[PDF] Nombres complexes 1 Forme cartésienne forme polaire

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Biblioth`eque d"exercices

´Enonc´es

L1Feuille n◦1Nombres complexes

1 Forme cart´esienne, forme polaire

Exercice 1Mettre sous la formea+ib(a,b?R) les nombres :

3 + 6i3-4i;?1 +i2-i?

2 +3 + 6i3-4i;2 + 5i1-i+2-5i1 +i.

Exercice 2

´Ecrire sous la formea+ibles nombres complexes suivants :

1. Nombre de module 2 et d"argumentπ/3.

2. Nombre de module 3 et d"argument-π/8.

Exercice 3Effectuer les calculs suivants :

1. (3 + 2i)(1-3i).

2. Produit du nombre complexe de module 2 et d"argumentπ/3 par le nombre complexe de

module 3 et d"argument-5π/6. 3.

3+2i1-3i.

4. Quotient du nombre complexe de module 2 et d"argumentπ/3 par le nombre complexe

de module 3 et d"argument-5π/6.

Exercice 4

´Etablir les ´egalit´es suivantes :

1. (cos(π/7) +isin(π/7))(1-i⎷3

2 )(1 +i) =⎷2(cos(5π/84) +isin(5π/84)),

2. (1-i)(cos(π/5) +isin(π/5))(⎷3-i) = 2⎷2(cos(13π/60) +isin(13π/60)),

3. Exercice 5Calculer le module et l"argument deu=⎷6-i⎷2 2 etv= 1-i. En d´eduire le module et l"argument dew=uv Exercice 6D´eterminer le module et l"argument des nombres complexes : e eiαeteiθ+e2iθ. Exercice 7Soitzun nombre complexe de moduleρ, d"argumentθ, et soitzson conjugu´e.

Calculer (z+z)(z2+z

2)...(zn+z

n) en fonction deρetθ.

Exercice 8Mettre sous forme trigonom´etrique 1+eiθo`uθ?]-π,π[. Donner une interpr´etation

g´eom´etrique. 1

2 Racines carr´ees, ´equation du second degr´e

Exercice 9Calculer les racines carr´ees de 1, i,3 + 4i,8-6i,et 7 + 24i. Exercice 10Trouver les racines carr´ees de 3-4iet de 24-10i. Exercice 111. Calculer les racines carr´ees de1+i⎷2 . En d´eduire les valeurs de cos(π/8) et sin(π/8).

2. Calculer les valeurs de cos(π/12) et sin(π/12).

Exercice 12Montrer que les solutions deaz2+bz+c= 0 aveca,b,cr´eels, sont r´eelles ou conjugu´ees. Exercice 13R´esoudre dansCles ´equations suivantes : z

2+z+ 1 = 0 ;z2-(1 + 2i)z+i-1 = 0 ;z2-⎷3z-i= 0 ;

z

2-(5-14i)z-2(5i+ 12) = 0 ;z2-(3 + 4i)z-1 + 5i= 0 ; 4z2-2z+ 1 = 0 ;

z

4+ 10z2+ 169 = 0 ;z4+ 2z2+ 4 = 0.

Exercice 14R´esoudre dansCles ´equations suivantes :

1.z2-(11-5i)z+ 24-27i= 0.

2.z3+ 3z-2i= 0.

3 Racinen-i`eme

Exercice 15R´esoudre dansCl"´equationz3=14

(-1 +i) et montrer qu"une seule de ses solu- tions a une puissance quatri`eme r´eelle. Exercice 16Trouver les racines cubiques de 2-2iet de 11 + 2i.

Exercice 17Calculer1+i⎷3

2⎷2(1+i)2

alg´ebriquement, puis trigonom´etriquement. En d´eduire cosπ12 sin

π12

, tanπ12 , tan5π12 . R´esoudre dansCl"´equationz24= 1. Exercice 18Calculer la sommeSn= 1 +z+z2+···+zn. Exercice 191. R´esoudrez3= 1 et montrer que les racines s"´ecrivent 1,j,j2. Calculer

1 +j+j2et en d´eduire les racines de 1 +z+z2= 0.

2. R´esoudrezn= 1 et montrer que les racines s"´ecrivent 1,ε,...,εn-1. En d´eduire les racines

de 1 +z+z2+···+zn-1= 0. Calculer, pourp?N, 1 +εp+ε2p+···+ε(n-1)p. Exercice 20 (partiel novembre 91)1. Soientz1,z2,z3trois nombres complexes distincts ayant le mˆeme cube.

