NOMBRES COMPLEXES (Partie 1)
Les nombres complexes prennent naissance au XVIème siècle Exemple d'application : ... On appelle nombre complexe conjugué de z le nombre
Forme trigonométrique dun nombre complexe. Applications Niveau
Exemple : z = 3 – 2i est un nombre complexe. Exemple : z = 3 – 2i ? 3 est la Ecrire les conjugués des nombres suivants sous forme algébrique. 1. -2 +3i.
Forme trigonométrique dun nombre complexe – Applications
4 Applications géométriques des nombres complexes Module et argument de l'opposé et du conjugué . ... Exemple : Soit z =.
NOMBRES COMPLEXES - Chamilo
Exemples. II. PROPRIETES ELEMENTAIRES - DEFINITIONS. 1. Nombre complexe nul Le conjugué d'un nombre complexe s'obtient en changeant le signe de sa ...
Nombres complexes
Exemple : On a 1?2i = 1+2i. Remarque : La quantité conjugué permet de voir. 1 z comme un nombre complexe lui aussi. Proposition
Conjugué dun nombre complexe - Un doc de Jérôme ONILLON
Corollaire : les seuls complexes qui sont leurs propres conjugués sont les nombres réels. En effet : ( ). Les seuls complexes dont la partie imaginaire est
Première STI 2D - Nombres complexes - Forme algébrique
Cette écriture est dite forme algébrique du nombre complexe. imaginaire pur (exemples 3 ou 5) ... a) Définition : Conjugué d'un nombre complexe.
Les nombres complexes
Affixe du conjugué d'un nombre complexe . Exemple : (a + ib)(a ? ib) = a2 ? iab + iab ? i2b2 = a2 ? (?1) b2 = a2 + b2.
Nombres complexes
19 sept. 2012 En effet on sait bien par exemple que tout nombre ... Soit z = a + ib un nombre complexe
5 Nombres Complexes
Exemple 2. ? 2+3i ? C La forme algébrique d'un nombre complexe est unique. ... Soit z = a + ib ? C. On note z le conjugué de z défini par :.
[PDF] Conjugué dun nombre complexe - La taverne de lIrlandais
Vestiges d'une terminale S - Conjugué d'un nombre complexe - Un doc de Jérôme ONILLON distribué par la taverne de l'Irlandais(www tanopah com) Page 1 sur 2
[PDF] NOMBRES COMPLEXES
Le conjugué du nombre complexe z se note z Si z = a+ bi on a z = a?bi Si z = a+ bi on vérifie facilement que z? z = a2 + b2 Par exemple : 3+ 5i
[PDF] NOMBRES COMPLEXES
Tous les nombres positifs ont une racine carrée par exemple 9 a pour racine 3 et –3 et 2 a pour On appelle conjugué de z le nombre complexe noté
[PDF] NOMBRES COMPLEXES (Partie 1) - maths et tiques
On appelle nombre complexe conjugué de z le nombre noté z égal à a ? ib Exemples : - z = 4 + 5i et z = 4 ? 5i - On peut également noter :
[PDF] NOMBRES COMPLEXES - Chamilo
Le conjugué d'un nombre complexe s'obtient en changeant le signe de sa partie imaginaire ce qui revient à changer j en -j Sous forme polaire on change
[PDF] Fiche 6 : Nombres complexes - Studyrama
II - Nombre complexe conjugué Soit z x iy = + un nombre complexe avec x et y réels Le conjugué de z est le nombre complexe z x iy = ? Exemple
[PDF] Nombres complexes
Définition 3 : On appelle conjugué de z le nombre noté z défini par z = a ?bi Exemple : On a 1?2i = 1+2i Remarque : La quantité conjugué permet de voir 1
[PDF] 1 Corps des nombres complexes
Le nombre complexe z = a ? bi est appelé le conjugué de z Propriétés de la conjugaison : Soit zz/ ? C ? ? R et n ? Z : z + z/ =
[PDF] Nombres complexes - Exo7 - Cours de mathématiques
Le conjugué de z = a +i b est ¯z = a ?i b autrement dit Re(¯z) = Re(z) et Im(¯z) = ?Im(z) Le point ¯z est le symétrique du point z par rapport à l'axe réel
[PDF] Nombres complexes (partie 1)
Définition 5 – Complexe conjugué Soit z = a +ib un nombre complexe On nomme conjugué de z et on note z le nombre complexe z = a ?ib Exemples :
Quel est le conjugué de z ?
La définition du conjugué de = + est = ? . Si est un nombre réel pur, on sait que = 0 . Ainsi, on conclut que si est un nombre réel, = .Comment trouver le conjugué ?
