entrer dans la cellule B3 et copier vers le bas pour obtenir les valeurs des premiers

termes de la suite (un) ?

2. Quelle conjecture peut-on faire sur les variations de la suite (un) ?

3. Quelle conjecture peut-on faire sur la limite de la suite (un) ?

4. Écrire un algorithme calculant u30.

Partie B : Étude générale

1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n,

un>0.

2. Étudier les variations de la suite (un).

3. La suite

(un) est-elle convergente ? Justifier. Partie C : Recherche d'une expression du terme général

On définit la suite

(vn) en posant, pour tout entier naturel n, vn=1+7 un.

1. Démontrer que la suite (vn) est une suite géométrique de raison 8 dont on déterminera le premier terme.

2. Justifier que, pour tout entier naturel n,

un=7

8n+1-1.

3. Déterminer la limite de la suite (un).

4. On cherche dans cette question le plus petit entier naturel

n0 tel que, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à n0, un<10-18. Justifier l'existence d'un tel entier n0 et déterminer sa valeur.

Nouvelle Calédonie mars 2019

CORRECTION

Partie A : Conjectures

1. On entre dans la cellule B3 la formule : =B2/(B2+8)

2. Conjecture : la suite (un) est décroissante.

3. Conjecture : la suite (un) converge vers 0.

4. Algorithme proposé :

N←0

U←1 V←0

Tant que N<30, faire

N←N+1 V←U+8

U←U

V

Fin Tant que

Afficher : U

Programmation en python

Exécution du programme

Remarque :

On obtient le même résultat en utilisant le tableur d' OPEN OFFICE.

Partie B : Étude générale

1. On veut démontrer, en utilisant un raisonnement par récurrence, que pour tout entier naturel n,

un>0.

Initialisation :

u0=1>0 donc la propriété est vérifiée pour n=0.

Hérédité

Pour démontrer que la propriété est héréditaire pour tout entier naturel n, on suppose que

un>0 et on doit démontrer que un+1>0. un+1=un un+8 or un>0 donc un+8>0 et un+1>0.

Conclusion

Le principe de récurrence nous permet d'affirmer que pour tout entier naturel n, un>0.

2. Pour tout entier naturel n :

un+1-un=un un+8-un=un-un2-8un un+8=-un2-7un un+8

Nouvelle Calédonie mars 2019

On a un+8>0 et -un

2-7un<0.

Pour tout entier naturel n,

un+1-un<0, la suite (un) est strictement décroissante.

3. Pour tout entier naturel n,

un>0 donc la suite (un) est minorée par .

La suite

(un) est décroissante et minorée par 0 donc la suite (un) est convergente.

Remarque :

Dans cette question on ne connaît pas la limite de la suite (un). Partie C : Recherche d'une expression du terme général

Pour tout entier naturel n,

vn=1+7 un.

1. Pour tout entier naturel :

vn+1=1+7 un+1=1+7×un+8 un=1+7+7×8 un=8 (1+7 un)=8vn (vn) est la suite géométrique de premier terme v0=1+7 u0=1+7

1=8 et de raison q=8.

2. Pour tout entier naturel n :

vn=v0×qn=8×8n=8n+1. vn=1+7 un =un+7 un ⇔ un×un=un+7 ⇔ un(vn-1)=7 ⇔ un=7 vn-1=7

8n+1-1 ( on a

8n+1>8 donc 8n+1-1>0)

3. 8 >1 donc

limn→+∞

8n=+∞ conséquence : limn→+∞

8n+1-1=+∞ et limn→+∞7

8n+1-1=0

Conclusion

limn→+∞ un=04. un<10-18 ⇔ 7

8n+1-1<10-18 7×1018<8n+1-1 ⇔ 7×1018+1<8n+1 ln est une fonction strictement croissante sur

]0;+∞[ ⇔ ln(7×1018+1)<(n+1)ln(8n+1) ⇔ ln(7×1018+1)<(n+1)ln(8) 8>1 donc ln(8)>ln(1)=0 ⇔ ln(7×1018+1) ln(8)En utilisant la calculatrice ⇔ 20,8721⩽n+1 ⇔ 20⩽n

Conclusion

n0=20

. On peut trouver ce résultat en utilisant un tableur, on obtient (en ne conservant que 5 chiffres significatifs)

u19=6,0715E-18 u20=7,5894E-19 . On peut utiliser ce résultat en utilisant un programme python.

Programme

Nouvelle Calédonie mars 2019

Exécution

Remarque

Si on considère l'inéquation un⩽10-100. En utilisant un tableur ou un programme python, on obtient n0=111 et u111=5,0005E-111. Mais avec un calculatrice élémentaire, on ne peut pas effectuer le calcul ln(7×10-100-1) ln(8).

Si on résout l'inéquation

un⩽10-100 alors on obtient 7×10100⩽8n+1-1

Les deux membres sont des entiers donc

⇔ 7×10100<8n+1 ⇔ ln(7×10100)