Le module les arguments
http://tanopah.jo.free.fr/ADS/bloc14/vtsargumentmodule.pdf
Forme trigonométrique dun nombre complexe – Applications
3 Forme exponentielle Module et argument de l'opposé et du conjugué . ... Deux vecteurs sont égaux si et seulement si leurs affixes sont égales.
Exercices : Argument dun nombre complexe Corrigés en vidéo et le
Écrire un nombre complexe sous forme trigonométrique et exponentielle. 1) Déterminer le module et un argument des nombres complexes suivants :.
Nombres complexes
On note U l'ensemble des nombres complexes de module 1. Exponentielle imaginaire pure. Définition : Soit ? ? R on appelle exponentielle imaginaire d'angle
1 Généralités 2 Écriture exponentielle
Groupe des nombres complexes de module 1 noté U. On pose ei? = cos? + un nombre complexe non nul admet une infinité d'arguments qui diffèrent.
Nombres complexes 1 Forme cartésienne forme polaire
Exercice 3 Effectuer les calculs suivants : 1. (3 + 2i)(1 ? 3i). 2. Produit du nombre complexe de module 2 et d'argument ?/3 par le
Nombres complexes
Exercice 15. Soit z un nombre complexe de module ? d'argument ?
V Douine – Terminale – Maths expertes – Nombres complexes
On définit le module et l'argument de ce complexe de la façon suivante : • On appelle module d'un Ecrire les nombres complexes sous forme exponentielle.
Fiche de cours Nombres complexes
Exponentielle complexe argument d'un complexe non nul partie réelle et leur partie imaginaire
NOMBRES COMPLEXES (Partie 2)
I. Module et argument d'un nombre complexe. 1) Module. Définition : Soit un nombre complexe z = a + ib. On appelle module de z le nombre réel positif
Forme trigonométrique
d"un nombre complexe - ApplicationsChristophe ROSSIGNOL
Année scolaire 2019/2020Table des matières
1 Représentation géométrique d"un nombre complexe
21.1 Rappels : affixe d"un point
21.2 Affixe d"un vecteur
32 Forme trigonométrique3
2.1 Argument d"un nombre complexe non nul
32.2 Forme trigonométrique d"un complexe non nul
52.3 Égalité de deux nombres complexes
62.4 Cas d"un produit ou d"un quotient
63 Forme exponentielle7
4 Applications géométriques des nombres complexes
74.1 Distances et angles orientés
74.2 Caractérisation des cercles et des médiatrices
84.3 Pour aller plus loin...
8Table des figures
1 Interprétation géométrique
22 Argument d"un nombre complexe
43 Module et argument de l"opposé et du conjugué
44 Forme trigonométrique d"un nombre complexe
55 Triangle rectangle isocèle direct
96 Triangle équilatéral
9 ?Ce cours est placé sous licence Creative Commons BY-SAhttp://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
11 REPRÉSENTATION GÉOMÉTRIQUE D"UN NOMBRE COMPLEXE
1 Représentation géométrique d"un nombre complexe
1.1 Rappels : affixe d"un pointDéfinition :Soit(O;?u;?v)un repère orthonormé direct etzun nombre complexe de forme algébrique
z=a+ib. Le p ointM(a;b)est appeléimage de z. (voir figure1 )On dit que Ma pouraffixe z.
La distance OMest appeléemo dulede z. On note|z|=OM.Figure1 - Interprétation géométrique Conséquences :1.L"ensem bledes nom bresréels est représen tépar l"axe des abscisses. L"ensemble des imaginaires purs est représenté par l"axe des ordonnés. 2.On a |z|=⎷a
2+b2.3.|z|= 0si et seulement siz= 0.Propriété :Soitz?C.
On a :
|z|2=zzDémonstration :
On notez=a+ibla forme algébrique du complexez.
zz= (a+ib)(a-ib) =a2-(ib)2=a2+b2=|z|2Propriété :Affixe du milieu d"un segmentSoitAetBdeux points d"affixes respectiveszAetzB.
On noteIle milieu du segment[AB].