A partir de la forme algébrique d'un nombre complexe z=a+ib z = a + i b , le conjugué se calcule ¯¯¯z=a?ib z ¯ = a ? i b . En d'autres mots, pour trouver le conjugué d'un nombre complexe , prendre ce même nombre complexe mais avec l'opposé (signe moins) de sa partie imaginaire (contenant i ).Solutions complexes d'une équation de degré 2 - cours
1az²+ bz + c = 0 avec a?0.2On calcule le DISCRIMINANT b²-4ac, noté souvent ?, puis il suffit de regarder le signe de ? et de connaître le tableau suivant pour pouvoir conclure.3Note: ? est un réel car a, b et c sont réels.
![[PDF] NOMBRES COMPLEXES - Chamilo [PDF] NOMBRES COMPLEXES - Chamilo](https://pdfprof.com/Listes/17/43846-17chapcomplexes.pdf.pdf.jpg)
NOMBRES COMPLEXES
1NOMBRES
COMPLEXES
CoursNOMBRES COMPLEXES
2I. DEFINITIONS D"UN NOMBRE COMPLEXE
1. Forme algébrique
2. Représentation graphique
3. Forme polaire
4. Forme trigonométrique
5. Relations fondamentales entre les différentes définitions
6. Exemples
II. PROPRIETES ELEMENTAIRES - DEFINITIONS
1. Nombre complexe nul
2. Egalité de deux nombres complexes
3. Nombres complexes opposés
4. Nombres complexes conjugués
5. Propriétés importantes
III. OPERATIONS SUR LES NOMBRES COMPLEXES
1. Somme et différence de deux nombres complexes
2. Multiplication de deux nombres complexes
3. Quotient de deux nombres complexes
4. Conclusions générales
IV. FORMULES D"EULER - FORMULE DE MOIVRE
1. Formules d"Euler
2. Généralisation aux nombres complexes de module quelconque
3. Linéarisation d"un polynôme trigonométrique
4. Formule de Moivre
5. Formule du binôme - triangle de Pascal
V. RACINE n
ième D"UN NOMBRE COMPLEXE1. Sous forme polaire
2. Sous forme algébrique
VI. EQUATION DU SECOND DEGRE À COEFFICIENTS COMPLEXESVII. APPLICATION A L"ELECTRICITE
1. Les lois de l"électricité
2. Impédances
3. Construction de Fresnel
4. Utilisation des nombres complexes
NOMBRES COMPLEXES
3I. DEFINITIONS D"UN NOMBRE COMPLEXE
1. Forme algébrique
Soient x et y deux nombres réels, et soit j un nombre appelé "imaginaire" tel que j2 = -1.
On appelle forme algébrique (ou cartésienne) d"un nombre complexe z = (x, y) l"expression z = x +jy. ( )jyxzy)(x,z jyx, 2+=Î= -=ή®CR 1 2 x est la partie réelle de z, notée x = Re(z), y est la partie imaginaire de z, notée y = Im (z).L"ensemble des nombres complexes se note
C.Cas particuliers :
si y = 0, alors z = x est un nombre réel: zÎR si x = 0, alors z = jy est un nombre imaginaire pur: zÎIL"ensemble des nombres imaginaires purs se note
I.Î+=®IRC
jyz,0x Sixz,0y Sijyxz2. Représentation graphique
Soit le plan, rapporté à un repère orthonormé {}v,u,Orr, on a alors la figure 1 suivante. A tout nombre complexe z = x + jy, on associe le point M(x, y). La correspondance entre zet M est bijective c"est à dire qu"à tout nombre complexe z = x + jy, on peut faire
correspondre un point du plan, de coordonnées x et y et que réciproquement, tout point M du plan définit par ses coordonnées x et y un nombre complexe z = x + jy. ur vr OM (x,y)
xy qFig. 1
Le point M s"appelle l"image du nombre complexe z. Le vecteurOM s"appelle le vecteur
image du nombre complexe z. Le nombre complexe z s"appelle l"affixe du point M (ou du vecteur OM). Le plan, considéré comme l"ensemble des points M(x, y) est appelé plan complexe, ou plan de Cauchy. L"axe Ox qui correspond aux points tels que y = 0, z = x, est l"axe des réels; l"axe Oy qui correspond aux points tels que x = 0, z = jy est l"axe des imaginaires purs.NOMBRES COMPLEXES
43. Forme polaire
On appelle module du nombre complexe z le module du vecteur imageOM associé à z.
On appelle argument du nombre complexe z l"angle polaire du vecteur image OM associé à z (à 2k p près). p+==q³== k2, )z(0r ;OMzrOMOxArg
On note alors le nombre complexe z sous la forme polaire : []q=,rz4. Forme trigonométrique
Soit un nombre complexe de forme polaire
[]q=,rz.Soit M son image dans le plan complexe (Fig. 2).
