Terminale S - Fonctions trigonométriques
ordonnées opposées. Démonstration (voir cours de 1ère S : cosinus et sinus d'un nombre réel). Propriété 2 :.
FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES
Conséquence : Pour tracer la courbe représentative de la fonction cosinus ou de la fonction sinus il suffit de la tracer sur un intervalle de longueur 2 et
Trigonométrie circulaire
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TRIGONOMÉTRIE
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cos ( + ) = cos sin ( + ) = sin • cos² + sin² = 1 Démonstration (voir cours de 1ere S : cosinus et sinus d'un nombre réel)
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cercle trigonométrique est le cercle de centre O et de rayon 1 La droite orientée peut en effet s'enrouler plusieurs fois autour du cercle Exemples :
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Cours de Terminale S 3 Exercice 3 Fonction périodique Démontrer que les fonctions suivantes sont périodiques de période T 1 f(x) = cos(4x) - 5
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Étude des fonctions trigonométriques cours classe de terminale S 1 Fonctions trigonométriques Définition : • La fonction cosinus est la fonction définie
Comment retenir les formules de trigonométrie ?
Quels moyens mnémotechniques utiliser en trigonométrie ? Pour retenir les trois principales fonctions trigonométriques, vous pouvez mémoriser « soh cah toa » pour sinus = opposé sur hypoténuse (soh), cosinus = adjacent sur hypoténuse (cah)et tangente = opposé sur adjacent (toa).Quels sont les trois formules de trigonométrie ?
Formules fondamentales :
cotg x = 1. tg x = sin x / cos x. cotg x = cos x / sin x.Quelle est la formule fondamentale de la trigonométrie ?
Formule liant les fonctions cosinus et sinus (Formule fondamentale) Triangle rectangle dans le cercle trigonométrique, montrant le lien entre cosinus et sinus. « Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. »- Le sinus et la tangente d'un angle aigu seront introduits comme rapports de longueurs ou à l'aide du quart de cercle trigonométrique. On établira les formules : cos²x + sin²x = 1 ; tan x = sin x cos x On n'utilisera pas d'autre unité que le degré décimal.
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Mathématiques
Fiche n°3 - Géométrie plane et trigonométrie Opérations sur les vecteurs, produit scalaire et calcul trigonométriqueJ. Paquereau 1/15
Cours : fiche n°3 - Géométrie plane et trigonométrie Thème : opérations sur les vecteurs, produit scalaire et calcul trigonométrique.Notions abordées Page
2. Trigonométrie : études des fonctions cosinus, sinus et tangente, dérivation et calcul
trigonométrique. 43. Vecteurs et opérations : définition, addition, multiplication par un scalaire, norme, linéarité,
relation de Chasles, etc. 94. Orthogonalité et colinéarité : produit scalaire, orthogonalité, colinéarité. 11
3. Vecteurs et propriétés : loi des cosinus, inégalité de Cauchy-Schwarz, inégalité triangulaire. 14
1. Rappels
1.1. Cercle trigonométrique
Le cercle trigonométrique est le cercle de centreSon équation cartésienne est :
quantités ݔ et ݕ sont ici le cosinus et le sinus dePour un angle donné :
rigoureuse des fonctions sinus et cosinus. Les définitions rigoureuses de ces fonctions seront le cas échéant étudiées dans le supérieur. Il est représentation en tête !De cette définition, on tire immédiatement la propriété suivante (théorème de Pythagore) :
Pour tout angle ݔ réel, on a : ܿ
On utilisera aussi la notation ܿ
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Fiche n°3 - Géométrie plane et trigonométrie Opérations sur les vecteurs, produit scalaire et calcul trigonométriqueJ. Paquereau 2/15
réciproquement. En effet, pour tout angle ݔ réel : degré et le radian. angle. On peut effectuer une rotation complète ou partielle : ͳ, ଵ ସ , etc.un tour complet sur soi-même. Il faudra donc 180° pour effectuer un demi-tour, 120° pour effectuer un
tiers de tour ou encore 90° pour effectuer un quart de tour. En radian, on opte pour le dénominateur ʹߨpérimètre du cercle trigonométrique vaut exactement ʹߨ. Dès lors, il faut ʹߨݎܽ
complet sur soi-même, ߨݎܽ encore గ Autrement dit, si on effectue une rotation de ଵ tours (avec ݇ un réel quelconque) :On effectue une rotation de ଷ
radian(s) Inversement, si on effectue une rotation respectivement de ݔ degré(s) ou ݕ radian(s) :On effectue exactement ௫
ଷ tour(s) On effectue exactement ௬ݔ degré(s) valent donc ௫
Nous introduisons à présent la notion de " sens de rotation » :Terminale S/ES/STI
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Fiche n°3 - Géométrie plane et trigonométrie Opérations sur les vecteurs, produit scalaire et calcul trigonométriqueJ. Paquereau 3/15
Par ailleurs, il est équivalent de faire 1, 2, 3 voir ݊ tours entiers autours de soi-même. Plus
généralement :Soit ݔ un angle exprimé en degrés et ݕ un angle exprimé en radians. Soit ݇ un nombre entier. Alors :
En radians, on a par exemple : గ
Exemple : exemple de conversions
Passage de degrés à radians : ͲιൌPassage de radians à degrés : గ
1.3. Sinus, cosinus et tangente
On remarquera que le cercle trigonométrique correspond au cas où on a ܪTerminale S/ES/STI
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Fiche n°3 - Géométrie plane et trigonométrie Opérations sur les vecteurs, produit scalaire et calcul trigonométriqueJ. Paquereau 4/15
