[PDF] Chapitre 6 : Équations différentielles

View - Download Chapitre 6 : Équations différentielles

Previous PDF

Next PDF

Chapitre 6 : Équations différentielles

PTSI B Lycée Eiffel

25 novembre 2013

Lors d"une grosse fiesta organisée chez les fonctions, la fonction exponentielle peurniche dans un coin.

Les autres fonctions viennent la voir :

- Bah pourquoi tu pleures? - Bououh snif, je suis toute seule, bouhouhou. - Bah viens avec nous, on va t"intégrer! - Non, snif snif, c"est pas la peine, bouhouhou, ça changera rien!

1 Introduction

Les équations différentielles sont un outil absolument fondamental en mathématiques, intervenant

très régulièrement dans quantité de problème faisant intervenir une modélisation par des fonctions.

Vous en retrouverez régulièrement l"usage en physique notamment. Les problèmes de résolution

d"équations différentielles sont en général extrêmement difficiles à résoudre (nombre de problèmes

mathématiques ouverts à l"heure actuelle concernent des équations différentielles), c"est pourquoi nous

nous contenterons dans ce chapitre d"apprendre à résoudre des types très particuliers d"équations.

Dans les cas qui nous concernent, les méthodes sont clairement définies et leur application quasiment

mécanique.

Objectifs du chapitre :

•Reconnaitre sans hésitation les primitives classiques.

•Maîtriser les techniques d"intégration par parties et de changement de variable, et savoir les

employer à bon escient.

•Savoir résoudre une équation linéaire du premier ordre ou dusecond ordre à coefficients

constants, en maîtrisant notamment la méthode de variationde la constante. •Comprendre et savoir analyser un problème de recollement desolutions.

2 Primitives et intégrales

2.1 Définitions

Définition 1.Soitfune fonction définie sur un intervalleI. On dit queFest uneprimitivedef surIsi la fonctionFest dérivable surIet vérifieF?=f. Exemple :Sur n"importe quel intervalle, la fonctionx?→1a pour primitivex?→x, mais aussi x?→x+ 2;x?→x-⎷

127etc. Sur l"intervalleR+?, la fonctionx?→1xa pour primitivex?→ln(x).

Proposition 1.SiFest une primitive defsur l"intervalleI, la fonctionx?→F(x) +k(k?R) est également une primitive def. Réciproquement, siGest une primitive def, la fonctionG-Fest constante (autrement dit, il existe une constantekpour laquelleG=F+k). 1 Démonstration.C"est essentiellement évident : siF?=f, alors(F+k)?=fdoncF+kest une primitive def. Et siFetGsont deux primitives def, on a(G-F)?=f-f= 0, doncG-F

est constante (la démonstration rigoureuse de ce point attendra le chapitre sur la dérivation et le

théorème des accroissements finis). Proposition 2.Soitfcontinue surIeta?I, alors la fonctionF:x?→? x a f(t)dtest une primitive defsurI. Il s"agit de l"unique promitive defsurIs"annulant ena.

Démonstration.L"unicité est évidente : si deux primitives defs"annulent ena, puisqu"elles diffèrent

d"une constante, cette constante et nécessairement nulle.La preuve rigoureuse de la première partie

de l"énoncé nécessite d"une part une définition claire de l"intégrale, et d"autre part des techniques

d"analyse un peu poussées, nous l"admettrons pour l"instant (ce théorème est connu sous le nom de

théorème fondamental de l"analyse). Corollaire 1.Toute fonction continue sur un segment y admet une primitive.

Remarque1.Elle en admet même une infinité, qui diffèrent toutes d"une constante, mais toutes

les primitives ne peuvent pas nécessairement se mettre sousla forme précédente puisqu"elles ne

s"annulent pas nécessairement surI. Définition 2.Pour une fonctionFcontinue sur un segment[a,b], on note[F(x)]bale réelF(b)-F(a).

Exemple :La détermination de primitive sera bien sûr la technique privilégiée pour le calcl explicite

d"intégrales. Par exemple,? 2

1⎷

x dx=?23x3 2? 2

1=23(23

2-1) =4⎷2-2

3.