Alors, l"affixe deIest :
zI=zA+zB2
Exercice :Démontrer cette propriété à l"aide des coordonnées du milieu d"un segment. 22 FORME TRIGONOMÉTRIQUE 1.2 Affixe d"un vecteur
1.2 Affixe d"un vecteur
Définition :Soit-→wun vecteur de coordonnées?a b?On appelle
affixe de -→wle complexez=a+ib.Propriété 1 :SoientAetBdeux points d"affixes respectiveszAetzB. Alors, le vecteur--→ABa comme affixezB-zA.Démonstration : SizA=xA+iyAetzB=xB+iyB(formes algébriques), alorsA(xA;yA)etB(xB;yB).Les coordonnées du vecteur
--→ABsont donc?xB-xA y B-yA? . Par suite, son affixe est : z= (xB-xA) +i(yB-yA) = (xB+iyB)-(xA+iyA) =zB-zA Remarques :Il découle facilement des règle de calcul sur les coordonnées de vecteurs que : 1. Deux v ecteursson tégaux si et seuleme ntsi leurs affixes son tégales 2. Si -→wet-→w?sont deux vecteurs d"affixes respectiveszetz?etkun réel : l"affixe de -→w+-→w?estz+z?; l"affixe de k-→westkz. 3.On p eutdonc utiliser les affixes p ourdéterminer une colinéarité de v ecteurs,don cp ourd éterminer
un parallélisme ou un alignement. Exercices :66, 67, 70 page 2541- 68, 69 page 2542[TransMath]2 Forme trigonométrique d"un nombre complexe non nul
2.1 Argument d"un nombre complexe non nulDéfinition :Soitzun nombre complexenon n ulet Mle point d"affixez(voir figure2 ).
On appelle
argumen t de ztoute mesure en radians de l"angle? ?u;--→OM? . On le notearg(z). il est définià2kπprès (k?Z).
On a donc :
arg(z) =? ?u;--→OM? [2π]Remarques :1.Si zest un réel, c"est-à-direz=a: si a >0,|z|=aetarg(z) = 0 si a <0,|z|=-aetarg(z) =π 2.Si zest un imaginaire pur, c"est-à-direz=ib:
si b >0,|z|=betarg(z) =π2 si b <0,|z|=-betarg(z) =-π2 Propriété :Module et argument de l"opposé et du conjugué Soitzun complexe non nul etM1,M2,M3etM4les points d"affixes respectivesz,z,-zet-z. Par des considérations géométriques simples sur la figure 3 , on obtient : |z|=|z|=|-z|=|-z| arg(z) =-arg(z) [2π] arg(-z) =π+ arg(z) [2π] arg(-z) =π-arg(z) [2π]1. Affixe d"un point, d"un vecteur.2. Ensembles de points
32.1 Argument d"un nombre complexe non nul 2 FORME TRIGONOMÉTRIQUE
Figure2 - Argument d"un nombre complexeFigure3 - Module et argument de l"opposé et du conjugué 42 FORME TRIGONOMÉTRIQUE 2.2 Forme trigonométrique d"un complexe non nul
Exercices :72, 73, 74 page 2543[TransMath]
2.2 Forme trigonométrique d"un complexe non nulThéorème - Définition :Tout nombre complexe non nulzs"écrit sous la forme suivante :
z=r(cos(θ) +isin(θ))avecr=|z|etθ= arg(z) [2π]Cette forme est appelée
for metrigonométrique du complexe z.Démonstration :On noteMle point d"affixez,r=OMetθ=?
?u;--→OM? [2π]. La demi-droite[OM)coupe le cercle trigonométrique en un pointA(voir figure4 ).Les coordonnées deAsont(cos(θ) ; sin(θ))et, comme--→OM=r-→OA, les coordonnées deMsont
(rcos(θ) ;rsin(θ)).L"affixe deMest donc :
z=r(cos(θ) +isin(θ))Figure4 - Forme trigonométrique d"un nombre complexeExercice :22 page 2444[TransMath]Lien entre forme algébrique et forme trigonométrique :Soitzun complexe non nul de forme al-
gébriquez=a+ibet de forme trigonométriquez=r(cosθ+isinθ). Alors :Si l"on c onnaîtretθ:?
a=rcosθ b=rsinθSi l"on c onnaîtaetb:
r=|z|=?a2+b2et?
cosθ=ar sinθ=brExemple :Soitz=⎷3-i.
r=???⎷3-i???=?? ⎷32+ (-1)2=⎷3 + 1 =
⎷4 = 2 cosθ=⎷3 2 sinθ=-12On a doncarg(z) =θ=-π6
[2π]. Exercices :20 page 244 et 77 page 2555- 90 page 2566[TransMath]3. Argument d"un nombre complexe.4. Forme trigonométrique d"un complexe non nul.
