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Lagrange et la m´ethode de variation de la constante en astronomie

J´erˆome Perez

29 aoˆut 2015

Table des mati`eres

1 Le probl`eme des 2 corps en astronomie1

1.1 Equation du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 1

1.2 La trajectoire elliptique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 2

2 Probl`eme des deux corps perturb´e4

2.1 Variation des constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 4

2.1.1 M´ethode g´en´erale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 4

2.1.2 Application de la m´ethode au probl`eme des 2 corps perturb´es. . . . . . . . . . 4

3 Th´eorie de la Lune6

3.1 Le calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 6

3.2 Erreur ou progr`es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 8

1 Le probl`eme des 2 corps en astronomie

1.1 Equation du mouvement

Le probl`eme du mouvement de 2 corps ponctuelsAetBde massemAetmB(dit probl`eme de K´epler) a en fait ´et´e r´esolu par Isaac Newton `a la fin du XVII `emesi`ecle.Dans le r´ef´erentiel attach´e au corpsA, l"´equation du mouvement deBs"´ecrit d 2r dt2+μr3r= 0 avecμ=G(mA+mB),r=-→ABetr=|r|,(1) Il est bien connu que le moment cin´etiqueLpar unit´e de masse deBest constant, le mouvement

s"effectue donc dans un plan o`u l"on rep`ere le pointBpar ses coordonn´ees polaires (r,φ). La conser-

vation du moment cin´etique rend la quantit´eC=r2dφ/dtconstante. On montre ensuite facilement

que l"´equation reliantretφest celle d"une conique de foyerAde param`etre focalpet d"excentricit´e

e: r=p

1 +ecos(φ-ω)(2)

avec 1 e=?1 +2C2ξμ2p=C2μ(3)

La quantit´eξrepr´esente l"´energie m´ecanique totale par unit´e de masse de la particuleBetωest une

constante d"int´egration. SiBest li´e `aA, c"est `a dire siξ <0, on v´erifie quee?[0,1[,la trajectoire

est confin´ee sur un cercle sie= 0 ou sur une ellipse si 0< e <1. Par contre, siBest libre, c"est-`a-dire

siξ≥0,alorse≥1,la trajectoire n"est pas confin´ee : c"est une parabole sie= 1 ou une hyperbole

poure >1.

1.2 La trajectoire elliptique

De toutes les trajectoires pr´ec´edentes, l"ellipse est laplus courante en astronomie. Les trajec-

toires non confin´ees correspondent `a des ´ev`enements exceptionnels (car non p´eriodiques) comme des

"collisions" ou des transferts d"´energie.

Foyer 2Foyer 1

2a2b Petit axe

Grand axe

ApoastrePériastre

B A

Fig. 1 : Caract´eristiques de la trajectoire

elliptique Les points caract´eristiques de la trajectoire elliptique(ou mouvement k´eplerien) sont :

- Le p´eriastre (p´erih´elie siAest le soleil, p´erig´ee siAest la terre) : lorsqueBest au plus proche

deA, c"est `a dire lorsqueφ=ω, nous avons alorsr=rmin=p/(1 +e).

- L"apoastre (aph´elie siAest le soleil, apog´ee siAest la terre) : lorsqueBest au plus loin de

A, c"est `a dire lorsqueφ=ω+π, nous avons alorsr=rmax=p/(1-e). Le demi grand axe de l"ellipseaest ´egal `a la demi somme du p´eriastre et de l"apoastre a=1

2(rmax+rmin) =p1-e2(4)

et le demi petit axeb=a⎷

1-e2. Il est alors facile d"exprimer l"´energieξet le module de la vitesse

ven fonction du demi grand axe

2aetv=μ?2r-1a?

1 2(5) la vitesse est donc maximale au p´eriastre et minimale `a l"apoastre. On montre de plus que le tempsTmis parBpour parcourir la totalit´e de l"ellipse est constant :

C"est la p´eriodeT= 2π?

a3/μ.

Pour rep´erer de fa¸con univoque un objet en mouvement k´eplerien, outre l"instanttd"observation,

il est n´ecessaire de fixer les 6 constantes d"int´egration inh´erentes aux 3 ´equations diff´erentielles du

second ordre provenant du principe fondamental de la dynamique r´esum´ees dans l"´equation (1).

2

En m´ecanique du point, ces constantes sont g´en´eralementdes conditions initiales, en astronomie

de telles quantit´es ne peuvent ´evidement ˆetre atteinteset l"on pr´ef`ere utiliser des constantes plus

observables. Le rep´erage en astronomie est l"objet de la figure 2. i périastre y xz noeud ascendant point vernal N B Ak N' v NP

Fig. 2 : Rep´erage du plan orbital dans

l"espace et du pointBsur l"ellipse.

L"espace est rapport´e au tri`edreAxyz, il est tout d"abord n´ecessaire de connaˆıtre l"inclinaisonidu

plan orbital par rapport au plan de baseAxy, ainsi que la position de la ligne d"intersection de ces

deux plans appel´ee ligne des noeuds. Cette ligne coupe l"orbite en deux points oppos´es : Le noeud

ascendantN, d´efini par-→v .-→k???N=vz(N)>0,Bpasse au dessus du plan de base, et le noeud

descendantN?, d´efini par-→v .-→k???N?=vz(N?)<0,Bpasse au dessous du plan de base.

