[PDF] Nombres complexes (partie 1) Ensemble C des nombres complexes.





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Correction TP de programmation no4

Écrire une procédure somme qui calcule la somme de deux nombres complexes. Écrire une procédure inverse qui retourne l'inverse d'un nombre complexe.



Conjugué dun nombre complexe - Un doc de Jérôme ONILLON

Propriété : le conjugué de l'inverse est égal à l'inverse du conjugué. Le conjugué d'un quotient est égal au quotient des conjugués. 1. 1 z z.



NOMBRES COMPLEXES – Chapitre 2/4

Le point (3 ; 2) a pour affixe le nombre complexe =3+2 . De même le vecteur AA? a pour Donc l'inverse a pour module 1 et appartient donc à .



Nombres complexes (partie 1) - Editions Ellipses

Ensemble C des nombres complexes. Partie réelle et partie imaginaire. Opérations. > Conjugaison. Propriétés algébriques. > Inverse d'un nombre complexe non 



Nombres complexes (partie 1)

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Nombres complexes. Représentation géométrique. Notation

Le module de l'inverse d'un nombre complexe non nul est l'inverse du module de ce nombre complexe. z ?C* ?1 z?= 1. ?z?. Démonstration :.



Exercices : nombre complexe - Calcul Corrigés en vidéo et le cours

Inverse d'un nombre complexe. Déterminer les inverses des nombres suivants. On donnera le résultat sous forme algébrique. a) 2 ? i b) i. 2 ? 3i c 



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La division d'un nombre complexe a + i b par un nombre complexe c + i d donne un nouveau nombre complexe x + i y : a + i b c + i d. = x + i y. • L'inverse 



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Manipuler algébriquement des nombres complexes à partir de leur forme algébrique. Calculer le conjugué le module et l'inverse d'un nombre complexe.



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le module est l'inverse du module de z ; • l'argument est l'opposé de l'argument de z Ce résultat se traduit par la formule 1 ??cis ?( ) = 1 ?



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II 5 Inverse V Forme trigonométrique d'un nombre complexe troisiéme et du quatriéme degré et l'invention des nombres complexes

  • Quel est l'inverse d'un nombre complexe ?

    Opposé d'un nombre complexe
    L'opposé de z est le nombre (-z) tel que z + (-z) = 0.

  • Comment calculer l'opposé d'un nombre complexe ?

    L'opposé du nombre complexe a+bi est le nombre complexe ?a?bi. L'inverse du nombre complexe a+bi est le nombre complexe aa2+b2?ba2+b2i.

  • Comment déterminer l'argument de z ?

    On peut alors calculer l'argument de �� dans les différents quadrants comme suit :

    1Quadrant 1 : a r g ( �� ) = ��2Quadrant 2 : a r g ( �� ) = �� ? ��3Quadrant 3 : a r g ( �� ) = �� ? ��4Quadrant 4 : a r g ( �� ) = ? ��
  • À tout nombre complexe z = a + i b ? C est associé le point M du plan de coordonnées appelé image de et noté . A tout point M du plan de coordonnées est associé le complexe z M = a + i b appelé affixe du point M.
Nombres complexes (partie 1)

Nombres complexes

(partie 1)

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1

CHAPITRE

NOMBRES COMPLEXES(P ARTIE1)

Ondoit àGauss(1777-1855) unedéfinition desnombr escomplexes .Lanotation z=a+ibaveci 2 =-1est dueà Euler(1707-1783). Les nombrescomplexessont nésd "unpr oblèmealgébr ique:larésolution del"équa- tion dedegré 3. L"histoiredesnombr escomplexes commenceversle milieudu XVI e siècle avecune premièreapparition en

1545, dansl "oeuvredeCardan(1501-1576), d"uneexpression

contenant lar acinecarréed"un nombre négatif,nombrequ "ilappelle"sophistiqué". C"estBombelli(1526-1572) quimet enplace lesrègles decalcul surces quantités que l"onappellealors"impossibles" avant deleur donnerle nom"d"imaginaires".