5. Passage de la forme algébrique à la forme trigonométrique.
6. Ensembles de points.
52.3 Égalité de deux nombres complexes 2 FORME TRIGONOMÉTRIQUE
2.3 Égalité de deux nombres complexes
Propriété :Égalité de deux complexes
Les complexesz=r(cosθ+isinθ)etz?=r?(cosθ?+isinθ?)avecr >0etr?>0sontégaux si et seulement si : r=r?θ=θ?[2π]Remarque :Attention!L"h ypothèser >0est essentielle pour obtenir la forme trigonométrique d"un
nombre complexe. Exemples :Donner la forme trigonométrique des complexesz1=-3?cos?π4 ?+isin?π4 ??etz2= 2?cos?π6 ?-isin?π6 La forme d onnéep ourz1n"est pas une forme trigonométrique :z1=-3?cos?π4 ?+isin?π4On a :z1= 3?-cos?π4
?-isin?π4 ??avec? cos?5π4 ?=-cos?π4 sin ?5π4 ?=-sin?π4 La forme trigonométrique dez1est donc :z1= 3?cos?5π4 ?+isin?5π4 ??, c"est-à-dire|z1|= 3et arg(z1) =5π4 [2π]. La forme d onnéep ourz2n"est pas une forme trigonométrique :z2= 2?cos?π6 ?-isin?π6On a :z2= 2?cos?π6
?+i?-sin?π6 ???avec? cos?-π6 ?= cos?π6 sin ?-π6 ?=-sin?π6 La forme trigonométrique dez2est donc :z2= 2?cos?-π6 ?+isin?-π6 ??, c"est-à-dire|z2|= 2et arg(z2) =-π6 [2π].Exercice :78 page 2557[TransMath]
2.4 Cas d"un produit ou d"un quotientPropriété :Module et argument d"un produit et d"un quotient
Soientzetz?deux nombres complexes non nuls. On a : |zz?|=|z| × |z?|etarg(zz?) =arg(z) + arg(z?) [2π]???zz ????=|z||z?|etarg?zz arg(z)-arg(z?) [2π]Démonstration (partielle) : On notez=r(cosθ+isinθ)etz?=r?(cosθ?+isinθ?)les formes trigonométriques dezet dez?.On a donc :?
|z|=r arg(z) =θ[2π]et? |z?|=r? arg(z?) =θ?[2π]De plus :
zz =rr?[(cosθcosθ?-sinθsinθ?) +i(cosθsinθ?+ sinθcosθ?)] =rr?[cos(θ+θ?) +isin(θ+θ?)] Donc, d"après l"unicité de la forme trigonométrique : |zz?|=rr? arg(zz?) =θ+θ?[2π] Exercice :En suivant un raisonnement analogue, montrer la deuxième partie de la propriété. Remarques :1.Si nest un entier naturel non nul etzun complexe non nul : |zn|=|z|netarg(zn) =narg(z) [2π]7. Détermination de formes trigonométriques. 64 APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES DES NOMBRES COMPLEXES
2.Si zun complexe non nul :????1z
???=1|z|etarg?1z =-arg(z) [2π] Exercices :76 page 254; 79, 80, 81 page 2558- 99, 101 page 2579- [TransMath]3 Forme exponentielle d"un complexe non nulDéfinition :Pour toutθ?R, on note :
e iθ= cosθ+isinθRemarque :" eiθ» se lit " exponentielle deiθ».Exemples :
ei0= 1eiπ2 =ieiπ=-1e-iπ2 =-ieiπ4 =⎷2 2 +i⎷2 2Propriété :Soientθetθ?deux réels.
e iθeiθeiθ?=ei(θ-θ?)Remarques :1.La démonstration de cette pr opriétéest la même que celle du 2.4 , en prenantr=r?= 1.
2.On retrouv eles propriétés " classiques » de l"exp onentielle,ce qui justifi een partie la notation.
3. L"exp onentiellecomplexe se man ipulecomme une puissance, ce qui rend les calcu lssur les argumen ts plus faciles.Propriété 2 :Formule deMoivreSoitθun réel etnun entier naturel. On a :
?eiθ?n=einθRemarque :1.C"est une conséquence directe de la Propriété 1. Ce résultat se montre par récurrence
surn. 2.On a don c:
(cos(θ) +isin(θ))n= cos(nθ) +isin(nθ)Propriété :Soientθetθ?deux réels. eiθ=eiθ?équivaut àθ=θ?[2π].Définition :Tout nombre complexeznon nul, dont un argument estθ, peut s"écrire sous la
forme :z=|z|eiθ;Cette écriture est appelée
forme exp onentielledu complexe z.Remarque :En particulier, tous les complexes de module1admettent une écriture de la forme eiθ.
Exercices :23 page 245 et 83 page 25510- 24 page 24511- 25 page 245et 84, 85, 87 page 25512- 88 page 25513[TransMath]
4 Applications géométriques des nombres complexes
4.1 Distances et angles orientésThéorème :SoientA,B,CetDquatre points d"affixes respectiveszA,zB,zCetzD.
1.AB=|zB-zA|
2.Si zA?=zB,?-→u;--→AB?