Exemple :Il faudra également être capable de reconnaître immédiatement les dérivées de composées

les plus classiques, qui permettent de calculer directement des intégrales pas toujours évidentes à

repérer. Ainsi,? 1 0

2tet2dt= [et2]10=e-1.

Pour conclure ce paragraphe, un petit tableau des primitives et formules utiles à connaître. Rien de

nouveau bien entendu, puisque ce tableau est simplement obtenu en " retournant » celui des dérivées

classiques. D"autres primitives peuvent être considéréescomme classique, comme par exemple celle

de la tangente qui s"obtient simplement en écrivanttan(x) =sin(x) cos(x)et en repérant une dérivée

deln, mais elles sont volontairement omises car on les retrouvera (et on détaillera donc le calcul)

systématiquement dans les exercices. Dans la dernière colonne du tableau,f(oug) désigne une fonction continue quelconque, etF(ouG) une de ses primitives. xaxa+1 a+ 1ch(x)sh(x)kfkF 1 xln(|x|)sh(x)ch(x)f+gF+G exex1

1 +x2arctan(x)u?f(u)F(u)

ln(x)xln(x)-x1⎷1-x2arcsin(x)f?ff2 2 cos(x)sin(x)f? fln|f| sin(x)-cos(x)f?efef

Exemple :étude d"une fonction définie par une intégrale. Un type d"exercices très classique (et donc

à maîtriser) consiste à faire étudier une fonction définie par une intégrale à bornes variables. Même si

2

on ne sait pas intégrer la fonction sous l"intervalle, on pourra toujours réussir à calculer explicitement

la dérivée de la fonction à étudier, comme dans l"exemple suivant :?(x) =? 2x xsh(t) tdt. La fonction f:t?→sh(t) test définie et continue surR?,?(x)sera donc défini si?t?[x,2x],t?= 0. C"est le cas six?= 0, doncD?=R?. Étudions les variations de?: en notantFune primitive defsur l"un des deux intervallesR+?ouR-?, on peut écrire?(x) =F(2x)-F(x), donc en dérivant??(x) = 2f(2x)-f(x) =2sh(2x)

2x-sh(x)x=

sh(2x)-sh(x) x. La fonctionshétant strictement croissante surR,sh(2x)-sh(x)est du signe dex (six?0,2x?x, mais six <0,2x < x), donc??(x)?0sur chacun des deux intervalles.

On peut compléter l"étude par des calculs de limite, que nousne détaillerons pas ici (car ils utilisent

des techniques sur les intégrales dont nous parlerons dans un futur chapitre), mais qui apparaissent

dans le tableau de variations suivant : x-∞0 +∞ ?(x) ??0 0?? On peut même prolonger?par continuité en posant?(0) = 0pour en faire une bijection croissante deRdansR.

2.2 Intégration par parties

Théorème 1.Intégration par parties.

siuetvsont deux fonctions de classeC1sur un segment[a,b], alors? b a u?(t)v(t)dt= [u(t)v(t)]ba- b a u(t)v?(t)dt.

Démonstration.C"est une conséquence immédiate de la formule de dérivationd"un produit :uv

est une primitive deu?v+uv?, donc[uv]ba=? b a u?(t)v(t) +u(t)v?(t)dt, et la formule en découle immédiatement. Remarque2.Cette formule peut paraitre peu intéressante dans la mesureoù on se contente de rem-

placer une intégrale de produit par une autre intégrale de produit, mais elle est en fait extrêmement

importante en pratique. Elle sera très souvent utilisée dans le cas d"un calcul d"intégrale de produit

peu évident, que l"on souhaite transformer un produit plus simple. Il faut bien comprendre que lors

d"une intégration par parties (qu"on abrégera systématiquement en IPP), l"une des deux fonctions

du produit est dérivée et l"autre intégrée. On essaiera doncde prendre pourvdes fonctions qui se

simplifient en dérivant (par exemplev(t) =t, ouv(t) = ln(t)), et pouru?des fonctions qui ne se compliquent pas trop quand on intègre (par exempleu?(t) =et). Exemple :On peut calculer une primitive de la fonctionlnà l"aide d"une IPP. Prenons la primitive qui s"annule en1, et qui est donc définie parF(x) =? x 1 ln(t)dt. Il n"y a pas de produit, ce qui peut

sembler rédhibitoire pour une IPP. Ce n"est en fait pas un problème, on pose simplementv(t) = ln(t)

etu?(t) = 1, ce qui donnev?(t) =1 tetu(t) =t. On obtient alorsF(x) = [tln(t)]t1-? x

1ttdt=

xln(x)-(x-1). On prend plus classiquementx?→xln(x)-xcomme primitive deln(qui ne diffère de la précedente que d"une constante). 3

Exemple :On souhaite calculerI=?