2. Trigonométrie
2.1. Représentation
trigonométrique), on peut encore et surtout les représenter dans le plan euclidien :Ces représentations sont équivalentes à celles obtenues à partir du cercle trigonométrique :
Conseil ! il convient de garder en tête les différentes représentations des fonctions circulaires,
en particulier leur représentation dans le plan et leur construction au moyen du cercle
facilement les propriétés énumérées ci-après. De ces représentations dans le plan, on tire les propriétés suivantes :La fonction ܿ
La fonction ܿ
Parité
période ʹߨPériodicité
Déphasage
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Fiche n°3 - Géométrie plane et trigonométrie Opérations sur les vecteurs, produit scalaire et calcul trigonométriqueJ. Paquereau 5/15
Imparité
période ʹߨPériodicité
la fonction ܿDéphasage
On rappelle que ݐܽ
par ܿDéfinition
avec un entier quelconque (dont െߨȀʹ et ߨJustification : ݐܽ
nul. On doit donc avoir ܿEnsemble de définition
La fonction ݐܽ
Imparité
période ߨPériodicité
La fonction ݐܽ
Restriction
2.2. Variations et limites
Quant aux variations, la représentation des fonctions circulaires dans le plan euclidien nous permet
encore de visualiser les propriétés suivantes :Fonction Propriétés
La fonction ܿ
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Fiche n°3 - Géométrie plane et trigonométrie Opérations sur les vecteurs, produit scalaire et calcul trigonométriqueJ. Paquereau 6/15
ensemble de définition respectif.2.3. Propriétés
Ensuite, on note encore quelques relations remarquables sur les fonctions trigonométriques, formules
(iii) ݐܽPreuves : on part du principe que les nombres complexes ont été étudiés (voir cours sur les nombres
complexes ou relire la démonstration ultérieurement dans le cas contraire).En développant, il vient :
(iii) On utilise tout bonnement la définition de ݐܽ (i) ܿTerminale S/ES/STI
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Preuve :
(i) ܣ (iii) On la déduit immédiatement de (i) et (ii). (iv) ܣൌʹܿOn développe :
Puis par parité de cosinus et imparité de sinus :On développe :
On simplifie puis on utilise les formules (i) et (ii) :Soit après simplification :
Remarques ! Les propriétés (i), (ii) et (iii) présentée ci-avant sont particulièrement utiles ! En
faire " tomber » la puissance ݊ et ainsi obtenir plutôt des termes de la forme ܿ
propriétés présentées ci-dessous.Terminale S/ES/STI
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Formules de Moivre
2.4. Dérivation
qui est bien le cas :Preuve : comme très souvent dans ce cas, on en revient à la définition du nombre dérivé.
Or : ՜ܿ
Par ailleurs, on admet et on retient que : ܕܑܔQui plus est : ଵ
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Fiche n°3 - Géométrie plane et trigonométrie Opérations sur les vecteurs, produit scalaire et calcul trigonométriqueJ. Paquereau 9/15
On suppose que ݑ est une fonction dérivable sur un intervalle كܫAinsi, la dérivée de ܿ
3. Vecteurs et opérations
3.1. Définition
La première façon de se visualiser un vecteur est de le voir comme une flèche positionnée dans le plan
Définition
théorème de Pythagore :Définition
On appelle norme de ݒԦ, notée ԡݒԦԡ, la longueur du vecteur ݒԦ. Cette norme est appelée norme 2 ou
encore norme euclidienne*. normes et modes de calcul de distances.Terminale S/ES/STI
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3.2. Opérations
Définition Enoncé
Multiplication par un scalaire
multiplication de ݇ par ܽԦ, notée ݇ൈܽԦ ou plus simplement ݇ܽ déduire que ቛଵOn en déduit que ቛଵ
3.3. Propriétés
Des deux opérations ci-avant définies, on déduit un certain nombre de propriétés élémentaires,
communes à tous les espaces vectorielles.Propriété Enoncé
(i) Elément neutre appelle le vecteur nul (dont toutes les coordonnées valent 0). On a (iii) Commutativité Comme on travail avec des réels, on a également la propriété suivante.Terminale S/ES/STI
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(v) Opposé (avec des points)Preuves :
4. Orthogonalité et colinéarité
4.1. Produit scalaire
Rappel
sorte que ܣ et ܥ antihoraire) et négativement dans le sens inverse (sens horaire).Définition
De cette définition, on tire immédiatement les propriétés suivantes :Propriétés
En effet, pour tout ݇אԺ, on a toujours ܿTerminale S/ES/STI
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équivalente à la précédente, qui permet de calculer très simplement le produit scalaire :
Calcul
Avec :
Il vient que :
De la définition précédente du produit scalaire, on déduit aisément les deux propriétés suivantes que
je vous invite à démontrer :Propriété Enoncé
(ii) Bilinéarité utilité.Terminale S/ES/STI
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4.2. Orthogonalité et colinéarité
Rappels
On a dès lors les propriétés suivantes :
Propriétés
Preuve :
Remarques ! Les deux propriétés qui précèdent sont très pratiques : Pour montrer que deux droites sont perpendiculaires (orthogonales), il faut et il suffit de Pour montrer que deux droites sont parallèles, il faut et il suffit cette fois-ci de montrer et ܥܣExemples :
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encore ฮܥܱ5. Vecteurs et propriétés
Propriété Enoncé
(i) Loi des cosinusTerminale S/ES/STI
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Preuve :
classique :Soit ݐא
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