[PDF] Nombres complexes. Représentation géométrique. Notation

View - Download Nombres complexes. Représentation géométrique. Notation

Previous PDF

Next PDF

Nombres complexes.

Représentation géométrique.

Notation exponentielle.

1. Représentation géométrique d'un nombre

complexe..............................................................P24. Propriétés..........................................................P15

2. Module d'un nombre complexe.......................p75. Compléments....................................................p19

3. Forme trigonométrique et forme exponentielle

d'un nombre complexe non nul...........................p11

Nombres complexes. Représentation

géométrique. Notation exponentielle.

1. Représentation géométrique d'un nombre complexe

Le plan muni d'un repère orthonormé direct(O;⃗u,⃗v)se nomme plan complexe.

1.1. Affixe d'un point

A tout nombre complexezd'écriture algébriquez=a+bi(oùaetbsont des nombres réels) correspond un

unique point M du plan de coordonnées(a;b).

On dit

zest l'affixe de M et on note M(z).

On dit que M est l'image ponctuelle de

z .

Exemples :

Dans le plan complexe, placer les points A ; B ; C et D d'affixes respectives : zA=1+2i; zB=-2-i ; zC=5

2i ; zD=-3

2.

1.2. Affixe d'un vecteur

A tout nombre complexezd'écriture algébriquez=a+bicorrespond un unique vecteur ⃗Vcoordonnées(a;b). ⃗V=a⃗u+b⃗vSi zest l'affixe de zalors⃗V=⃗OM.

On ditzest l'affixe de

⃗Vet on note ⃗V(z).

On dit que le vecteur

⃗V=⃗OM est l'image vectorielle dez.

1.3. Remarques

L'axe des abscisses

(O;⃗u)est l'ensemble des images ponctuelles des nombres réels. On le nomme l'axe réel.

L'axe des ordonnées

(O;⃗v)est l'ensemble des images ponctuelles des imaginaires purs. On le nomme l'axe imaginaire.

Nombres complexes. Représentation

géométrique. Notation exponentielle.

1.4. Propriétés

a) Somme de deux nombres complexes⃗V=⃗OM(z)et⃗V'=⃗OM'(z') Le quadrilatère AMPM' est un parallélogramme. b) Produit d'un nombre complexe par un nombre réel ⃗V=⃗OM(z)et λ∈ℝλ ⃗V=⃗OM'(λz)

Nombres complexes. Représentation

géométrique. Notation exponentielle. Cas particulier :λ=-1⃗V=⃗OM(z)⃗V'=-⃗V=⃗OM'(-z) c) Nombres complexes conjugués z=a+biet z=a-biLes points M et M' sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses. d) Affixe d'un bipoint Si

A(zA)et B(zB)alors⃗AB(zB-zA).

Nombres complexes. Représentation

géométrique. Notation exponentielle. e) Affixe du milieu d'un segment SiA(zA)et B(zB)et I est le milieu de [AB] alors I(zA+zB 2).

Démonstration : ,

⃗OA+⃗OB=⃗OI+⃗IA+⃗OI+⃗IB=2⃗OI+⃗IA+⃗IBOr, I est le milieu de [AB] donc

⃗IA+⃗IB=⃗0Donc, ⃗OA+⃗OB=2⃗OI ⃗OI=1

2(⃗OA+⃗OB)

et zI=zA+zB 2

1.4. Exercice

Dans le plan complexe, déterminer l'ensemble des points M d'affixe ztel que :Z=5z-2 z-1soit un imaginaire pur. Pour répondre à cette question, on peut écrire Zsous forme algébrique et dire que sa partie réelle est nulle ou il suffit de calculer la partie réelle. On rappelle que

Z+Z=2ℜ(Z).

Nombres complexes. Représentation

géométrique. Notation exponentielle.

Ici, on va déterminer l'écriture algébrique deZcar en général on pose souvent plusieurs questions faisant

intervenir la partie réelle et la partie imaginaire.

Z=5z-2

z-1

On pose

z=x+iyavec x∈ℝety∈ℝIl faut que z≠1. On noteA(1)Z=5x-2+5iy x-1+yi

Z=(5x-2+5iy)(x-1-yi)

(x-1)2+y2

Z=5x2-5x-2x+2+5y2+i(-5xy+2y+5xy-5y)

(x-1)2+y2Z=(5x2-7x+2+5y2)-3iy (x-1)2+y2

Zest un imaginaire pur

{5x2+5y2-7x+2 (x-1)2+y2=0 z≠1Û {5x2+5y2-7x+2=0(1) x≠1ouy≠0 (1)Ûx2+y2-7 5x+2 5=0 (x-7 10)2 +y2-49 100+2

5=0Û

(x-7 10)2 +y2=9 100
Il s'agit de l'équation du cercle (c) de centre

ω(7

10+0i)et de rayon3

10.

Le point A(1)appartient à (c).

L'ensemble cherché est le cercle (c) privé de A.

Nombres complexes. Représentation

géométrique. Notation exponentielle.

2. Module d'un nombre complexe

2.1. Définition

On nomme module du nombre complexez=a+bi(avec aet bréels) la norme de son image vectorielle dans le plan complexe. On note ∣z∣.

