M0SE 1003 La méthode de variation de la constante sur un
Pour déterminer une solution particulière on peut utiliser la méthode de variation de la constante
Chapitre 3
3) Si linéaire: a) Second membre? b) Coefficients constants? Méthode de la variation de la constante ou Méthode de la solution particulière.
Chapitre 6 : Équations différentielles
25 nov. 2013 constants en maîtrisant notamment la méthode de variation de la constante. • Comprendre et savoir analyser un problème de recollement de ...
Chapitre 4 : Équations différentielles linéaires dordre 2 et plus
6- solution particulière (méthode de variation des paramètres) variable x on dit qu'on a une équation linéaire à coefficients constants et on sait ...
Cours de mathématiques - Exo7
Équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants Recherche d'une solution particulière : méthode de variation de la constante.
Équations différentielles
Utiliser la méthode de variation de la constante. s'agit d'une équation différentielle linéaire d'ordre 1 à coefficients constants
Introduction aux Equations aux Dérivées Partielles
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Méthode de variation de la constante - exercice corrigé - partie 1
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Méthode de variation de la constante : utiliser le changement de fonction inconnue y(t) = C(t)eA(t) Exemple 4 3 7 Equation v(t) = Ri+Li? (i est l'intensité
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29 jan 2007 · 3 2 Méthode générale de résolution 4 4 Comment trouver une solution particuli`ere : la variation de la constante 18
Quand utiliser la méthode de la variation de la constante ?
La méthode de variation de la constante est une méthode pour déterminer les solutions d'une équation différentielle avec second membre, connaissant les solutions de l'équation homogène (sans second membre).Comment résoudre une équation différentielle du premier ordre avec second membre ?
b) Equation avec second membre : Considérons l'équation ay" + by' + cy = d(x). Soit y0 solution de cette équation. On remarque alors que, comme dans le cas des équations du premier ordre : Page 9 - 9 - i) si z est solution de l'équation homogène associée, alors y0 + z est solution de l'équation complète.Comment savoir si une équation différentielle est séparable ?
On appelle équation différentielle `a variables séparables une équation qui peut se mettre sous la forme : y? = g(t)h(y) . Ici on va supposer que g est continue sur l'intervalle I, et h est continue sur l'intervalle J.- Wronskien pour une équation scalaire d'ordre deux
Soit l'équation différentielle E : y" = ay' + by, dite linéaire homogène scalaire d'ordre 2 sous forme résolue, dans laquelle a et b sont des fonctions continues.
Chapitre 3
Équations Différentielles
1Définition
On appelle
équation différentielle
d'ordre n, uneéquation qui établit une
relation entre la variable x, une fonction inconnue y(x) et ses n premières dérivées y, y', y'', ..., y(n). F(x, y, y')=0 est une équation différentielle du premier ordre F(x, y, y', y'')=0 est une équation différentielle du second ordre 2Application en biologie
S'applique à des champs variés de la biologie:-Biochimie (cinétique chimique)
Transmission de signaux électriques dans le corpsEpidémiologie
Démographie (écologie)
Dans tous les cas, décrit la
dynamique d'un système biologique dans le tempsOn parle de modèle dynamique
déterministe (car néglige les fluctuations aléatoires) 3 Poser un modèle sous forme d'équations différentielles Le plus souvent en faisant un bilan des entrées/sorties par intervalle de temps infiniment petitExemple: modèle de dynamique des populationsN(t) = nombre d'individus dans une population à l'instant t
b = taux de natalité (nb de naissance par individu / unité de temps) m = taux de mortalité (% de décès / unité de temps) h = tout petit intervalle de temps N(t+h) = N(t) + naissances entre t et t+h - décès entre t et t+h 4Poser un modèle sous forme d'équations différentiellesN(t+h) = N(t) + naissances entre t et t+h - décès entre t et t+h
Naissances = taux de natalité * durée de l'intervalle de temps = bNh Décès = taux de mortalité * durée de l'intervalle de temps = bNhN(t+h) = N(t) + bN(t)h - mN(t)h
En manipulant un peu cette équation:
5 Poser un modèle sous forme d'équations différentiellesComme h est infiniment petit:
Donc l'équation devient:
On parle de modèle de croissance exponentielle à cause de la forme de la solution de cette équation (cf plus loin) 6 Classifications des équations différentielles 71) Ordre (1erpour cette année)
2) Linéarité?
