[PDF] Devoir surveillé 2nde. Exercice 1. 4 points.

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Devoir surveillé 2nde

Exercice 1

4 points

Y u, Yv et Yw sont trois vecteurs et O un point. Utiliser le quadrillage d"une feuille pour construire les points M, N, P et Q tels que : \OM = 2 Yu + Yv \ON = - 3 Yu + 2 Yw \OP = 2 3

Yv - 5

2 Yu \OQ = 1 2 (Yu + Yw) - Yv Yw Yv Yu O

Exercice 2

6 points

ABCD est un parallélogramme ; E et F sont les points définis par : \BE = 1 2 \AB et \AF = 3 \AD

On munit le plan du repère (A, \AB , \AD).

1°) Déterminer les coordonnées des points A, B et D.

2°) Exprimer les vecteurs

\AC, \AE et \AF en fonction des vecteurs \AB et \AD, puis en déduire les coordonnées des points C, E et F.

3°) Démontrer, par la méthode de votre choix, que les

points C, E et F sont alignés. A B DC F E

Exercice 3

6 points

Dans un repère ( O ; Yi ; Yj), on donne les points : A ( - 2 ; 3 ) , B ( 1 ; 4 ) , C ( 4 ; 5 ) .

Dans chacun des cas suivants, déterminer analytiquement les coordonnées (x ; y) du point M tel que :

1°)

\BM = \AB 2°) M est le milieu du segment [AC]

3°) 2

\AB + 3 \CM = Y

0 4°) ABCM est un parallélogramme

Exercice 4

4 points

ABCD est un carré et ABI un triangle équilatéral.

1°) Préciser la nature du repère (A,

\AB,\AD).

Le point J a pour coordonnées (())1 +

3

2 ; 1

2

2°) Calculer les longueurs BJ, JC et CB et en déduire

la nature du triangle BJC.

Le point I a pour coordonnées (())

1 2 ;3 2.

3°) Démontrer que les points D, I et J sont alignés. AB

CD I J

Corrigé du devoir surveillé 2nde

Exercice 1

M - 3Yu 2Yw 2 3 Yv - 52 Yu P O - Yv 2Yu Yv N Q

Exercice 2

1°) Déterminer les coordonnées d"un point dans un repère revient à exprimer un " vecteur

position » de ce point en fonction des vecteurs de la base choisie... \AA = 0 \AB+ 0 \AD donc :

A a pour coordonnées (((

)))0 0 \AB= 1 \AB+ 0 \AD donc :

B a pour coordonnées (((

)))1 0 \AD= 0 \AB+ 1 \AD donc :

D a pour coordonnées (((

)))0

1 2°) Ici, le travail est explicitement demandé, mais on a besoin d"hypothèses sur les points C,

E et F :

ABCD est un

parallélogramme \AC = \AB+ \AD = 1 \AB+ 1 \AD donc :

C a pour coordonnées (((

)))1 1 \BE = 1 2 \AB \AE = \AB+ \BE \AB+ 1 2 \AB = 1,5 \AB+ 0 \AD donc :

E a pour coordonnées (((

)))1,5 0 \AF = 3 \AD \AF = 0 \AB+ 3 \AD donc :

F a pour coordonnées (((

)))0 3

3°) Démontrer l"alignement de trois revient à établir la colinéarité de deux vecteurs ayant un

point en commun. Pour cela, deux méthodes possibles : avec ou sans coordonnées ! \CE = \CA + \AE \AB + \AD) + 1,5 \AB = 0,5 \AB - \AD et \CF = \CA + \AF \AB + \AD) + 3 \AD \AB + 2 \AD Ainsi \CF = - 2 (0,5 \AB - \AD) = - 2 \CE Le vecteur \CF a pour coordonnées )))xF - xC y

F - yC = (((

)))0 - 1

3 - 1 = (((

))) - 1 2

Le vecteur

\CE a pour coordonnées )))xE - xC y

E - yC = (((

)))1,5 - 1

0 - 1 = (((

))) 0,5 - 1

Testons la colinéarité :

( - 1) ´ ( - 1) - 0,5 ´ 2 = 1 - 1 = 0 Les vecteurs \CFet \CE sont colinéaires, les points C, E et F sont donc alignés.

Exercice 3

On peut traduire immédiatement les données en posant un système d"équations, mais

résoudre un tel système équivaut à trouver les coordonnées du " vecteur position » \OM, aussi on gagnera à exprimer directement ce vecteur en fonction de vecteurs connus.

1°) \BM = \AB

Û \OM = \OB + \BM = \OB + \AB

Û ????? x = 1 + (1 - (- 2)) = 4

y = 4 + (4 - 3) = 5

Le point M a pour coordonnées (((

)))4 5.

2°) M est le milieu du segment [AC]

)))x y = )))xA + xC 2 yA + yC 2 = ))) - 2 + 4

23 + 5

2 = (((

)))1 4

Le point M a pour coordonnées (((

)))1 4.

3°) 2 \AB + 3 \CM = Y

0

Û 2 \AB + 3 \CO + 3 \OM = Y

0

Û \OM = - 2

3 \AB + \OC x = - 2 3 ( 1 - ( - 2)) + 4 = 2 y = - 2 3 ( 4 - 3) + 5 = 13 3

Le point M a pour coordonnées

)))2 13 3.

4°) ABCM est un parallélogramme

Û \CM = \BA

Û \CO + \OM = \BA

Û \OM = \BA+ \OC

Û ??? x = (- 2 - 1) + 4

y = (3 - 4) + 5

Le point M a pour coordonnées (((

)))1 4.

Exercice 4

1°) ABCD est un carré donc les droites (AB) et (AD) sont perpendiculaires et AB = AD ;

autrement dit, les vecteurs \AB et \AD sont orthogonaux et ont la même norme ||\AB|| = ||\AD|| ; ainsi le repère (A , \AB , \AD) est orthonormé.

2°) Le repère proposé étant orthonormé, on peut calculer les longueurs demandées en utilisant

les formules suivantes : BJ (xJ - xB)2 + (yJ - yB)2 3

22 + (((

)))1 2 2 3 4 + 1 4 = 1 JC (xC - xJ)2 + (yC - yJ)2 3

22 + (((

)))1 2 2 3 4 + 1 4 = 1 CB (xB - xC)2 + (yB - yC)2

02 + (- 1)2

0 + 1 = 1 Ainsi, BJ = JC = CB et le triangle BJC est donc équilatéral.

3°) Calculons les coordonnées des vecteurs \DI et \DJ :

DI((( )))xI - xD y

I - yD =

)))1 2 - 0 3

2 - 1 =

)))1 2 3

2 - 1 \DJ(((

)))xJ - xD y

J - yD =

)))1 + 3 2 - 0 1 2 - 1 = )))1 + 3 2 - 1 2

Testons la condition de colinéarité :

1

2 ´ (((

)))- 1 2 )))3

2 - 1 ´ (((

)))3

2 + 1 = - 1

4 )))3 4 - 1 = - 1 4 - 3 4 + 1 = 0 Ainsi, les vecteurs \DI et \DJ sont colinéaires, donc les points D, I et J sont alignés.quotesdbs_dbs32.pdfusesText_38

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