Les contenusdu chapitre

?Ensemble ?Conjugaison.P ropriétésalgébriques. ?Inversed"un nombrecomplexenon nul. ?Formuledubinôme dans C.

Les capacitésattendues duchapitr e

?Effectuerdes calculsalgébr iquesav ecdesnombres complexes. ?Résoudreune équationlinéair e az=b. ?Résoudreune équationsimple faisantinter venir zetz. 1

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OURSU COURS

1.Définition etnotation

DéPnition 1- Ensemble desnombrescomplex es

L'ensembledesnombr escomplexes

Cest l'ensembledesnombres dela forme

z=a+bioùa?R,b?Retiest lenombr eimaginairetel quei 2 =-1.

C={z=a+bitel quea?R,b?Reti

2 =-1} Ondir aquea+ibestl"écriturealgébriquedu nombrecomplexez.

Ensciences physiques, onnote

jà laplace deicarireprésentel 'intensitédu courant.

Exemples:

z=2+3i ?z=3-i ?z=i ?z=2

Propriété1-RetC

R?C

Toutnombr eréelestun nombre complexe.

Démonstration

Si x?Ralorsx=x+0×idoncx?C. !Iln 'yapasde relation d' ordr edans

C. Onnepeut pasor donnerles nombres

complexes aveclesr elations Définition 2- Par tieréelleetpartieimaginair e Soit z?Calors ilexiste a?Retb?Rtels quez=a+ib ?ase nommela partieréelledezet senote Re (z). bse nommela partieimaginaire dezet senote Im (z).

Exemples:

?Dans z=3-4i, Re(z)=3etIm (z)=-4. ?Dans z=5, Re(z)=5etIm (z)=0. -2-

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?Dansz=7i, Re(z)=0etIm (z)=7.

Définition 3- Imaginair epuretréel

Soit z?C ?Ondit quezestun imaginairepursiRe (z)=0. ?Ondit que zestun réelsiIm(z)=0

Exemples:

z=3iest unimaginair epur. z=3est unréel.

Définition 4- Ensemble desimaginairespurs

Onnote

iRl"ensembledesimaginair espurs . iR={z=iaoùa?R}

Définition 5- Complex econjugué

Soit z=a+ibun nombrecomplexe.

Onnomme conjugué de

zet onnote z, lenombr ecomplexez=a-ib.

Exemples:

?Si z=2+3ialorsz=2-3i. ?Si z=2-3ialorsz=2+3i. ?Si z=3ialorsz=-3i. ?Si z=2alorsz=2.

Propriété2-C onjuguéd "unréel

z?R?z=z

Démonstration

Siz?Ralors ilexiste a?Rtel quez=a+i×0.

Ona donc

z=a-i×0=a=z.

Siz=zalors Re(z)-iIm(z)=Re(z)+iIm(z)

Ona donc2iIm(z)=0?Im(z)=0doncz?R.

-3-

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Propriété3-C onjuguéd 'unimaginair epur

z?iR?-z=z

Démonstration

Siz?iRalors ilexiste b?Rtel quez=0+ib.

Ona donc

z=0-ib=-ib=-z.

Siz=-zalors Re(z)-iIm(z)=-Re(z)-iIm(z).

Ona donc

2Re(z)=0?Re[z)=0doncz?iR.

2.Opérationsdans C

Onnote z=a+ibetz

=a +ib oùa,a ,b,b sont desréels .

Propriété4-Somme dedeux complexes

z+z =(a+a )+i(b+b donc

Re(z+z

)=Re(z)+Re(z

Im(z+z

)=Im(z)+Im(z

Démonstration

z+z =(a+ib)+(a +ib )=a+ib+a +ib =(a+a )+i(b+b

Exemples:

z=3+4ietz =-5+3ialorsz+z =-2+7i. z=3+4ietz =-2ialorsz+z =3+2i.

Propriété5-C onjuguéd 'unesomme

z+z =z+z Le conjuguéd 'unesommeestla sommedes conjugués.