= arg(zB-zA)8. Module et argument d"un produit ou d"un quotient.9. Un ensemble de points.
10. Forme exponentielle.
11. Retrouver le module et l"argument.
12. Produits et quotients.
13. Retrouver les formules de trigonométrie.
74.2 Caractérisation des cercles et des médiatrices4 APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES DES NOMBRES COMPLEXES
Démonstration :
On supposera queAetBne sont pas confondus (c"est-à-direzA?=zB). SoitMle point tel que--→OM=--→AB. L"affixe deMestzB-zA.
Par définition de la forme trigonométrique des nombres complexes, on a :?OM=|zB-zA|?-→u;--→OM?
= arg(zB-zA).Par suite :AB=OM=|zB-zA|et?-→u;--→AB?
=?-→u;--→OM? = arg (zB-zA). Exercices :26, 27 page 246 et 91, 92 page 25614- 89 page 25615- 28 page 246 et 111 page 26016TransMath
4.2 Caractérisation des cercles et des médiatricesPropriété 1 :SoitCle cercle de centreΩd"affixeωet de rayonR.
Le pointMd"affixezest sur lecercl eCsi et seulement si|z-ω|=R.Démonstration :M? C ??ΩM=R?? |z-ω|=R
Remarque :|z-ω|=Rsi et seulement si il existeθ?Rtel quez-ω=Reiθ, c"est-à-direz=ω+Reiθ.Propriété 2 :Équation paramétrique complexe d"un cercle
SoitCle cercle de centreΩd"affixeωet de rayonR.Le pointMd"affixezest sur lecercl eCsi et seulement si il existeθ?Rtel quez=ω+Reiθ.Propriété 3 :SoientAetBdeux points d"affixes respectivesaetb. On noteΔlamédiatrice de [AB].
Le pointMd"affixezest surΔsi et seulement si|z-a|=|z-b|.Démonstration : M?Δ??Méquisistantde Aetde B??AM=BM?? |z-a|=|z-b| Exercices :93, 94, 96, 97 page 25617- 109, 110 page 26018[TransMath]4.3 Pour aller plus loin...
Module :Exercice 38 page 25119[TransMath]Théorème :SoientA,B,CetDquatre points d"affixes respectiveszA,zB,zCetzD.
SizA?=zBetzC?=zD:?--→AB;--→CD?
= arg?zD-zCzB-zA?Démonstration :
SiCetDne sont pas confondus (c"est-à-direzC?=zD) : ?--→AB;--→CD? =?--→AB;-→u? +?-→u;--→CD? ?-→u;--→CD? -?-→u;--→AB? arg (zD-zC)-arg(zB-zA) arg ?zD-zCzB-zA?14. Nature de polygones.
15. Points alignés.
16. Application géométrique des nombres complexes.
17. Ensembles de points.
18. Type BAC.
19. Utiliser l"affixe d"un vecteur.
84 APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES DES NOMBRES COMPLEXES 4.3 Pour aller plus loin...
Remarques :1.Les p ointsA,BetCsontalignés si et seuleme ntsi arg?z C-zAz B-zA? = 0 [π](c"est-à-dire z C-zAzB-zAréel).
2. Les droites (AB)et(CD)sontp erpendiculairessi et seuleme ntsi arg?z D-zCz B-zA? π2 [π](c"est-à-dire z D-zCzB-zAimaginaire pur).
Un cas particulier important :SiA,BetMsont trois points distincts d"affixes respectivesa,betz, alors?--→MA;--→MB? = arg? b-za-z? . Or, b-za-z=z-bz-adonc : --→MA;--→MB? = arg?z-bz-a? Remarque :Cette relation est utilisée pour déterminer des ensembles de points.Applications :Triangles particuliers
Dans la suite,A,BetCdésignent trois points d"abscisses respectiveszA,zBetzC.1.Triangle rectangle rectangle isocèle direct(voir figure5 )Figure5 - Triangle rectangle isocèle direct
ABCtrianglerectangle iso cèledirect en A??zC-zAzB-zA=i
2.Triangle équilatéral(voir figure6 )Figure6 - Triangle équilatéral
ABCtriangleéquilatéral direct ??zC-zAz
B-zA=eiπ3
Exercices :102 page 25720- 123 page 26321[TransMath]20. Restitution organisée des connaissances.21. Nombres complexes et géométrie.
9 [TransMath] transMA THT ermS, p rogramme2012 ( Nathan) 3 5 6 7 8 9 10quotesdbs_dbs22.pdfusesText_28[PDF] L 'argument de valeur dans le discours politique
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