Exprimerz2etz3en fonction dez1.

2. Donner, sous forme polaire, les solutions dansCde :

z

6+ (7-i)z3-8-8i= 0.

(Indication : poserZ=z3; calculer (9 +i)2) 2

4 G´eom´etrie

Exercice 21D´eterminer l"ensemble des nombres complexesztels que :

1.????z-3z-5?

???= 1, 2. ????z-3z-5? ???=⎷2 2

Exercice 22D´eterminer par le calcul et g´eom´etriquement les nombres complexesztels que???z-3z-5???= 1. G´en´eraliser pour???z-az-b???= 1.

Exercice 23D´eterminer par le calcul et g´eom´etriquement les nombres complexesztels que???z-3z-5???=k(k >0,k?= 1). G´en´eraliser pour???z-az-b???=k.

Exercice 241. SoitA,B,Ctrois points du plan complexe dont les affixes sont respective- menta,b,c. On suppose quea+jb+j2c= 0; montrer queABCest un triangle ´equilat´eral (jetj2sont les racines cubiques complexes de 1 - plus pr´ecis´ementj=-1+i⎷3 2

R´eciproque?

2.ABC´etant un triangle ´equilat´eral direct du plan complexe, on construit les triangles

´equilat´eraux directsBODetOCE, ce qui d´etermine les pointsDetE(Oest l"origine du plan complexe). Quelle est la nature du quadrilat`ereADOE? Comparer les triangles

OBC,DBAetEAC.

Exercice 25Montrer que pouru,v?C, on a|u+v|2+|u-v|2= 2(|u|2+|v|2). Exercice 26 (Comment construire un pentagone r´egulier?)Soit (A0,A1,A2,A3,A4) un

pentagone r´egulier. On noteOson centre et on choisit un rep`ere orthonorm"e (O,-→u ,-→v) avec-→u=--→OA0, qui nous permet d"identifier le plan avec l"ensemble des nombres complexesC.

1. Donner les affixesω0,...,ω4des pointsA0,...,A4. Montrer queωk=ω1kpourk?

{0,1,2,3,4}. Montrer que 1 +ω1+ω21+ω31+ω41= 0.

2. En d´eduire que cos(

2π5

) est l"une des solutions de l"´equation 4z2+2z-1 = 0. En d´eduire la valeur de cos(

2π5

3. On consid`ere le pointBd"affixe-1. Calculer la longueurBA2en fonction de sinπ10

puis de⎷5 (on remarquera que sin

π10

= cos2π5

4. On consid`ere le pointId"affixei2

, le cercleCde centreIde rayon12 et enfin le pointJ d"intersection deCavec la demi-droite [BI). Calculer la longueurBIpuis la longueur BJ.

5.Application :Dessiner un pentagone r´egulier `a la r`egle et au compas. Expliquer.

5 Trigonom´etrie

Exercice 27En utilisant les nombres complexes, calculer cos5θet sin5θen fonction de cosθ et sinθ. Exercice 28R´esoudre dansRles ´equations suivantes :

1. cos

2(x)-sin2(x) = sin(3x).

2. cos

4(x)-sin4(x) = 1.

3

6 Divers

Exercice 29 (Entiers de Gauss)SoitZ[i] ={a+ib;a,b?Z}.

1. Montrer que siαetβsont dansZ[i] alorsα+βetαβle sont aussi.

2. Trouver les ´elements inversibles deZ[i], c"est-`a-dire les ´el´ementsα?Z[i] tels qu"il existe

β?Z[i] avecαβ= 1.

3. V´erifier que quel que soitω?Cil existez?Z[i] tel que|ω-z|<1.

4. Montrer qu"il existe surZ[i] une division euclidienne, c"est-`a-dire que, quels que soientα

etβdansZ[i] il existeqetrdansZ[i] v´erifiant :

α=βq+ravec|r|<|β|.

(Indication : on pourra consid´erer le complexe Exercice 301. Montrer que six+y+z=a,yz+zx+xy=b,xyz=c, alorsx,yetzsont solutions de l"´equationZ3-aZ2+bZ-c= 0. Trouverx,yetzsi on supposea=b= 0 etc=-8.

2. R´esoudre le syst`eme

?x+y+z= 4 x

2+y2+z2= 4

x

3+y3+z3= 1

7 Forme cart´esienne, forme polaire

Exercice 31Mettre sous la formea+ib(a,b?R) les nombres :

3 + 6i3-4i;?1 +i2-i?

2 +3 + 6i3-4i;2 + 5i1-i+2-5i1 +i.

