[PDF] [PDF] Cours de maths S/STI/ES - Vecteurs et trigonométrie

View - Download [PDF] Cours de maths S/STI/ES - Vecteurs et trigonométrie

Previous PDF

Next PDF

Terminale S/ES/STI

Mathématiques

Fiche n°3 - Géométrie plane et trigonométrie Opérations sur les vecteurs, produit scalaire et calcul trigonométrique

J. Paquereau 1/15

Cours : fiche n°3 - Géométrie plane et trigonométrie Thème : opérations sur les vecteurs, produit scalaire et calcul trigonométrique.

Notions abordées Page

2. Trigonométrie : études des fonctions cosinus, sinus et tangente, dérivation et calcul

trigonométrique. 4

3. Vecteurs et opérations : définition, addition, multiplication par un scalaire, norme, linéarité,

relation de Chasles, etc. 9

4. Orthogonalité et colinéarité : produit scalaire, orthogonalité, colinéarité. 11

3. Vecteurs et propriétés : loi des cosinus, inégalité de Cauchy-Schwarz, inégalité triangulaire. 14

1. Rappels

1.1. Cercle trigonométrique

Le cercle trigonométrique est le cercle de centre

Son équation cartésienne est :

quantités ݔ et ݕ sont ici le cosinus et le sinus de

Pour un angle donné :

rigoureuse des fonctions sinus et cosinus. Les définitions rigoureuses de ces fonctions seront le cas échéant étudiées dans le supérieur. Il est représentation en tête !

De cette définition, on tire immédiatement la propriété suivante (théorème de Pythagore) :

Pour tout angle ݔ réel, on a : ܿ

On utilisera aussi la notation ܿ

Terminale S/ES/STI

Mathématiques

Fiche n°3 - Géométrie plane et trigonométrie Opérations sur les vecteurs, produit scalaire et calcul trigonométrique

J. Paquereau 2/15

réciproquement. En effet, pour tout angle ݔ réel : degré et le radian. angle. On peut effectuer une rotation complète ou partielle : ͳ, ଵ ସ , etc.

un tour complet sur soi-même. Il faudra donc 180° pour effectuer un demi-tour, 120° pour effectuer un

tiers de tour ou encore 90° pour effectuer un quart de tour. En radian, on opte pour le dénominateur ʹߨ

périmètre du cercle trigonométrique vaut exactement ʹߨ. Dès lors, il faut ʹߨݎܽ

complet sur soi-même, ߨݎܽ encore గ Autrement dit, si on effectue une rotation de ଵ ௞ tours (avec ݇ un réel quelconque) :

On effectue une rotation de ଷ଺଴

௞ radian(s) Inversement, si on effectue une rotation respectivement de ݔ degré(s) ou ݕ radian(s) :

On effectue exactement ௫

ଷ଺଴ tour(s) On effectue exactement ௬

ݔ degré(s) valent donc ௫

Nous introduisons à présent la notion de " sens de rotation » :

Terminale S/ES/STI

Mathématiques

Fiche n°3 - Géométrie plane et trigonométrie Opérations sur les vecteurs, produit scalaire et calcul trigonométrique

J. Paquereau 3/15

Par ailleurs, il est équivalent de faire 1, 2, 3 voir ݊ tours entiers autours de soi-même. Plus

généralement :

Soit ݔ un angle exprimé en degrés et ݕ un angle exprimé en radians. Soit ݇ un nombre entier. Alors :

En radians, on a par exemple : గ

Exemple : exemple de conversions

Passage de degrés à radians : ͸Ͳιൌ଺଴

Passage de radians à degrés : గ

1.3. Sinus, cosinus et tangente

On remarquera que le cercle trigonométrique correspond au cas où on a ܪ

Terminale S/ES/STI

Mathématiques

Fiche n°3 - Géométrie plane et trigonométrie Opérations sur les vecteurs, produit scalaire et calcul trigonométrique

J. Paquereau 4/15

2. Trigonométrie

2.1. Représentation

trigonométrique), on peut encore et surtout les représenter dans le plan euclidien :

