NOMBRES COMPLEXES (Partie 1)
Les nombres complexes prennent naissance au XVIème siècle Exemple d'application : ... On appelle nombre complexe conjugué de z le nombre
Forme trigonométrique dun nombre complexe. Applications Niveau
Exemple : z = 3 – 2i est un nombre complexe. Exemple : z = 3 – 2i ? 3 est la Ecrire les conjugués des nombres suivants sous forme algébrique. 1. -2 +3i.
Forme trigonométrique dun nombre complexe – Applications
4 Applications géométriques des nombres complexes Module et argument de l'opposé et du conjugué . ... Exemple : Soit z =.
NOMBRES COMPLEXES - Chamilo
Exemples. II. PROPRIETES ELEMENTAIRES - DEFINITIONS. 1. Nombre complexe nul Le conjugué d'un nombre complexe s'obtient en changeant le signe de sa ...
Nombres complexes
Exemple : On a 1?2i = 1+2i. Remarque : La quantité conjugué permet de voir. 1 z comme un nombre complexe lui aussi. Proposition
Conjugué dun nombre complexe - Un doc de Jérôme ONILLON
Corollaire : les seuls complexes qui sont leurs propres conjugués sont les nombres réels. En effet : ( ). Les seuls complexes dont la partie imaginaire est
Première STI 2D - Nombres complexes - Forme algébrique
Cette écriture est dite forme algébrique du nombre complexe. imaginaire pur (exemples 3 ou 5) ... a) Définition : Conjugué d'un nombre complexe.
Les nombres complexes
Affixe du conjugué d'un nombre complexe . Exemple : (a + ib)(a ? ib) = a2 ? iab + iab ? i2b2 = a2 ? (?1) b2 = a2 + b2.
Nombres complexes
19 sept. 2012 En effet on sait bien par exemple que tout nombre ... Soit z = a + ib un nombre complexe
5 Nombres Complexes
Exemple 2. ? 2+3i ? C La forme algébrique d'un nombre complexe est unique. ... Soit z = a + ib ? C. On note z le conjugué de z défini par :.
[PDF] Conjugué dun nombre complexe - La taverne de lIrlandais
Vestiges d'une terminale S - Conjugué d'un nombre complexe - Un doc de Jérôme ONILLON distribué par la taverne de l'Irlandais(www tanopah com) Page 1 sur 2
[PDF] NOMBRES COMPLEXES
Le conjugué du nombre complexe z se note z Si z = a+ bi on a z = a?bi Si z = a+ bi on vérifie facilement que z? z = a2 + b2 Par exemple : 3+ 5i
[PDF] NOMBRES COMPLEXES
Tous les nombres positifs ont une racine carrée par exemple 9 a pour racine 3 et –3 et 2 a pour On appelle conjugué de z le nombre complexe noté
[PDF] NOMBRES COMPLEXES (Partie 1) - maths et tiques
On appelle nombre complexe conjugué de z le nombre noté z égal à a ? ib Exemples : - z = 4 + 5i et z = 4 ? 5i - On peut également noter :
[PDF] NOMBRES COMPLEXES - Chamilo
Le conjugué d'un nombre complexe s'obtient en changeant le signe de sa partie imaginaire ce qui revient à changer j en -j Sous forme polaire on change
[PDF] Fiche 6 : Nombres complexes - Studyrama
II - Nombre complexe conjugué Soit z x iy = + un nombre complexe avec x et y réels Le conjugué de z est le nombre complexe z x iy = ? Exemple
[PDF] Nombres complexes
Définition 3 : On appelle conjugué de z le nombre noté z défini par z = a ?bi Exemple : On a 1?2i = 1+2i Remarque : La quantité conjugué permet de voir 1
[PDF] 1 Corps des nombres complexes
Le nombre complexe z = a ? bi est appelé le conjugué de z Propriétés de la conjugaison : Soit zz/ ? C ? ? R et n ? Z : z + z/ =
[PDF] Nombres complexes - Exo7 - Cours de mathématiques
Le conjugué de z = a +i b est ¯z = a ?i b autrement dit Re(¯z) = Re(z) et Im(¯z) = ?Im(z) Le point ¯z est le symétrique du point z par rapport à l'axe réel
[PDF] Nombres complexes (partie 1)
Définition 5 – Complexe conjugué Soit z = a +ib un nombre complexe On nomme conjugué de z et on note z le nombre complexe z = a ?ib Exemples :
Quel est le conjugué de z ?