Exercice 32

´Ecrire sous la formea+ibles nombres complexes suivants :

1. Nombre de module 2 et d"argumentπ/3.

2. Nombre de module 3 et d"argument-π/8.

Exercice 33Effectuer les calculs suivants :

1. (3 + 2i)(1-3i).

2. Produit du nombre complexe de module 2 et d"argumentπ/3 par le nombre complexe de

module 3 et d"argument-5π/6. 3.

3+2i1-3i.

4. Quotient du nombre complexe de module 2 et d"argumentπ/3 par le nombre complexe

de module 3 et d"argument-5π/6.

Exercice 34

´Etablir les ´egalit´es suivantes :

1. (cos(π/7) +isin(π/7))(1-i⎷3

2 )(1 +i) =⎷2(cos(5π/84) +isin(5π/84)),

2. (1-i)(cos(π/5) +isin(π/5))(⎷3-i) = 2⎷2(cos(13π/60) +isin(13π/60)),

3. 4 Exercice 35Calculer le module et l"argument deu=⎷6-i⎷2 2 etv= 1-i. En d´eduire le module et l"argument dew=uv Exercice 36D´eterminer le module et l"argument des nombres complexes : e eiαeteiθ+e2iθ. Exercice 37Soitzun nombre complexe de moduleρ, d"argumentθ, et soitzson conjugu´e.

Calculer (z+z)(z2+z

2)...(zn+z

n) en fonction deρetθ. Exercice 38Mettre sous forme trigonom´etrique 1 +eiθo`uθ?]-π,π[. Donner une in- terpr´etation g´eom´etrique.

8 Racines carr´ees, ´equation du second degr´e

Exercice 39Calculer les racines carr´ees de 1, i,3 + 4i,8-6i,et 7 + 24i. Exercice 40Trouver les racines carr´ees de 3-4iet de 24-10i. Exercice 411. Calculer les racines carr´ees de1+i⎷2 . En d´eduire les valeurs de cos(π/8) et sin(π/8).

2. Calculer les valeurs de cos(π/12) et sin(π/12).

Exercice 42Montrer que les solutions deaz2+bz+c= 0 aveca,b,cr´eels, sont r´eelles ou conjugu´ees. Exercice 43R´esoudre dansCles ´equations suivantes : z

2+z+ 1 = 0 ;z2-(1 + 2i)z+i-1 = 0 ;z2-⎷3z-i= 0 ;

z

2-(5-14i)z-2(5i+ 12) = 0 ;z2-(3 + 4i)z-1 + 5i= 0 ; 4z2-2z+ 1 = 0 ;

z

4+ 10z2+ 169 = 0 ;z4+ 2z2+ 4 = 0.

Exercice 44R´esoudre dansCles ´equations suivantes :

1.z2-(11-5i)z+ 24-27i= 0.

2.z3+ 3z-2i= 0.

9 Racinen-i`eme

Exercice 45R´esoudre dansCl"´equationz3=14

(-1 +i) et montrer qu"une seule de ses solu- tions a une puissance quatri`eme r´eelle. Exercice 46Trouver les racines cubiques de 2-2iet de 11 + 2i.

Exercice 47Calculer1+i⎷3

2⎷2(1+i)2

alg´ebriquement, puis trigonom´etriquement. En d´eduire cosπ12 sin

π12

, tanπ12 , tan5π12 . R´esoudre dansCl"´equationz24= 1. Exercice 48Calculer la sommeSn= 1 +z+z2+···+zn. 5 Exercice 491. R´esoudrez3= 1 et montrer que les racines s"´ecrivent 1,j,j2. Calculer

1 +j+j2et en d´eduire les racines de 1 +z+z2= 0.

2. R´esoudrezn= 1 et montrer que les racines s"´ecrivent 1,ε,...,εn-1. En d´eduire les racines

de 1 +z+z2+···+zn-1= 0. Calculer, pourp?N, 1 +εp+ε2p+···+ε(n-1)p. Exercice 50 (partiel novembre 91)1. Soientz1,z2,z3trois nombres complexes distincts ayant le mˆeme cube.

Exprimerz2etz3en fonction dez1.

2. Donner, sous forme polaire, les solutions dansCde :

z

6+ (7-i)z3-8-8i= 0.

(Indication : poserZ=z3; calculer (9 +i)2)

10 G´eom´etrie

Exercice 51D´eterminer l"ensemble des nombres complexesztels que :

1.????z-3z-5?