1 0 x2exdx. On fait une première IPP en posantv(x) =x2, doncv?(x) = 2x, etu?(x) =u(x) =ex, ce qui donneI= [x2ex]10-? 1 0

2xexdx=e-2?

1 0 xexdx. On peut effectuer une deuxième IPP en posant cette fois-civ(x) =x, doncv?(x) = 1, et toujours u ?(x) =u(x) =ex, ce qui donneI=e-2[xex]10+ 2? 1 0 exdx=e-2e+ 2[ex]10=e.

2.3 Changement de variable

Théorème 2.Changement de variable.

Soitfune fonction continue sur le segment[?(a),?(b)], où?effectue une bijection de classeC1de [a,b]vers[?(a),?(b)]. Alors? ?(b) ?(a)f(t)dt=? b a f(?(u))??(u)du.

Démonstration.C"est cette fois-ci une conséquence directe de la formule dedérivation d"une compo-

sée :??×f◦?a pour primitiveF◦?(oùFest une primitive quelconque def), donc? b a f(?(u))??(u)du= [F◦?(u)]ba=F(?(b))-F(?(a)) =? ?(b) ?(a)f(t)dt.

Remarque3.En pratique on n"utilise pas vraiment la formule telle quelle. Si on dispose d"une intégrale?b

a f(x)dxavec une fonction compliquée et qu"on souhaite remplacer une partie de la fonction par

une nouvelle variable allégée, on " pose »t=?(x), et on effectue alors les modification suivantes

dans notre intégrale :

•on remplace les bornesaetbpar?(a)et?(b).

•on remplace dans l"intégralef(x)parf◦?(t)(autrement dit, on remplace tous lesxpar des t). •on modifie ledxen??(t)dt(on écrira simplementdx=??(t)dtmême si c"est un abus de notation). Ces modifications reviennent bien à appliquer la formule donnée dans le théorème. Exemple :Un calcul extrêmement classique faisant intervenir un changement de variable, celui deI=? 1 0?

1-x2dx. On posex= sin(t), ou si vous préférezt= arcsin(x). On remplace alors

les bornes pararcsin(0) = 0etarcsin(1) =π

2;⎷1-x2=?1-sin2(t) =?cos2(t) = cos(t)(car

cos(t)?0sur?

0,π

2? ); etdx= cos(t)dt. On obtientI=?π 2

0cos2(t)dt. On peut alors utiliser la

formule de duplicationcos(2t) = 2cos2(t)-1pour écrireI=? 2

01 + cos(2t)

2dt=?t2+sin(2t)4?

2 0=

4. Rien de surprenant dans ce résultat pusiqu"on vient de calculer l"aire d"un quart de cercle de rayon

1. Remarque4.C"est à l"aide de la formule de changement de variable qu"on peut prouver de façon

rigoureuse les résultats suivants, qui sont géométriquement évidents : sifest une fonction impaire,?a

-af(x)dx= 0(en faisant le changement de variablet=-x, on constate que cette intégrale est égale à son propre opposé); et sifest une fonction paire,? a -af(x)dx= 2? a -af(x)dx(même technique). 4

2.4 Fractions rationnellesDéfinition 3.Unefraction rationnelleest un quotient de polynômes.

Théorème 3.Principe de la décomposition en éléments simples.

Soitf(x) =P(x)

Q(x)une fraction rationnelle, alors on peut décomposerFsous la forme d"une somme de termes de type k X+aou de typeαx+βx2+bx+x, avec un dénominateur à discriminant négatif. Les

dénominateurs des fractions correspondent aux différents facteurs intervenant lorsqu"on factoriser le

polynômeQ.