Ces représentations sont équivalentes à celles obtenues à partir du cercle trigonométrique :

Conseil ! il convient de garder en tête les différentes représentations des fonctions circulaires,

en particulier leur représentation dans le plan et leur construction au moyen du cercle

facilement les propriétés énumérées ci-après. De ces représentations dans le plan, on tire les propriétés suivantes :

La fonction ܿ

La fonction ܿ

Parité

période ʹߨ

Périodicité

Déphasage

Terminale S/ES/STI

Mathématiques

Fiche n°3 - Géométrie plane et trigonométrie Opérations sur les vecteurs, produit scalaire et calcul trigonométrique

J. Paquereau 5/15

Imparité

période ʹߨ

Périodicité

la fonction ܿ

Déphasage

On rappelle que ݐܽ

par ܿ

Définition

avec un entier quelconque (dont െߨȀʹ et ߨ

Justification : ݐܽ

nul. On doit donc avoir ܿ

Ensemble de définition

La fonction ݐܽ

Imparité

période ߨ

Périodicité

La fonction ݐܽ

Restriction

2.2. Variations et limites

Quant aux variations, la représentation des fonctions circulaires dans le plan euclidien nous permet

encore de visualiser les propriétés suivantes :

Fonction Propriétés

La fonction ܿ

Terminale S/ES/STI

Mathématiques

Fiche n°3 - Géométrie plane et trigonométrie Opérations sur les vecteurs, produit scalaire et calcul trigonométrique

J. Paquereau 6/15

ensemble de définition respectif.

2.3. Propriétés

Ensuite, on note encore quelques relations remarquables sur les fonctions trigonométriques, formules

(iii) ݐܽ

Preuves : on part du principe que les nombres complexes ont été étudiés (voir cours sur les nombres

complexes ou relire la démonstration ultérieurement dans le cas contraire).

En développant, il vient :

(iii) On utilise tout bonnement la définition de ݐܽ (i) ܿ

Terminale S/ES/STI

Mathématiques

Fiche n°3 - Géométrie plane et trigonométrie Opérations sur les vecteurs, produit scalaire et calcul trigonométrique

J. Paquereau 7/15

Preuve :

(i) ܣ (iii) On la déduit immédiatement de (i) et (ii). (iv) ܣൌʹܿ

On développe :

Puis par parité de cosinus et imparité de sinus :

On développe :

On simplifie puis on utilise les formules (i) et (ii) :

Soit après simplification :

Remarques ! Les propriétés (i), (ii) et (iii) présentée ci-avant sont particulièrement utiles ! En

faire " tomber » la puissance ݊ et ainsi obtenir plutôt des termes de la forme ܿ

propriétés présentées ci-dessous.

Terminale S/ES/STI

Mathématiques

Fiche n°3 - Géométrie plane et trigonométrie Opérations sur les vecteurs, produit scalaire et calcul trigonométrique

J. Paquereau 8/15

Formules de Moivre

2.4. Dérivation

qui est bien le cas :

Preuve : comme très souvent dans ce cas, on en revient à la définition du nombre dérivé.

Or : ௛՜଴ܿ

Par ailleurs, on admet et on retient que : ܕܑܔ

Qui plus est : ଵ

Terminale S/ES/STI

Mathématiques

Fiche n°3 - Géométrie plane et trigonométrie Opérations sur les vecteurs, produit scalaire et calcul trigonométrique

J. Paquereau 9/15

On suppose que ݑ est une fonction dérivable sur un intervalle كܫ

Ainsi, la dérivée de ܿ

3. Vecteurs et opérations

3.1. Définition

La première façon de se visualiser un vecteur est de le voir comme une flèche positionnée dans le plan

Définition

théorème de Pythagore :

Définition

On appelle norme de ݒԦ, notée ԡݒԦԡ, la longueur du vecteur ݒԦ. Cette norme est appelée norme 2 ou

encore norme euclidienne*. normes et modes de calcul de distances.