???= 1, 2. ????z-3z-5? ???=⎷2 2

Exercice 52D´eterminer par le calcul et g´eom´etriquement les nombres complexesztels que???z-3z-5???= 1. G´en´eraliser pour???z-az-b???= 1.

Exercice 53D´eterminer par le calcul et g´eom´etriquement les nombres complexesztels que???z-3z-5???=k(k >0,k?= 1). G´en´eraliser pour???z-az-b???=k.

Exercice 541. SoitA,B,Ctrois points du plan complexe dont les affixes sont respective- menta,b,c. On suppose quea+jb+j2c= 0; montrer queABCest un triangle ´equilat´eral (jetj2sont les racines cubiques complexes de 1 - plus pr´ecis´ementj=-1+i⎷3 2

R´eciproque?

2.ABC´etant un triangle ´equilat´eral direct du plan complexe, on construit les triangles

´equilat´eraux directsBODetOCE, ce qui d´etermine les pointsDetE(Oest l"origine du plan complexe). Quelle est la nature du quadrilat`ereADOE? Comparer les triangles

OBC,DBAetEAC.

Exercice 55Montrer que pouru,v?C, on a|u+v|2+|u-v|2= 2(|u|2+|v|2). Exercice 56 (Comment construire un pentagone r´egulier?)Soit (A0,A1,A2,A3,A4) un

pentagone r´egulier. On noteOson centre et on choisit un rep`ere orthonorm"e (O,-→u ,-→v) avec-→u=--→OA0, qui nous permet d"identifier le plan avec l"ensemble des nombres complexesC.

1. Donner les affixesω0,...,ω4des pointsA0,...,A4. Montrer queωk=ω1kpourk?

{0,1,2,3,4}. Montrer que 1 +ω1+ω21+ω31+ω41= 0. 6

2. En d´eduire que cos(

2π5

) est l"une des solutions de l"´equation 4z2+2z-1 = 0. En d´eduire la valeur de cos(

2π5

3. On consid`ere le pointBd"affixe-1. Calculer la longueurBA2en fonction de sinπ10

puis de⎷5 (on remarquera que sin

π10

= cos2π5

4. On consid`ere le pointId"affixei2

, le cercleCde centreIde rayon12 et enfin le pointJ d"intersection deCavec la demi-droite [BI). Calculer la longueurBIpuis la longueur BJ.

5.Application :Dessiner un pentagone r´egulier `a la r`egle et au compas. Expliquer.

11 Trigonom´etrie

Exercice 57En utilisant les nombres complexes, calculer cos5θet sin5θen fonction de cosθ et sinθ. Exercice 58R´esoudre dansRles ´equations suivantes :

1. cos

2(x)-sin2(x) = sin(3x).

2. cos

4(x)-sin4(x) = 1.

12 Divers

Exercice 59 (Entiers de Gauss)SoitZ[i] ={a+ib;a,b?Z}.

1. Montrer que siαetβsont dansZ[i] alorsα+βetαβle sont aussi.

2. Trouver les ´elements inversibles deZ[i], c"est-`a-dire les ´el´ementsα?Z[i] tels qu"il existe

β?Z[i] avecαβ= 1.

3. V´erifier que quel que soitω?Cil existez?Z[i] tel que|ω-z|<1.

4. Montrer qu"il existe surZ[i] une division euclidienne, c"est-`a-dire que, quels que soientα

etβdansZ[i] il existeqetrdansZ[i] v´erifiant :

α=βq+ravec|r|<|β|.

(Indication : on pourra consid´erer le complexe Exercice 601. Montrer que six+y+z=a,yz+zx+xy=b,xyz=c, alorsx,yetzsont solutions de l"´equationZ3-aZ2+bZ-c= 0. Trouverx,yetzsi on supposea=b= 0 etc=-8.

2. R´esoudre le syst`eme

?x+y+z= 4 x

2+y2+z2= 4

x

3+y3+z3= 1

7

Biblioth`eque d"exercicesIndications

L1Feuille n◦1Nombres complexes

Indication 4Utiliser la formule de Moivre.

Indication 6Pour le premier utiliser la formule de Moivre. Pour le second factoriser par e iθ+2iθ2 Indication 7Faire apparaˆıtre des termes en cos(kθ).

Indication 9

´Ecrirez=a+ib, on cherche les racines carr´eesω=α+iβ.`A partir de l"´equation

2=z, identifier les parties r´eelles et imaginaires. Vous obtenez deux ´equations. Pour simplifier

la r´esolutions rajouter l"´equation obtenue par l"´egalit´e|ω|2=|z|.