La définition du conjugué de = + est = ? . Si est un nombre réel pur, on sait que = 0 . Ainsi, on conclut que si est un nombre réel, = .Comment trouver le conjugué ?
A partir de la forme algébrique d'un nombre complexe z=a+ib z = a + i b , le conjugué se calcule ¯¯¯z=a?ib z ¯ = a ? i b . En d'autres mots, pour trouver le conjugué d'un nombre complexe , prendre ce même nombre complexe mais avec l'opposé (signe moins) de sa partie imaginaire (contenant i ).Solutions complexes d'une équation de degré 2 - cours
1az²+ bz + c = 0 avec a?0.2On calcule le DISCRIMINANT b²-4ac, noté souvent ?, puis il suffit de regarder le signe de ? et de connaître le tableau suivant pour pouvoir conclure.3Note: ? est un réel car a, b et c sont réels.
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Les nombres complexes
Christophe ROSSIGNOL
Année scolaire 2019/2020Table des matières
1 Généralités2
1.1 Définitions
21.2 Règles de calcul dansC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2
1.3 Interprétation géométrique
32 Conjugué d"un nombre complexe
32.1 Définition - Propriétés
32.2 Opérations sur les nombres conjugués
43 Équation du second degré5
Table des figures
1 Interprétation géométrique
32 Affixe du conjugué d"un nombre complexe
4 ?Ce cours est placé sous licence Creative Commons BY-SAhttp://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
11 GÉNÉRALITÉS
Activité :Activité 1 page 2321[TransMath]
1 Généralités
1.1 DéfinitionsDéfinition :Un nombre complexe est un nombre de la formea+ib, oùaetbsont deux nombres réels et
iun nombre tel quei2=-1.L"ensemble des nombres réels est notéC.Théorème (admis) :L"écriture d"un nombre complexezsous la formea+ibavecaetbréels est unique.
Elle est appelée
écriture algébrique
du nom brecomplexe z.Définition :Soitz=a+ibun complexe, aveca,bréels. le réel aest laparti eréelle du nom brec omplexez. Elle est notéeRe (z).le réel best lap artieimaginaire du nom brecomplexe z. Elle est notéeIm (z).Exemples :1.Re ?⎷3-i?=⎷3et Im?⎷3-i?=-1.
2.Re (-4i) = 0et Im(-4i) =-4.
3. Comme i2=-1,-2i2+ 3 = 2 + 3 = 5donc Re?-2i2+ 3?= 5et Im?-2i2+ 3?= 0.Remarques :Soitz?C
-zest unréel si et seulemen tsi Im (z) = 0.En particulier,R?C.
-zest unimaginaire pur si et seulemen tsi Re (z) = 0.-z= 0si et seulement siRe (z) = 0etIm (z) = 0.Propriété :Deux nombres complexeszetz?sontégau xsi et seu lementsi Re (z) =Re(z?)et
Im(z) =Im(z?).1.2 Règles de calcul dansC
On muni l"ensemble des nombres complexes d"une addition et d"une multiplication en appliquant les règles de
calcul dansRet en remplaçanti2par-1(voir Activité page 1 page 232 [TransMath]). On obtient :Addition et multiplication dansC:Soientzetz?de forme algébriquez=a+ibetz?=a?+ib?.
z+z?=( a+a?) +i(b+b?) z.z ?=( aa?-bb?) +i(ab?+a?b)Démonstration : z+z?=a+ib+a?+ib?= (a+a?) +i(b+b?) z.z ?= (a+ib)(a?+ib?) =aa?+iab?+ia?b-bb?= (aa?-bb?) +i(ab?+a?b) Remarques :1.En particulier, si kest un nombre réel, on ak.z= (kx) +i(ky). 2.Les règl esde calcul dans Csont les mêmes que dansRet on retrouve les mêmes identités remarquables.