Démonstration.Ce théorème n"étant pas explicitement à votre programme, nous ne le démontrerons

pas. Il faut en fait essayer de comprendre comment ça fonctionne, car vous êtes tout de même censés

savoir faire des décomposition en éléments simples en pratique. Prenons le cas le plus simple oùQest

un polynôme à racines simples, sans facteurs du second degré. Si on notea1,a2,...,anses racines,

on peut alors simplement écrireF(x) =n? i=1λ i X-ai. Autrement dit, le produit qui était présent au

dénominateur a été séparé en somme de dénominateurs distincts. Les choses se compliquent dans

deux cas : •Si on travaille surR(ce qui sera toujours notre cas), il peut y avoir un facteur dedegré2à discriminant négatif, qu"on ne peut pas factoriser plus. Pas grave, il comptera comme un terme normal, mais au lieux d"avoir une constante au numérateur, on aura un polynôme de degré1

(c"est encore cohérent avec le fait qu"il faille deux constantes pour gérer un dénominateur de

degré2). •Il y a une racine multiple, ce qui implique la présence d"un dénominateur de type(x+a)2(ou

pire; on peut avoir la même chose pour les facteurs de degré2à discriminant négatif). Nous

ferons semblant de ne pas nous rendre compte que ce cas peut seproduire, car la gestion du calcul de primitive est alors compliquée.

Techniques de calcul :Pour effectuer en pratique une décomposition en éléments simples, il est

utile de connaître quelques petites techniques, qui évitent de recourir au calcul brutal consistant à

mettre au même dénominateur tous les termes pour identifier. •Dans le cas de dénominateurs de degré1de la formeX-a, on peut multiplier les deux membres parX-apuis évaluer l"égalité pourX=a. Par exemple, pour effectuer la décomposition de f(x) =2x+ 3 x2-x-2, on commence par factoriser le dénominateur sous la forme(x+1)(x-2)(il y a une racine évidente). Le théorème de décomposition nous assure alors quef(x) =a x+ 1+ b x-2. Multiplions l"égalité parx+1: cela donne2x+ 3x-2=a+b(x+ 1)x-2. En prenantx=-1, on trouve alors-1

3=a. De même, en multipliant l"égalité parx-2on trouve2x+ 3x+ 1=a(x-2x+ 1+b,

doncb=7

3en prenantx= 2. Conclusion :2x+ 3x2-x-2=-5x+ 1+73(x-2).

•S"il y a des termes de degré supérieur, on peut obtenir une équation sur les coefficients en

évaluant l"égalité pour une valeur simple dex(souventx= 0) sans multiplication préalable.

On peut également obtenir une équation en regardant la limite quandxtend vers+∞, en multipliant au besoin parxoux2pour faire apparaître des limites non nulles. Prenons par exemple :f(x) =1 x3+ 1. On commence toujours par factoriser le dénominateurx3+ 1 = (x+ 1)(x2-x+ 1), le deuxième facteur ayant un discriminant négatif, on ne peut pas aller plus loin. On va donc tenter de réduirefsous la formef(x) =a x+ 1+bx+cx2-x+ 1. En 5 multipliant parx+ 1et en évaluant en-1, on trouve sans problèmea=13. Pour le reste, il nous faut deux informations supplémentaires. On peut regarder en0pour trouver1 =a+c, soitc= 1-a=2

3. Enfin, on peut multiplier parxet regarder la limite en+∞, ce qui donne

0 =a+b, soitb=-a=-1

3. Conclusion :1x3+ 1=13(x+ 1)-x-23(x2-x+ 1).

Intégration des éléments simples :C"est bien de savoir réduire en éléments simples, mais si le

but est de calculer une intégrale, il faudra bien sûr ensuiteêtre capable d"intégrer chacun de ces

éléments " simples ». Les termes enk

x-ane posent aucun problème, ayant une primitive enln.

Par contre, les termes d"ordre2sont plus compliqués. Le but est de se ramener à une fonction dont

on connait bien une primitive, à savoir1

1 +x2. Pour cela, on essaie d"isoler un morceau qui s"intègre,

puis pour le reste, on met le dénominateur sous forme canonique, puis on bidouille les constantes à coup de changements de variable. Reprenons notre exemple1

1 +x3=13(x+ 1)-x-23(x2-x+ 1).

