Correction TP de programmation no4
Écrire une procédure somme qui calcule la somme de deux nombres complexes. Écrire une procédure inverse qui retourne l'inverse d'un nombre complexe.
Conjugué dun nombre complexe - Un doc de Jérôme ONILLON
Propriété : le conjugué de l'inverse est égal à l'inverse du conjugué. Le conjugué d'un quotient est égal au quotient des conjugués. 1. 1 z z.
NOMBRES COMPLEXES – Chapitre 2/4
Le point (3 ; 2) a pour affixe le nombre complexe =3+2 . De même le vecteur AA? a pour Donc l'inverse a pour module 1 et appartient donc à .
Nombres complexes (partie 1) - Editions Ellipses
Ensemble C des nombres complexes. Partie réelle et partie imaginaire. Opérations. > Conjugaison. Propriétés algébriques. > Inverse d'un nombre complexe non
Nombres complexes (partie 1)
Ensemble C des nombres complexes. Partie réelle et partie imaginaire. Opérations. > Conjugaison. Propriétés algébriques. > Inverse d'un nombre complexe non
Nombres complexes. Représentation géométrique. Notation
Le module de l'inverse d'un nombre complexe non nul est l'inverse du module de ce nombre complexe. z ?C* ?1 z?= 1. ?z?. Démonstration :.
Exercices : nombre complexe - Calcul Corrigés en vidéo et le cours
Inverse d'un nombre complexe. Déterminer les inverses des nombres suivants. On donnera le résultat sous forme algébrique. a) 2 ? i b) i. 2 ? 3i c
Les nombres complexes - Division des nombres complexes
La division d'un nombre complexe a + i b par un nombre complexe c + i d donne un nouveau nombre complexe x + i y : a + i b c + i d. = x + i y. • L'inverse
Chapitre 2 - Les nombres complexes I : première approche et lien
Manipuler algébriquement des nombres complexes à partir de leur forme algébrique. Calculer le conjugué le module et l'inverse d'un nombre complexe.
NOMBRES COMPLEXES
I.2 L'ensemble des nombres complexes . II.5 Inverse d'un complexe . ... Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont même partie réelle ...
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le module est l'inverse du module de z ; • l'argument est l'opposé de l'argument de z Ce résultat se traduit par la formule 1 ??cis ?( ) = 1 ?
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Inversion complexe et cocyclicité Jean-Marie Lion Université de Rennes 1 Br`eve introduction aux nombres complexes L'addition et la multiplication dans
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C'est le seul nombre complexe vérifiant pour tout z ? C : z(1 + 0i)=(1+0i)z = z Tout élement z ? C distinct de 0 admet un symétrique z/ appelé inverse
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I 2 L'ensemble des nombres complexes II 5 Inverse d'un complexe Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont même partie réelle
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L'inverse de z noté 1 z est donc z = 1 z = a a2 + b2 + i ?b a2 + b2 = a ? i b a2 + b2 • La division : z z est le nombre complexe z × 1
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Inverse d'un nombre complexe Soit z x iy = + un complexe non nul avec x et y réels Pour déterminer partie réelle et partie imaginaire de
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I Module et argument d'un nombre complexe 1) Module Définition : Soit un nombre complexe z = a + ib On appelle module de z le nombre réel positif
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Cette écriture est dite forme algébrique du nombre complexe c) Définition : inverse d'un nombre complexe Si le nombre complexe est non nul alors :
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en pratique un nombre complexe z poss`ede deux représentations : (viii) tout élément non nul admet un inverse : pour tout a de K différent de 0
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II 5 Inverse V Forme trigonométrique d'un nombre complexe troisiéme et du quatriéme degré et l'invention des nombres complexes
Quel est l'inverse d'un nombre complexe ?
Opposé d'un nombre complexe
L'opposé de z est le nombre (-z) tel que z + (-z) = 0.Comment calculer l'opposé d'un nombre complexe ?
L'opposé du nombre complexe a+bi est le nombre complexe ?a?bi. L'inverse du nombre complexe a+bi est le nombre complexe aa2+b2?ba2+b2i.Comment déterminer l'argument de z ?
On peut alors calculer l'argument de �� dans les différents quadrants comme suit :
1Quadrant 1 : a r g ( �� ) = ��2Quadrant 2 : a r g ( �� ) = �� ? ��3Quadrant 3 : a r g ( �� ) = �� ? ��4Quadrant 4 : a r g ( �� ) = ? ��- À tout nombre complexe z = a + i b ? C est associé le point M du plan de coordonnées appelé image de et noté . A tout point M du plan de coordonnées est associé le complexe z M = a + i b appelé affixe du point M.