Exemple :(a+ib)(a-ib) =a2-iab+iab-i2b2=a2-(-1)b2=a2+b2 On obtient donc une nouvelle identité remarquable valable dansC:a2+b2= (a+ib)(a-ib).Exercices :1, 2, 3, 5, 7 page 241 et 51, 55 page 2532[TransMath]1. Des nombres réels aux nombres imaginaires.
2. Calculs dansC.
22 CONJUGUÉ D"UN NOMBRE COMPLEXE 1.3 Interprétation géométrique
1.3 Interprétation géométrique
Définition :Soit(O;?u;?v)un repère orthonormé direct etzun nombre complexe de forme algébrique
z=a+ib. Le p ointM(a;b)est appeléimage de z. (voir figure1 )On dit que Ma pouraffixe z.
La distance OMest appeléemo dulede z. On note|z|=OM.Figure1 - Interprétation géométrique Conséquences :1.L"ensem bledes nom bresréels est représen tépar l"axe des abscisses. L"ensemble des imaginaires purs est représenté par l"axe des ordonnés. 2.On a |z|=⎷a
2+b2.3.|z|= 0si et seulement siz= 0.
4. Si zest un nombre réel (c"est-à-direz=a),|z|=⎷a2=|a|. Le module correspond alors à la valeur
absolue. Exercices :66, 67, 68 page 2543- 69 page 2544[TransMath]2 Conjugué d"un nombre complexe
2.1 Définition - PropriétésDéfinition :Soitzle nombre complexe de forme algébriquez=a+ib.
On appelle
conjuguéde zle nombre complexe notézet défini parz=a-ib.Remarques :1.Le p ointMd"affixezet le pointM?d"affixezsont symétriques par rapport à l"axe des
abscisses (voir figure 2 2.De la dé finition,on tire facilemen tque : (z) =z.Propriété :Soitzun nombre complexe. On a :
Re(z) =z+z
2Im(z) =z-z
2izz=|z|2Démonstration :
z+z 2 =a+ib+a-ib2 =2a2 =a=Re(z)3. Affixes de points.4. Premiers ensembles de points.
32.2 Opérations sur les nombres conjugués 2 CONJUGUÉ D"UN NOMBRE COMPLEXE
Figure2 - Affixe du conjugué d"un nombre complexe z-z zz= (a+ib)(a-ib) =a2+b2=|z|2 Remarques :1.En particulier, on a les résultats suiv ants: -zest unnom breréel si et seu lementz=z. -zest unimaginaire pur si et seulemen tz+z= 0. 2.De la der nièreégalité ,on déduit que zzesttoujours un nom breréel p ositif. Ce résultat sera utilisé,
entre autres, pour trouver la forme algébrique d"un quotient de nombres complexes.Exemples :1.23+i=2(3-i)(3+i)(3-i)=6-2i3
2+12=6-2i4
=32 -12 i 2.2+(-2)2=8+i12
=43 +112i Exercices :9, 12 page 242 et 52, 53, 54 page 2535- 14 page 242; 56, 57 page 2536- 10 page 242 et 59 page 253 et 15, 16 page 243
7[TransMath]
2.2 Opérations sur les nombres conjuguésPropriété :Soientzetz?deux nombres complexes. Alors :z+z?=z+z
?zz ?=z×z zz ??=z z ?(avecz??= 0)Démonstration (partielle) : Siz=a+ibetz?=a?+ib?alorszz?= (aa?-bb?) +i(ab?+a?b)donczz ?= (aa?-bb?)-i(ab?+a?b).De plus :z×z
?= (a-ib)(a?-ib?) = (aa?-(-b)×(-b?)) +i(-ab?-a?b) = (aa?-bb?)-i(ab?+a?b).On en déduit quezz
?=z×z Remarque :On obtient facilement par récurrence quez n= (z)npour toutnentier naturel.Exercices :11 page 242 et 60 page 2538- 114 page 2619- 120, 21 page 26310[TransMath]5. Forme algébrique d"un quotient.
