Étude dune suite
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On considère la suite (un) à valeurs réelles définie par u0=1 et pour tout entier naturel n
Conjecture de SYRACUSE: avancées inédites
15 sept. 2020 Cette conjecture est l'hypothèse mathématique selon laquelle la suite de Syracuse de n'importe quel entier strictement positif atteint 1.
Amérique du Sud-novembre-2014.
Conjecturer le sens de variation et la convergence de la suite (un) . Partie B : Validation des conjectures. On considère la suite numérique (vn) définie pour
LES SUITES NUMERIQUES
( la table de la calculatrice permet de conjecturer le sens de variation d'une suite). Méthode 1 : (la plus utilisée). On calcule la différence en fonction.
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Ecrire un programme permettant de conjecturer le comportement de la suite pour d'une conjecture appelée conjecture de Syracuse ou conjecture de Collatz.
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Cette conjecture fera l'objet d'une étude plus précise dans la suite de ce chapitre lorsque nous étudierons la notion de limite d'une suite > Solution n°10 (
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Une suite définie par récurrence est une suite définie par son premier terme Nous pouvons conjecturer graphiquement sur la convergence de la suite
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Conjecturez le sens de variation de la suite 3 Justifier que si appartient à ]0 ; 1[ alors appartient aussi à cet intervalle 4 Prouver la conjecture faite
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En calculant les premiers termes de la suite on peut donc émettre une conjecture quant à la forme du terme général un On a : u1 = 1 ; u2 = 3 ; u3 = 7
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11 juil 2021 · 3) Démontrer cette conjecture par récurrence et donner la valeur exacte de u2021 EXERCICE 3 Soit la suite (un) définie pour n ? 1 par
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1) Déterminer la raison et le premier terme de la suite (un) 2) Exprimer un en fonction de n 1) Les termes de la suite sont de la forme u n
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On peut conjecturer que cette suite est croissante pour n ? 3 Définitions : Soit un entier p et une suite numérique (un) - La suite (un) est croissante à
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Une suite est une application u : ? • Pour n ? on note u(n) par un et on l'appelle n-ème terme ou terme général de la suite La suite est notée u
Comment faire la conjecture d'une suite ?
On peut conjecturer que la limite de la suite u est 1 : Soit l'intervalle I = ] 1 - a ; 1 + a [, où a est un réel strictement positif quelconque, pour démontrer que la limite est 1, on doit démontrer que, à partir d'un certain rang, tous les termes de la suite sont dans cet intervalle.Comment étudier le comportement d'une suite ?
Définitions : • La suite u est croissante si, pour tout n, un+1 ? un. La suite u est décroissante si, pour tout n, un+1 ? un. La suite u est constante si, pour tout n, un+1 = un. Une suite est monotone si elle est soit croissante, soit décroissante, soit constante.Comment conjecturer la limite d'une suite à la calculatrice ?
Méthode : Pour la limite en + ? : afficher un tableau de valeurs en prenant des abscisses de plus en plus grandes et conjecturer sur la limite dans la colonne des ordonnées (sens de lecture du haut vers le bas). f (x) = ? ?. La lecture du graphique conduit à la même conjecture.- Démontrer que la suite (un) est croissante à partir d'un certain rang. n+1 ? u n ? 0 pour 2n ? 3? 0 donc pour n ?1,5. n+1 ? u n ? 0 . On en déduit qu'à partir du rang 2, la suite (un) est croissante.
Amérique du Sud-novembre-2014.
Exercice 35 points
On considère la suite numérique(un)définie surℕpar : u0=2 et pour tout entier naturel n, un+1=-1 2un2+3un-3
2Partie A : Conjectures
1. Calculer les valeurs exactes, données en fractions irréductibles de
u1etu2.2. Donner une valeur approchée à
10-5près des termesu3etu4.
3. Conjecturer le sens de variation et la convergence de la suite
(un).Partie B : Validation des conjectures
On considère la suite numérique
(vn)définie pour tout entier naturel n, par :vn=un-3.1. Montrer que, pour tout entier naturel n,vn+1=-1
2vn22. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, -1vn0.
3. a. Démontrer que, pour tout entier naturel n,vn+1-vn=-vn
(12vn+1).
b. En déduire le sens de variation de la suite(vn).4. Pourquoi peut-on alors affirmer que la suite(vn)converge ?
5. On notellimite de la suite(vn).
On admet que
lappartient à l'intervalle[-1;0]et vérifie l'égalitél=-12l2. Déterminer la valeur del.
6. Les conjectures faites dans la partie A sont-elles validées ?
Amérique du Sud-novembre-2014.
Correction :
Partie A : Conjectures
1. u1=-1
2×22+3×2-3
2=-2+6-3
2=52 u1=5
2 u2=-12×(5
2)2 +3×5 2-3 2=-25 8+15 2-3 2=238 u2=23
82. u3=-1
2× (23 8)2 +3×23 8-32=-529
128+69
8-32=-529
128+57
8=-529+912
128=383
128u3=383
128≃2,99219En utilisant la calculatrice, on obtient
u4≃2,99997.3. Conjectures :
(un)est une suite croissante (un)est une suite convergente (de limite 3)Partie B : Validations des conjectures
La suite
(vn)définie pour tout entier naturel n, par : vn=un-31. Pour tout entier naturel n :
vn+1=un+1-3=-1 2un2+3un-3
2-3=-1
2un2+3un-9
2=-1 2(un2-6un+9)
vn+1=-12(un-3)2=-1
2vn22. On veut démontrer en utilisant un raisonnement par récurrence que pour tout entier naturel n, on a :
-1 vn0.Initialisation
v0=u0-3=2-3=-1 donc -1v00La propriété est vérifiée pour n=0.
Hérédité
Pour démontrer que la propriété est héréditaire pour tout entier naturel n, on suppose que : -1vn0 et on doit
démontrer que : -1vn+10.La fonction carré est décroissante sur
]-∞;0].Si -1
vn0 alors 1vn20 et -12×1-1
2×vn
20
On obtient :-1
2vn+10
Conséquence : -1vn+10
Conclusion
Le principe de récurrence nous permet d'affirmer que pour tout entier naturel n, on a : -1 vn0Amérique du Sud-novembre-2014.
3. a. Pour tout entier naturel n
vn+1-vn=-12vn2-vn=-vn(1
2vn+1)b. -1
vn0 donc-vn0 et-12
12vn1
2×0=0
On a 1-1
21
2vn+11 et 01
21
2vn+1 conséquence Pour tout entier naturel n : vn+1-vn0 et la suite (vn)est croissante.4. La suite
(vn)est croissante et majoré par 0 donc la suite(vn)est convergente. 5. l=-12l2⇔1
Or, -1l0 donc l =0
6. Pour tout entier naturel n
vn=un-3⇔un=vn+3. (vn)est croissante donc vnvn+1 ⇔vn+3vn+1+3⇔unun+1 donc la suite(un)est une suite croissante. limn→+∞ vn=l=0 donclimn→+∞ un=3.Conclusion
Les conjectures de la partie A sont validées.
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