2.2. Remarques

a) z=a+bi z=a-bizz=a2+b2 ∣z2∣=zzb) Si zest un nombre réel alors z=a+0i zest égal à la valeur absolue dea.

2.3. Propriétés

a) Deux nombres complexes conjugués ont le même module : ∣z∣=∣z∣b) ∣z∣est un nombre réel positif ou nul. ∣z∣=0Ûz=0 c)

Module de la somme de deux nombres complexes :

∣z+z'∣⩽∣z∣+∣z'∣(on admet ce résultat)

Nombres complexes. Représentation

géométrique. Notation exponentielle. d) Le module d'un produit de deux nombres complexes est égal au produit des modules.∣z×z'∣=∣z∣×∣z'∣Démonstration :

∣z×z'∣=∣z∣×∣z'∣Cas particulier : Le produit d'un nombre complexe par un nombre réel.

zÎC Le module de l'inverse d'un nombre complexe non nul est l'inverse du module de ce nombre complexe. zÎC*, ∣1 z∣=1∣z∣Démonstration : 1 z×z=1donc ∣1 z×z∣=∣1=1∣. Or, ∣1 z×z∣=∣1 z∣×∣z∣Donc, ∣1 z∣×∣z∣=1Donc, ∣1 z∣=1∣z∣ (siz≠0alors∣z∣≠0) f) Le module du le quotient de deux nombres complexes (le dénominateur étant non nul) est le quotient des modules. zÎC,z'ÎC*, ∣z z'∣= ∣z∣ ∣z'∣Démonstration : z z'=z×1 z'donc ∣z z'∣=∣z×1 z'∣=∣z∣×∣1 ∣z∣ ∣z'∣g) On peut démontrer que pour tout entier relatif

net tout nombre complexe non nul zque : ∣zn∣=∣z∣nh) Interprétation géométrique du module de la différence de deux nombres complexes.

Si M(z)et

Nombres complexes. Représentation

géométrique. Notation exponentielle.

2.4. Exemples

1-iz5=3-2i

2-3i z6=(2-3i)(3+4i) (6+4i)(15-8i)z7=(3-2i)4z8=(1 2+i 2 )511z9=(1+i)6 ∣z4∣=∣1+i∣ ∣1-i∣Or,

1-i=(1+i)donc ∣1-i∣=∣1+i∣Donc,

∣z4∣=1 ∣z5∣=∣3-2i∣ ∣2-3i∣Or, Donc, ∣z8∣=∣1

2∣511

=1511=1

Inverse d'un nombre complexe non nul

zÎC*,1 z=z zz=z

Nombres complexes. Représentation

géométrique. Notation exponentielle. Cas particulier : nombre complexe de module 1∣z∣=11 z=z

12=zL'inverse d'un nombre complexe de module 1 est égal à son conjugué.

2.6. Exercices

a) Déterminer l'ensemble des points M d'affixeztels que : ∣z-2 z+1-i∣=1Première méthode (méthode algébrique) z=x+iyx∈ℝy∈ℝ

On doit avoir z≠-1+i

z-2=x-2+iy z+1-i=x+1+i(y-1) ∣z-2 z+1-i∣=1Û ∣z-2∣ ∣z+1-i∣=1Û

Ûx2-4x+4+y2=x2+2x+1+y2-2y+1

Û-6x+2y+2=0

Ûy=3x-1

L'ensemble cherché est la droite (D) d'équation y=3x-1Deuxième méthode (méthode géométrique)

A(-1+i)

B(2)M(z)

⃗AM(z+1-i)⃗BM(z-2) ∣z+1-i∣=AM∣z-2∣=BM ∣z-2 z+1-i∣=1Û ∣z-2∣ ∣z+1-i∣=1Û BM

AM=1ÛAM=BM

L'ensemble des points

Mcherché est la médiatrice du segment [AB].

Nombres complexes. Représentation

géométrique. Notation exponentielle.

3. Forme trigonométrique et forme exponentielle d'un nombre complexe non nul

3.1. Argument d'un nombre complexe non nul

(O;⃗u,⃗v)est un repère orthonormé direct du plan complexe.

L'unité de mesure des angles est le radian.

zÎC*,z=a+bi

M est l'image ponctuelle dez.

l'angle(quotesdbs_dbs29.pdfusesText_35

[PDF] conjugue les verbes entre parenthèses au présent de lindicatif

[PDF] conjuguer les verbes entre parenthèses au passé composé

[PDF] conjuguer les verbes entre parenthèses au temps qui convient

[PDF] mets les verbes entre parenthèses au présent

[PDF] tout les temps de l'indicatif

[PDF] pluperfect en anglais

[PDF] preterit be ing ou preterit simple

[PDF] preterit have

[PDF] preterit be ing equivalent francais

[PDF] pluperfect be ing

[PDF] preterit be anglais

[PDF] prétérit continu

[PDF] exercices temps verbaux français

[PDF] passé présent futur ce2 pdf

[PDF] exercice passé présent futur ce2 a imprimer