La directionAxest celle dite du point vernal, c"est une r´ef´erence astronomique. L"angle (Ax,AN) =

Ω, entre les directions du point vernal et du noeud ascendantest appel´e longitude du noeud ascen-

dant. L"angle (AN,AP) =ωest appel´e argument du p´eriastre, il est mesur´e dans le plan de l"orbite

entre la ligne des noeuds et la direction du p´eriastre de l"orbite. L"anomalie vraieφest d´efinie dans

le plan de l"orbite `a partir du p´eriastre, soitφ= (AP,AB). L"inclinaison de l"orbite est compt´ee de 0 `a 180 par contre 90

Nous obtenons donc finalement cinq ´el´ements d´eterminant univoquement la trajectoire dans l"es-

pace : Le demi grand axe de l"ellipsea, son excentricit´ee, son inclinaisonipar rapport `a un plan de

r´ef´erence, la longitude du noeud ascendant Ω et l"argument du p´eriastreω.

Afin de compl´eter la collection de constantes on utilise un param`etre temporelτ: L"instant du

passage au p´eriastre. Ce dernier est une dur´ee correspondant au temps ´ecoul´e entre une date de

r´ef´erence et l"instant du premier passage deBau p´eriastre depuis la r´ef´erence.

Les 6 constantesλi=1,...,6={a,e,i,ω,Ω,τ}compl´et´ees de l"instant d"observation d´efinissent par-

faitement la position deBdans le plan et sur l"ellipse qu"il d´ecrit autour deA. Cet ensemble constitue

ce que l"on appelle les ´el´ements elliptiques. 3

2 Probl`eme des deux corps perturb´e2.1 Variation des constantes2.1.1 M´ethode g´en´erale

Une ´equation diff´erentielle lin´eaire est une ´equation dela forme a n(t)y(n)(t) +an-1(t)y(n-1)(t) +...+a1(t)y(1)(t) +a0(t)y(t) =f(t) (6) o`u les fonctionsa0(t),a1(t),...,an(t) sont connues ainsi que le second membref(t) . L"inconnue

est la fonctiony(t) et ses d´eriv´eesni`emes,y(n)(t).On montre facilement que l"ensemble des solutions

de l"´equation (6) est un espace affineE={yp(t) +Eo}de dimensionn.La fonctionyp(t) est une solution particuli`ere de (6) etEol"espace vectoriel de dimensionnrassemblant toutes les solutions de l"´equation (6) dans laquelle on a prisf(t)≡0 (Equation sans second membre).

Si l"on connaˆıtnfonctionsyi=1,..nsolutions ind´ependantes de l"´equation sans second membre,

E oest donc simplement une combinaison lin´eaire de ces fonctions E o=? y(t)| ?(c1,...,cn)?Rn, y(t) =n? i=1c iyi(t)? (7)

Joseph-Louis Lagrange montra au d´ebut du XIX

`emesi`ecle que l"on pouvait toujours ´ecrire la solution particuli`ere n´ecessaire `a la d´efinition deEsous la forme y p(t) =n? i=1C i(t)yi(t) (8) o`u les fonctionsC1(t),...,Cn(t) sont de nouvelles inconnues du probl`eme. Les constantescide- viennent des fonctions, d"ou le nom de la m´ethode ...

Pour ne pas introduire de degr´e de libert´e suppl´ementaire dans le probl`eme, il est n´ecessaire

d"imposer un ensemble den-1 contraintes ind´ependantes liant ces nouvelles inconnues. Un choix

astucieux de ces contraintes permet toujours de ramener l"ensemble des ´equations v´erifi´ees par les

C i(t) `an´equations de la forme ?j= 1,...,n C?j(t) =gj({yi=1,..,n(t)},{ai=0,..,n(t)},{ci=1,..,6}) =gj(t,{ci=1,..,n}) (9) o`u lesgjd´ependent du probl`eme. ll est donc possible de trouver lesnfonctionsCjpar un simple

calcul d"int´egrale. Pour un jeu de constantes{ci=1,..,n}, par exemple des conditions initiales, il existe

donc une seule solution.

2.1.2 Application de la m´ethode au probl`eme des 2 corps perturb´es.

L"´equation (1) du mouvement du probl`eme des deux corps constitue un syst`eme d"´equations

diff´erentiellesnon lin´eairesdu second ordre. Comme nous l"avons vu, `a chaque instanttune solu-

tion de ce syst`eme d"´equations est d´etermin´ee par la donn´ee d"un jeu de 6 constantesλi=1,...,6=

{a,e,i,ω,Ω,τ}.En pr´esence d"unepetiteperturbation on peut toujours faire l"hypoth`ese que les

´equations du mouvement dans le r´ef´erentiel centr´e surA, vont s"´ecrire d 2r dt2+μr3r=f(10) 4

le second membrefrepr´esente alors le vecteur associ´e `a la force perturbatrice introduite dans notre

probl`eme. Il est alors raisonnable de penser que si la forceperturbatrice est tr`es petite devant la

force du probl`eme de Kepler, la trajectoire issue du syst`eme (10) s"´eloignera tr`es peu de la trajectoire

du probl`eme keplerien. L"id´ee qu"eut Lagrange au tout d´ebut du XIX`emesi`ecle est d"appliquer la

m´ethode de variation de la constante `a ce probl`eme.