3) Si linéaire:
a) Second membre? b) Coefficients constants?Méthodes de résolution:
Equations différentielles non-linéaires
8E. D. 1 à variables séparables( ) ( )
dyy f x g y f x g ydx dy f x dxg y dy f x dxg yG y F x C 9H(y)=F(x)+C
Exemple:y' = y2ex
E. D. 1 homogène
=x y fy" formela desont Elles )("" pose onufuxuyuxy xy u=+= uufx dxdu ∫=∫-⇒=-Ûxdx uuf du xdx uuf du 10Méthodes de résolution:
Equations différentielles linéaires
11E. D. 1 linéaires
Elles sont de la forme : A(x)y'+B(x)y = C(x)
12E. D. 1 linéaires
Elles sont de la forme : A(x)y'+B(x)y = C(x)
13Coefficients (constants si
indépendants de x)Linéaire: car y" et y tous seuls
Second membre
E. D. 1 linéaires
Sans second membre: A(x)y'+B(x)y = 0Résolution simple car à variable séparableCas particulier: A et B constants
14 ⇔ ln exp{- ⇔ = exp{- expE. D. 1 linéaires
Cas général: A(x)y'+B(x)y = C(x)Coefficients constants : ay'+by = C(x) => Méthode de la variation de la constante ou Méthode de la solution particulière Coefficients non constants :=> Méthode de la variation de la constante 15E. D. 1 linéaires
Méthode de la solution particulière:
On commence par résoudre l"équation différentielle sans second membre (ESSM):Ay"+ By = 0
16 = exp{-Aexp(ax)
exp(ax)E. D. 1 linéaires
Méthode de la solution particulière:
On cherche ensuite une solution particulière de l"équation avec second membre (y GEASM ) de la même forme que le second membre 17 Q(x) polynome de degré n P(x) polynome de degré nSolution particulière
Second membre de la forme :
Q(x)exp(ax)
Q: polynome de degré n
P(x)exp(ax)
P: polynome de degré n
Ccos(wx) + D sin(wx)
Acos(wx) + B sin(wx)
Remarque: solutions avec polynôme peut ne pas marcher ⇒On cherche avec un polynôme de degré +1E. D. 1 linéaires
Méthode de la solution particulière:
La solution générale de l"équation avec second membre est alors: y = y GESSM + y PEASM 18Exemple: y' + y = xex
E. D. 1 linéaires
Méthode de la variation de la constante:
On commence par résoudre l"équation différentielle sans second membre (ESSM):A(x)y"+ B(x)y = 0
19 = exp{-E. D. 1 linéaires
Méthode de la variation de la constante:
La solution générale de l"équation avec second membre peut se mettre sous la forme: On recherche A(x) en injectant la formule dans l"équation différentielleExemple: x
3y" + 3x
2y = e
x 20 = ()exp{-E. D. 1 linéaires
21Calcul de la constant d'intégrationLa résolution d'une équation différentielle du premier ordre fait
intervenir une constante d'intégration qui peut être déterminée à l'aide d'une valeur particulière Exemple: équation précédente avec y(1) = 1Exemples en démographie
22Spécificités des
" vrais» modèles 23L'écriture de la forme y'=f(x,y) est classique en mathématique mais en biologie, quelques nuances: - La variable ne s'appelle pas toujours y, on peut lui préférer un symbole ayant plus de sens biologique (N, I, T,...) - La variable x est souvent remplacée par t (car modèles dynamiques donc s'intéressant à l'évolution de quantités dans le temps)
- Le lien entre y (ou équivalent) et x (ou équivalent) n'est généralement pas donné par une
formule avec des nombres, mais avec des lettres (paramètres) = 2MATHSBIO
Spécificités des
" vrais» modèles 24Ne vous laissez pas intimider par cette formulation car: - Les variables N, I, T,... se gèrent suivant les mêmes règles que y. Et t comme x - Les paramètres (b et m) sont des nombres constants (mais indéterminés) qui se gèrent comme les constantes (1, -2, 4.2,...)
Exemple: modèle démographique N'(t)=(b-m)N(t)- Si vraiment le changement de noms vous gène trop au début, revenir à la notation classique,
par exemple: - ⟺ lnN ®y
t ®x b®3 m®2quotesdbs_dbs45.pdfusesText_45[PDF] equation differentielle ordre 4
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