Indication 18Calculer (1-z)Sn.

Indication 21Le premier ensemble est une droite le second est un cercle. Indication 27Appliquer deux fois la formule de Moivre en remarquantei5θ= (eiθ)5.

Indication 34Utiliser la formule de Moivre.

Indication 36Pour le premier utiliser la formule de Moivre. Pour le second factoriser par e iθ+2iθ2 Indication 37Faire apparaˆıtre des termes en cos(kθ).

Indication 39

´Ecrirez=a+ib, on cherche les racines carr´eesω=α+iβ.`A partir de

l"´equationω2=z, identifier les parties r´eelles et imaginaires. Vous obtenez deux ´equations.

Pour simplifier la r´esolutions rajouter l"´equation obtenue par l"´egalit´e|ω|2=|z|.

Indication 48Calculer (1-z)Sn.

Indication 51Le premier ensemble est une droite le second est un cercle. Indication 57Appliquer deux fois la formule de Moivre en remarquantei5θ= (eiθ)5. 1

Biblioth`eque d"exercicesCorrections

L1Feuille n◦1Nombres complexes

Correction 1Remarquons d"abord que pourz?C,zz=|z|2est un nombre r´eel.

3 + 6i3-4i=(3 + 6i)(3 + 4i)(3-4i)(3 + 4i)=9-24 + 12i+ 18i9 + 16

=-15 + 30i25 =-35 +65
i.

Calculons

1 +i2-i=(1 +i)(2 +i)3

=1 + 3i3 et ?1 +i2-1? 2 =?1 + 3i3 2 =-8 + 6i9 =-89 +69
i. Donc ?1 +i2-1? 2 +3 + 6i3-4i=-89 +69
-35 +65
i=-6745 +8445
i.

Soitz=2+5i1-i. Calculonsz+z, nous savons d´ej`a que c"est un nombre r´eel, plus pr´ecis´ement :

z=-32 +72
iet doncz+z=-3.

Correction 21. 1 +i⎷3.

2. 3cos

π8 -3isinπ8 =3⎷2+ ⎷2 2 -3i⎷2-⎷2 2

Correction 39-7i;-6i;-0,3 + 1,1i;-⎷3

3 -i3 Correction 4Il s"agit juste d"appliquer la formule de Moivre : e iθ= cosθ+isinθ; ainsi que les formules sur les produits de puissances : e iaeib=ei(a+b)eteia/eib=ei(a-b).

Correction 5Nous avons

u=⎷6-⎷2i2 =⎷2 ⎷3 2 -i2 =⎷2 cosπ6 +isinπ6 =⎷2eiπ6 puis v= 1-i=⎷2e-iπ4

Il ne reste plus qu"`a calculer le quotient :

uv =⎷2eiπ6⎷2e-iπ4 =eiπ6 -iπ4 =eiπ12 1 Correction 6D"apr`es la formule de Moivre poureiαnous avons : e Orecosα>0 donc l"´ecriture pr´ec´edente est bien de la forme "module-argument".

De fa¸con g´en´erale pour calculer un somme du typeeiu+eivil est souvent utile de factoriser par

e iu+v2 . En effet e iu+eiv=eiu+v2 e i(u2 -v2 )+e-i(u2 -v2 =eiu+v2

2cos?u2

-v2 = 2cos ?u2 -v2 e iu+v2 Ce qui est proche de l"´ecriture en coordonn´ees polaires.

Pour le cas qui nous concerne :

z=eiθ+e2iθ=e3iθ2 e -iθ2 +eiθ2 = 2cosθe3iθ2

Attention le module dans une d´ecomposion en forme polaire doit ˆetre positif! Donc si cosθ/2?

0 (i.e.θ?[-π+ 4kπ,+π+ 4kπ] aveck?Z) alors 2cosθest le module dezet 3θest son

argument; par contre si cosθ/2<0 le module est 2|cosθ|et l"argument 3θ+π(le +πcompense

le changement de signe careiπ=-1).

Correction 7

´Ecrivonsz=ρeiθ, alorsz=ρe-iθ. Donc

P= (z+z)(z2+z

2)...(zn+z

n) n? k=1? zk+z k? n? k=1ρ k?(eiθ)k+ (e-iθ)k? n? k=1ρ k?eikθ+e-ikθ)? n? k=12ρkcoskθ = 2 n.ρ.ρ2.....ρnn? k=1coskθ = 2 nρn(n+1)2 n?quotesdbs_dbs22.pdfusesText_28

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