Terminale S/ES/STI

Mathématiques

Fiche n°3 - Géométrie plane et trigonométrie Opérations sur les vecteurs, produit scalaire et calcul trigonométrique

J. Paquereau 10/15

3.2. Opérations

Définition Enoncé

Multiplication par un scalaire

multiplication de ݇ par ܽԦ, notée ݇ൈܽԦ ou plus simplement ݇ܽ déduire que ቛଵ

On en déduit que ቛଵ

3.3. Propriétés

Des deux opérations ci-avant définies, on déduit un certain nombre de propriétés élémentaires,

communes à tous les espaces vectorielles.

Propriété Enoncé

(i) Elément neutre appelle le vecteur nul (dont toutes les coordonnées valent 0). On a (iii) Commutativité Comme on travail avec des réels, on a également la propriété suivante.

Terminale S/ES/STI

Mathématiques

Fiche n°3 - Géométrie plane et trigonométrie Opérations sur les vecteurs, produit scalaire et calcul trigonométrique

J. Paquereau 11/15

(v) Opposé (avec des points)

Preuves :

4. Orthogonalité et colinéarité

4.1. Produit scalaire

Rappel

sorte que ܣ et ܥ antihoraire) et négativement dans le sens inverse (sens horaire).

Définition

De cette définition, on tire immédiatement les propriétés suivantes :

Propriétés

En effet, pour tout ݇אԺ, on a toujours ܿ

Terminale S/ES/STI

Mathématiques

Fiche n°3 - Géométrie plane et trigonométrie Opérations sur les vecteurs, produit scalaire et calcul trigonométrique

J. Paquereau 12/15

équivalente à la précédente, qui permet de calculer très simplement le produit scalaire :

Calcul

Avec :

Il vient que :

De la définition précédente du produit scalaire, on déduit aisément les deux propriétés suivantes que

je vous invite à démontrer :

Propriété Enoncé

(ii) Bilinéarité utilité.

Terminale S/ES/STI

Mathématiques

Fiche n°3 - Géométrie plane et trigonométrie Opérations sur les vecteurs, produit scalaire et calcul trigonométrique

J. Paquereau 13/15

4.2. Orthogonalité et colinéarité

Rappels

On a dès lors les propriétés suivantes :

Propriétés

Preuve :

Remarques ! Les deux propriétés qui précèdent sont très pratiques : Pour montrer que deux droites sont perpendiculaires (orthogonales), il faut et il suffit de Pour montrer que deux droites sont parallèles, il faut et il suffit cette fois-ci de montrer et ܥܣ

Exemples :

Terminale S/ES/STI

Mathématiques

Fiche n°3 - Géométrie plane et trigonométrie Opérations sur les vecteurs, produit scalaire et calcul trigonométrique

J. Paquereau 14/15

encore ฮܥܱ

5. Vecteurs et propriétés

Propriété Enoncé

(i) Loi des cosinus

Terminale S/ES/STI

Mathématiques

Fiche n°3 - Géométrie plane et trigonométrie Opérations sur les vecteurs, produit scalaire et calcul trigonométrique

J. Paquereau 15/15

Preuve :

classique :

Soit ݐא

quotesdbs_dbs32.pdfusesText_38

[PDF] controle polynome second degré 1ere es

[PDF] controverse de valladolid pdf

[PDF] la controverse de valladolid la statue indienne

[PDF] controverse de valladolid personnages

[PDF] la controverse de valladolid fiche de lecture

[PDF] lecture analytique la controverse de valladolid chapitre 7

[PDF] la controverse de valladolid analyse du film

[PDF] la controverse de valladolid jean claude carrière analyse

[PDF] la controverse de valladolid fiche bac

[PDF] la controverse de valladolid theatre pdf

[PDF] la controverse de valladolid chapitre 11 texte

[PDF] fournisseur controle d'acces maroc

[PDF] cours d argumentation pdf

[PDF] comportement irresponsable dans le monde sportif

[PDF] convaincre persuader exercices