Tentons de calculer l"intégraleIde0à1de cette fonction. Le premier morceau ne pose pas de problème :? 1 01

3(x+ 1)dx= 3ln(2). Pour l"autre morceau,x-2x2-x+ 1=1

2(2x-1)-32

x2-x+ 1, donc 1 0x-2 x2-x+ 1dx=12[ln(x2-x+1)]10-32? 1

01(x-12)2+34dx= 0-32?

1

043×1(2⎷3(x-12))2+ 1dx=

-2? 3

2arctan?2⎷3?

x-12?? ?10=-⎷3? arctan?1⎷3? -arctan? -1⎷3?? 3

3. On peut

maintenant conclure le calcul :I= 3ln(2) +1

3×π⎷

3

3= 3ln(2) +π⎷

3 9.

3 Équations différentielles linéaires du premier ordre

3.1 Vocabulaire

Définition 4.Uneéquation différentielleest une équation dont l"inconnue est une fonctiony

(réelle ou complexe, même si nous traiterons surtout le cas réel dans ce chapitre), et faisant intervenir

les dérivées successivesy?,y??, ...,y(n)de la fonctiony. L"équation est ditéd"ordrensi la dérivée

d"ordre le plus élevé deyapparaissant dans l"équation esty(n).Résoudrel"équation différentielle

sur un intervalleIconsiste à déterminer toutes les fonctions dérivables surIvérifiant l"équation.

Remarque5.On utilise généralement la variable muettexoutpour indiquer la variable, mais on

notera souvent l"inconnuey, y compris dans l"équation, et pas nécessairementy(x). Ainsi, on parlera

par exemple de l"équationxy?+ 3x2y2= 0.

Définition 5.Une équation différentielle estlinéairesi elle s"écrit sous la formean(x)y(n)+

a n-1(x)y(n-1)+···+a1(x)y?+a0(x) = 0.

Définition 6.Une équation différentielle linéaire estnormaliséesian(x) = 1. Une équation diffé-

rentielle esthomogène(ousans second membre) sia0(x) = 0.

Définition 7.Lescourbes intégralesassociées à une équation différentielles sont les courbes

représentatives des fonctions solutions de l"équation différentielle.

3.2 Résolution de l"équation sans second membre associée

Définition 8.Unproblème de Cauchyassocié à l"équation homogène du premier ordre est un

système de la forme?y?+a(x)y=b(x) y(x0) =α 6 On parle aussi d"équation différentielle avec conditions initiales.

Théorème 4.Soity?+a(x)y= 0une équation linéaire homogène du premier ordre, avecacontinue

sur l"intervalle d"étudeI. Alors ses solutions sont les fonctions de la formet?→Ke-A(x), oùKest

une constante réelle etAune primitive (fixée) dea.

Démonstration.Commençons par constater que ces fonctions sont effectivement solutions de l"équa-

tion : siy(x) =Ke-A(x), alorsy?(x) =-Ka(x)e-A(x), doncy?(x) +a(x)y(x) =-Ka(x)e-A(x)+ Ka(x)eA(x)= 0. Réciproquement, supposonsysolution de l"équation et posonsz(x) =y(x)eA(x), oùAest un primitive quelconque dea(qui, étant continue, possède des primitives), on a alors z ?(x) =y?(x)eA(x)+a(x)y(x)eA(x)=eA(x)(y?(x) +a(x)y(x)) = 0. La fonctionza une dérivée nulle,

elle est donc constante, égale à un certain réelK. On a alors, par définition dez,y(x) =KeA(x).

Remarque6.Les problèmes de Cauchy associés à des équations linéaires du premier ordre ont donc

toujours une solution unique (la valeur imposée permet de fixer la constanteK). En particulier, on

peut définir la fonction exponentielle comme unique solution de l"équation différentielley?=y, avec

condition initialey(0) = 1.

Exemple :Considérons l"équation différentielley?+2xy= 0(surR), avec comme condition initiale

y(1) = 2. Les solutions de l"équation sont de la formeKe-x2, et la condition initiale se traduit alors parKe-1= 2, soitK= 2e, donc l"unique solution de ce problème de Cauchy est la fonction y:x?→2e1-x2.