Les composantes x et y du vecteur image
OM s"expriment comme suit : q=q=sinrycosrx ur vr OM (x,y)
x = r cosqy = r sinq q rFig. 2
d"où la forme trigonométrique du nombre complexe : z = x + jy z=rcosq+jsinq()5. Relations fondamentales entre les différentes définitions
On verra par la suite que l"on pose habituellement : cosq+jsinq=ejq.Ainsi, la forme polaire
z=r,q[] du nombre complexe z est souvent notée : z=rejq En conclusion, les quatre formes suivantes sont équivalentes pour désigner un nombre complexe z : z=x+jy= r,q[]= rcosq+jsinq() =rejq Inversement, si un nombre complexe est connu sous sa forme cartésienne z=x+jy, on peut calculer son module et son argument.Le module r se calcule facilement par :
r=OM=x2+y2 et son argument, q est calculé, modulo 2p par cosq=x r et sinq=y r ou par x y=qtg, en tenant compte des signes de r xcos=q et r ysin=q.NOMBRES COMPLEXES
56. Exemples
a) 10cossinjcose
j +p=p+p= p b) 12sinj2cose2j=p+p=p c) j2,12sinj2cose2j= p=p+p=p d) j2,12sinj2cose2j-= p-= p-+ p-=p- e) ()( )nnjjn1encosnsinjncose-==p=p+p=ppAinsi, suivant la parité de n:
ejnp=1 si n pair (n=2p) e jnp= -1 si n impair (n=2p+1) f) ( )4je24sinj4cos22j212j12
p p+p= g) ( )4je24sinj4cos22j212j12
p- p-p= h) ( )3je23,23sinj3cos223j2123j1
p p= p+p=II. PROPRIETES ELEMENTAIRES - DEFINITIONS
1. Nombre complexe nul
Le nombre complexe nul, noté simplement z = 0, est le nombre complexe dont l"image est l"origine du plan complexe c"est à dire le point O(0, 0). Cette définition conduit auxégalités suivantes:
Sous forme cartésienne:
==Û=+=0y0x 0jyxzSous forme polaire:
[ ]q=Û=q=quelconque 0r 0,r z2. Egalité de deux nombres complexes
Deux nombres complexes z et z" sont dits égaux si leurs images respectives M et M" dans le plan complexe sont confondues. Cette identité entraîne l"égalité des composantes (x, y) et (x", y") des vecteurs images OM et "OM correspondants.Soit :
==⇒+==+="yy"xx "jy"x"zjyxzNOMBRES COMPLEXES
6Deux nombres complexes égaux ont des parties réelles égales ET des parties imaginaires
égales.
Sous forme polaire l"égalité des deux nombres complexes z et z" se traduit par : p+q=q=⇒q==q=k2""rr ","r "z,r z Les modules sont égaux et les arguments sont égaux à 2k p près (modulo 2p).3. Nombres complexes opposés
Deux nombres complexes z et z" sont dits opposés si leurs vecteurs images respectifs OM et "OM dans le plan complexe sont opposés (Fig. 3). Cette identité entraîne entre les composantes (x, y) et (x", y") de ces vecteurs images les relations : -=-=⇒+-=-=+=y"yx"x "jy"x"zjyxz Deux nombres complexes opposés ont des parties réelles opposées ET des parties imaginaires opposées.Sous forme polaire :
p+p+q=q=⇒q-=-=q=k2"r"r ","r "z,r z Les modules sont égaux et les arguments diffèrent de p (modulo 2p). urvrO M (z) xy q rM" (z")
x" = -x y" = -y p+qFig. 3
4. Nombres complexes conjugués
Deux nombres complexes z et z" sont dits conjugués si leurs vecteurs images respectifs OM et "OM dans le plan complexe sont symétriques par rapport à l"axe des réels Ox (Fig. 4). Cette identité entraîne entre les composantes (x, y) et (x", y") de ces vecteurs images les relations suivantes : "yy"xx jyxjyxz"jy"x"zjyxzNOMBRES COMPLEXES
7 ur vr OM (z)y
q rM" (z")
x" = x y" = -y-qFig. 4
Deux nombres complexes conjugués ont des parties réelles égales ET des parties imaginaires opposées.Sous forme polaire leur écriture donne :
p+q-=q=⇒q-=q==q=q= k2" "rr ,r,rz ","r "z,r z Le conjugué d"un nombre complexe s"obtient en changeant le signe de sa partie imaginaire, ce qui revient à changer j en -j.Sous forme polaire, on change simplement q en -q.
5. Propriétés importantes
a) Soit z un nombre complexe et soit z" son conjugué. Alors, z est le conjugué de z". z()=z b) Soitquotesdbs_dbs29.pdfusesText_35[PDF] conjugué d'un nombre complexe quotient
[PDF] nombre complexe conjugué demonstration
[PDF] conjugué complexe exponentielle
[PDF] inverse d'un nombre complexe
[PDF] conjugue les verbes entre parenthèses au présent de lindicatif
[PDF] conjuguer les verbes entre parenthèses au passé composé
[PDF] conjuguer les verbes entre parenthèses au temps qui convient
[PDF] mets les verbes entre parenthèses au présent
[PDF] tout les temps de l'indicatif
[PDF] pluperfect en anglais
[PDF] preterit be ing ou preterit simple
[PDF] preterit have
[PDF] preterit be ing equivalent francais
[PDF] pluperfect be ing