En consid´erant les coordonn´ees cart´esiennes (x,y,z) du vecteur positionr, toute solution du

probl`eme de K´epler s"´ecritx=x({λi=1,...,6},t),y=y({λi=1,...,6},t) etz=z({λi=1,...,6},t), en

pr´esence d"une petite perturbation (et donc d"un second membre dans l"esprit de Lagrange) , on

cherche des solutions de la formex=x({Λi=1,...,6(t)},t),y=y({Λi=1,...,6(t)},t) etz=z({Λi=1,...,6(t)},t).

L"ensemble des six fonctions Λ

i(t) forme ce que l"on appelle un syst`eme d"´el´ementsosculateurs elliptiques, et deviennent les nouvelles inconnues du probl`eme. Pour ne pas augmenter le nombre

de degr´es de libert´e du syst`eme il convient d"introduire3 contraintes ind´ependantes arbitraires. Un

choix astucieux consiste `a poser 6 i=1∂x ∂ΛidΛidt=6? i=1∂y∂ΛidΛidt=6? i=1∂z∂ΛidΛidt= 0 (11)

En faisant l"hypoth`ese suppl´ementaire que la force perturbatrice d´erive enti`erement d"un potentiel

perturbateurV, c"est-`a-dire ?V(x,y,z),f= gradV(12)

On peut montrer (c"est un calcul plus long que compliqu´e ...) que les ´equations du mouvement du

probl`eme perturb´e s"´ecrivent sous forme matricielle

LΛ=U(13)

La matriceLdite de Lagrange est une matrice carr´ee d"ordre 6 dont les coefficients sont des fonctions

appel´ees crochets de Lagrange. L ij(t) = [Λj,Λi] =?∂x (14)

Le vecteurΛ= [Λi(t)] = [a(t),e(t),i(t),ω(t),Ω(t),τ(t)] regroupe les ´el´ements osculateurs ellip-

tiques et le vecteurUest le gradient du potentiel perturbateur par rapport `a cesmˆemes ´el´ements

U=??∂V

∂Λi?? (15) On montre alors que la matriceLest toujours inversible et mˆeme diagonalisable. De lourdscalculs

permettent de d´eterminer tous ses coefficients, et d"obtenir de nouvelles ´equations pour le probl`eme

`a 2 corps perturb´e. En introduisant lemoyen mouvementn= 2π/T, elles s"´ecrivent da dt=-?2n2a? ∂V∂τdedt=-?1-e2n2a2e? ∂V∂τ-? 1-e2 n2ae? ∂V∂ω dΩ dt=?1na2⎷1-e2sini? ∂V∂idωdt=? 1-e2 na2e? ∂V∂e-?cotina2⎷1-e2? ∂V∂i dτ dt=?2n2a? ∂R∂a+?1-e2n2a2e? ∂V∂ω-?1na2⎷1-e2sini? ∂V∂Ω(16) 5 syst`eme commun´ement appel´e "´equations plan´etaires de Lagrange".

3 Th´eorie de la Lune

3.1 Le calcul

Le mouvement de la Lune dans le ciel est ´eminemment complexe, et cette derni`ere est loin de

suivre un mouvement k´eplerien autour de la Terre. Cette complexit´e r´eside dans le fait que le corps

perturbateur (le Soleil) poss`ede une tr`es grande masse 1: m m?= 3×105(17)

que son ´eloignement ne compense que tr`es partiellement. La complexit´e du probl`eme est renforc´ee

par la proximit´e de la Lune qui nous permet d"obtenir des r´esultats exp´erimentaux tr`es pr´ecis, que

la th´eorie doit v´erifier ...

Le mouvement k´eplerien de la Lune, le plus en ad´equation avec les observations, est tr`es grossi`erement

une ellipse d"excentricit´ee≈1/18.2 de foyer la Terre, d"inclinaisoni= 5◦8?par rapport `a l"´ecliptique.

La masse de la lune est d"environmL= 7,3×1022kg, celle de la terre ´etantm?= 6×1024kgon a m mL= 81.4(18)

La perturbation introduite par la Lune est si faible qu"`a untr`es bon degr´e d"approximation, dans le

r´ef´erentiel o`u la Terre est fixe, le Soleil est en mouvement k´eplerien dont les ´el´ements elliptiques sont

les constantes{a?,e?,i?,ω?,Ω?,τ?}

En se pla¸cant dans le r´ef´erentiel centr´e sur la Terre, enappelantrle vecteur Terre-Lune etr?le

vecteur Terre-Soleil (cf. figure 3) ) Terre

Soleil

r'r Lune

Etoile

fixeEtoile fixeEtoile fixe

La Lune dans le champ gravitationnel

terrestre perturb´e par le Soleilquotesdbs_dbs45.pdfusesText_45

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