Démonstration

Onnote

z=a+ibetz =a +ib oùa,a ,b,b sont desréels . z+z =(a+a )+i(b+b -4- olso EnmxpdhetgoSptgo

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z+z =(a+a )-i(b+b )=a+a -ib-ib =(a-ib)+(a -ib )=z+z

Propriété6-D ifférence dedeux complexes

z-z =(a-a )+i(b-b ou

Re(z-z

)=Re(z)-Re(z

Im(z-z

)=Im(z)-Im(z

Démonstration

z-z =(a+ib)-(a +ib )=a+ib-a -ib =(a-a )+i(b-b

Exemples:

z=3+4ietz =-5+3ialorsz-z =8+i ?z=3+4ietz =-2ialorsz-z =3+6i

Propriété7-C onjuguéd "unediffér ence

z-z =z-z Le conjuguéd "unedifférenceest ladifférencedes conjugués.

Démonstration

Onnote

z=a+ibetz =a +ib oùa,a ,b,b sont desréels . z-z =(a-a )+i(b-b z-z =(a-a )-i(b-b )=a-a -ib+ib =(a-ib)-(a -ib )=z-z

Propriété8-P roduit dedeux complexes

z×z =(aa -bb )+i(ab +ba ou

Re(z×z

)=Re(z)×Re(z )-Im(z)×Im(z

Im(z×z

)=Re(z)Im(z )+Im(z)Re(z

Démonstration

z×z =(a+ib)×(a +ib )=aa +iab +iba +i 2 bb =aa +iab +iba -bb =(aa -bb )+i(ab +ba -5-

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Exemples:

z=3+4ietz =-5+3ialorsz×z =-15+9i-20i-12=-27-11i ?z=3+4ietz =3-4ialorsz×z =3 2 -(4i) 2 =9-(-16)=9+16=25

Propriété9-P roduit parson conjugué

z×z=a 2 +b 2 ou z×z=Re 2 (z)+Im 2 (z)

Démonstration

z×z=(a+ib)×(a-ib)=aa+-iab+iba-i 2 bb=aa-(-bb)=a 2 +b 2

Exemples:

z=3+4ialorsz×z=3 2 +4 2 =9+16=25 ?z=1+ialorsz×z=1 2 +1 2 =2

Propriété10-C onjuguéd 'unpr oduit

z×z =z×z Le conjuguéd 'unproduitest leproduitdes conjugués.

Démonstration

Onnote

z=a+ibetz =a +ib oùa,a ,b,b sont desréels . z×z =(aa -bb )+i(ab +ba z×z =(aa -bb )-i(ab +ba z×z =(a-ib)(a -ib )=aa -iab -iba -bb =(aa -bb )-i(ab +ba donc z×z =z×z

Propriété11-I nverse d'un nombrecomplexe

Si z?C z 1 =1 z=?azz? -i?bzz? ou z 1 =1 z=? Re(z) zz? -i? Im(z) zz? -6-

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Démonstration

Si z?C 1 z=1a+ib=1×(a-ib)(a+ib)(a-ib)=a-iba 2 +b 2 =a zz-i×bzz

Exemples:

z=3+4ialors 1 z=325-i×425=125(3-4i) ?z=1-ialors 1 z=12+i×12=12(1+i)

Propriété12-C onjuguéd 'uninv erse

Si z?0, ?1 z? =1z Le conjuguéd 'uninverseest l'inversedu conjugué.

Démonstration

Onnote

z=a+ibavecz?0. ?1 z? =a+iba 2 +b 2 1 z=1a-ib=a+ib(a-ib)(a+ib)=a+iba 2 +b 2 Propriété13-C onjuguéd 'unepuissance entière Soit n?Z, alors (z n )=z n Le conjuguéd 'unepuissanceentière estla puissanceentièredu conjugué.

Démonstration

?Onnote n?Netz=a+iboùaetbsont desréels . Onv adémontrercette propriétépar récurrence :

Onnote

P n la propriété:(z n )=z n

Initialisation: (Pour

n=0) (z 0 )=1=1etz 0 =1 doncP 0 est vraie.

Hérédité: onsuppose que

P k est vraiepourun rang k, montronsquedans ce cas P k+1 l'estaussi. -7-

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