6. Résolutions d"équations dansC.
7. Parties réelles et imaginaires.
8. Propriétés des conjugués.
9. Type BAC.
10. Ensembles de points.
43 ÉQUATION DU SECOND DEGRÉ
3 Résolution dansCd"équation du second degré à coefficients réels
Soienta,betctrois nombres réels, aveca?= 0.
On considère l"équation :az2+bz+c= 0avecz?C.En utilisant, comme dans le cours de1èreS, la forme canonique, on montre que cette équation est équivalente
a? z+b2a? 2 -Δ4a2? = 0 avecΔ =b2-4ac.Comme, de plus,a?= 0, cette équation devient :
z+b2a? 2 -Δ4a2= 0Si Δ>0:
On a alorsΔ =⎷Δ
2, on peut donc écrire :Δ4a2=?
2a?2d"où :
z+b2a? 2 2a? 2 = 0 z+b2a+⎷Δ 2a?? z+b2a-⎷Δ 2a? = 0 L"équationaz2+bz+c= 0est alors équivalente à : z+b2a+⎷Δ2a= 0ouz+b2a-⎷Δ
2a= 0 z=-b2a-⎷Δ2az=-b2a+⎷Δ
2a z=-b-⎷Δ2az=-b+⎷Δ
2a L"équationaz2+bz+c= 0a alors deux solutions réelles distinctes : z1=-b-⎷Δ
2aetz2=-b+⎷Δ
2aSi Δ = 0:
On a alors :
z+b2a? 2 = 0 L"équationaz2+bz+c= 0est alors équivalente à : z+b2a= 0 z=-b2a L"équationaz2+bz+c= 0a alors une seule solution réelle (appelée solution double) : z0=-b2a
5RÉFÉRENCESRÉFÉRENCES-Si Δ<0:
On a alorsΔ =-(-Δ)avec-Δ>0, on peut donc écrire :Δ =i2×?⎷-Δ?2=?i⎷-Δ?2
On peut donc en déduire que
Δ4a2=?i⎷-Δ2a?
2et l"équation devient :
z+b2a? 2 -?i⎷-Δ2a? 2 = 0 z+b2a+i⎷-Δ2a?? z+b2a-i⎷-Δ2a? = 0 L"équationaz2+bz+c= 0est alors équivalente à : z+b2a+i⎷-Δ2a= 0ouz+b2a-i⎷-Δ2a= 0 z=-b-i⎷-Δ2az=-b+i⎷-Δ2a L"équationaz2+bz+c= 0a alors deux solutions complexes distinctes : zon peut de plus remarquer que ces deux solutions sont des nombres complexes conjugués.Résumé :Résolution deaz2+bz+c= 0(aveca?= 0)
Δ =b2-4acest lediscriminan tde cette équation. Si Δ>0, l"équation admetdeux solutions réelles : z1=-b-⎷Δ
2aetz2=-b+⎷Δ
2a Si Δ = 0, l"équation admetune solution double réelle : z0=-b2a
Si Δ<0, l"équation n"admetde uxsolutions complexes conjuguées : zquotesdbs_dbs31.pdfusesText_37[PDF] conjugué d'un nombre complexe quotient
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[PDF] conjuguer les verbes entre parenthèses au passé composé
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