Vestiges d"une terminale S - Conjugué d"un nombre complexe - Un doc de Jérôme ONILLON distribué par la taverne de l"Irlandais(www.tanopah.com) Page 1 sur 2
Avertissement préalable Dans ce qui suit, les nombres a et b du complexe z a .b= + i sont deux réels. Ce sont ses parties réelle et imaginaire. Définition du conjugué d"un nombre complexe Définition : le conjugué du nombre complexe z a .b= + i est le complexe z a .b= - i Déterminons quelques conjugués de nombres complexes ? 3 3- + = - - i i3 2. 3 2. 3 2. 3 2.- - = - + - = - - - = - +
i i i i5 5 0. 5 0. 5= + = - =
i i ?0 1. 0 1.= + = - = -i i i i
Propriété : le conjugué du conjugué d"un nombre complexe est le nombre lui-même. z z=En effet, nous avons :
z a .b a .b a .b a .b a .b z= + = - = + - = - - = + = i i i i iUn nombre complexe, son conjugué, ses parties réelle et imaginaire Propriété : les parties réelle et imaginaire d"un nombre complexe z sont égales à :
z z Re z 2+ z z Im z 2.- iPour tout nombre complexe
z a .b= + i , nous pouvons écrire : z z a .b a .b a .b a .b 2.a 2.Re z+ = + + - = + + - = =i i i i z z a .b a .b a .b a .b 2. .b 2. .Im z- = + - - = + - + = =i i i i i iCorollaire : les seuls complexes qui sont leurs propres conjugués sont les nombres réels. En effet :
Les seuls complexes dont la partie imaginaire est nulle sont les nombres réels z z z z z z 0 0 Im z 0 z est un réel2.-= ? - = ? = ? = ?i
Module d"une nombre complexe Définition : le module du nombre complexe z a .b= + i est le réel positif ou nul noté z et défini par : 2 2 z a b= +Calculons quelques modules de nombres complexes :
2 20 0 0 0 0 0= + × = + =
i Le seul nombre complexe ayant un module nul est celui de 0 223 3 0 3 0 9 3- = - + × = - + = =
i Le module d"un nombre réel est égal à sa valeur absolue. 2 20 1 0 1 1 1= + × = + = =i i
223 4. 3 4 9 16 25 5- = + - = + = =
iUn nombre complexe, son conjugué et son module Propriété : le produit d"un complexe et de son conjugué est égal au carré du module.
2 2 2Cette formule est à retenir
z z z a .b a .b a b× = ? + × - = + i iEn effet, pour tout nombre complexe
z a .b= + i , nous pouvons écrire : 222 2 2 2 2 2 2 2
z z a .b a .b a .b a .b a 1 .b a b z× = + × - = - = - = - - = + =i i i iConjugué d"une somme Propriété : le conjugué d"une somme est égal à la somme des conjugués.
z z" z z"+ = +En effet, pour tous nombres complexes
z a .b= + i et z" c .d= + i , nous pouvons écrire : ? D"une part : z z" a .b c .d a .b c .d a c . b d+ = + + + = - + - = + - + i i i i i ? De l"autre : z z" a c . b d a c . b d+ = + + + = + - + i iD"où l"égalité
z z" z z"+ = + Vestiges d"une terminale S - Conjugué d"un nombre complexe - Un doc de Jérôme ONILLON distribué par la taverne de l"Irlandais(www.tanopah.com)Page 2 sur 2
Conjugué d"un opposé et conjugué d"une différence Propriété : le conjugué d"un opposé est égal à l"opposé du conjugué. Le conjugué d"une différence est égal à la différence des conjugués.
z z- = - z z" z z"- = -En effet, l"opposé du nombre complexe
z a .b= + i est le complexe z a .b- = - - iPar conséquent :
z a .b a .b a .b a .b z- = - - = - - - = - - = - + = - i i i iDonc le conjugué de l"opposé est l"opposé du conjugué. Pour ce qui est du conjugué de la différence, il vient alors :
Conjugué d"une somme...Conjugué de l"opposé z z" z z" z z" z z" z z"- = + - = + - = + - = -Conjugué d"un produit et conjugué d"une puissance Propriété : le conjugué d"un produit est égal au produit des conjugués. Le conjugué de la puissance est égal à la puissance du conjugué.
z z" z z"× = × ()n nz zEn effet, pour tous nombres complexes
z a .b= + i et z" c .d= + i , nous pouvons écrire : ? D"une part : 2 z z" a .b c .d a .b c .d a.c .a.d .bc .b.d a.c . a.d b.c 1 .b.da.c b.d . a.d b.c× = + × + = - × - = - - +i i i i i i i i i ? De l"autre, comme z z" a .b c .d (a.c b.d) . a.d b.c× = + × + = - + +i i i alors : z z" (ac bd) . ad bc (ac bd) . ad bc× = - + + = - - +i iD"ou l"égalité
z z" z z"× = × Pour la puissance, il vient alors que pour tout n?? : ()n n n facteurs n facteurs toujours. Le produit des conjugués... ...est le produit des conjuguész z z z z z z zConjugué d"un inverse et conjugué d"un quotient Propriété : le conjugué de l"inverse est égal à l"inverse du conjugué. Le conjugué d"un quotient est égal au quotient des conjugués.
1 1z z z zz" z"En effet, pour tout nombre complexe non nul
z a .b= + i , nous pouvons écrire : ? D"une part comme2 2 2 2 2 2
On multiplie a .b
par sa quantité conjugué a .b1 a .b1 1 a .b a b.z a .b a .b a .b
a b a b a b i ii alors le conjugué de1z est le complexe
2 2 2 2a b.
a b a b ++ +i. ? De l"autre, le conjugué du complexe z a .b= + i est le complexe z a .b= - i . Donc :2 2 2 2 2 2
On multiplie a .b
par sa quantité conjugué a .b1 a .b1 1 a .b a b.a .b a .b a .bz
a b a b a b i iiiii i iD"où l"égalité
1 1z z Pour le quotient, il vient alors que pour tous nombres complexes z et z", on a : z 1 1 1 z z z zz" z" z" z" z"quotesdbs_dbs29.pdfusesText_35[PDF] conjuguer les verbes entre parenthèses au passé composé
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