3.3 Résolution de l"équation complète

Théorème 5.Soity?+a(x)y=b(x)une équation différentielle linéaire sur un intervalleI, aveca

continue surI. Alors les solutions de cette équation sont de la formex?→Ke-A(x)+yp(x), oùK

est une constante réelle,Aune primitive fixée dea, ety0une solution particulière quelconque de

l"équation. Si de plus on impose la conditiony(x0) =α, avecx0?Ietα?R, la solution du problème de Cauchy existe et est unique, il s"agit de la fonctionx?→αeA(x0)-A(x)+e-A(x)?x x

0eA(t)b(t)dt.

Remarque7.La première partie du théorème indique simplement que toutesolution de l"équation

complète est obtenue comme somme d"une solution particulière et d"une solution de l"équation sans

second membre.

Démonstration.Commençons par la première affirmation. Soit doncypune solution particulière ety

une solution quelconque. On ay?+a(x)y=b(x)?y?+a(x)y=y?p+a(x)yp?(y-yp)?+a(x)(y-yp) =

0. La différence des deux fonctions est donc solution de l"équation homogène, ce qui en utilisant les

résultats du paragraphe précédent donne la forme demandée.

La deuxième moitié fait intervenir une technique qui sera fondamentale pour la suite. On cherche

une fonctionyvérifiant l"équation et telle quey(x0) =α. Posonsz(x) =y(x)eA(x). On obtient, très

similairement à ce qu"on a fait pour les équations homogènesun peu plus haut,z?(x) =b(x)eA(x). La

fonctionzest donc la primitive debeAvalantαeA(x0)enx0(cette primitive est unique), c"est-à-dire

z(x) =αeA(x0)+? x x

0b(t)eA(t)dt. Cela donne bien la formule souhaitée poury.

Remarque8.Cette formule n"est à peu près d"aucune utilité pour le calcul pratique de solution,

puisqu"on ne saura pas calculer l"intégrale. Pour réellement résoudre une équation différentielle, il

faut (et c"est bien le plus difficile) trouver une solution particulière. Pour cela, deux techniques utiles :

Méthode de variation de la constante :

Il est naturellement conseillé dans un premier temps de chercher une solution particulière "évidente »

(nous reviendrons sur certains cas particuliers un peu plusloin). Toutefois, dans le cas général, il

n"existe pas de solution particulière simple, et on a alors recours à la méthode suivante : on cherche

7 ypde la formeK(x)e-A(x). Autrement dit,ypest de la même forme que les solutions de l"équation

homogène, à la différence près qu"on a remplacé la constanteKpar une fonctionK(x)(d"où le nom

de variation de la constante).

Exemple 1 :On cherche à résoudre l"équation différentielley?+xy=x. L"équation homogène

associée a pour ensemble de solutions les fonctions de la formex?→Ke-x2

2, et une solution parti-

culière évidente est la fonction constante égale à1, donc les solutions de l"équation sont de la forme

Ke -x2 2+ 1. Exemple 2 :On cherche à résoudre surR?+l"équation différentielley?+ 2y x=exx. L"équation homogène associée esty?+2y x= 0, dont les solutions sont de la formeKe-A(x), oùAest une primitive quelconque de 2 x. Une telle primitive est2lnx, donc les solutions sont les fonctionsKe-2ln(x)=Kx2.

Reste à trouver une solution particulière, via la méthode devariation de la constante : posons

y(x) =K(x) x2, on a alorsy?(x) =K?(x)x2-2K(x)x3, doncK?(x)x2-2K(x)x3+2K(x)x3=exx. La fonctionquotesdbs_dbs45.pdfusesText_45

[PDF] solution particuliere equation differentielle d'ordre 2 avec second membre

[PDF] equation differentielle ordre 4

[PDF] comment développer une mémoire extraordinaire dominic o brien pdf

[PDF] equation differentielle ordre 3

[PDF] comment se déplacer dans un fluide bac pro

[PDF] solution particuliere equation differentielle d'ordre 2 physique

[PDF] différence entre conflit et problème

[PDF] equation differentielle ordre n

[PDF] pourquoi un bateau flotte t il bac pro

[PDF] conflit interpersonnel

[PDF] conflit intergroupe

[PDF] comment un avion vole t il bac pro

[PDF] comment peut on se deplacer dans un fluide corrigé

[PDF] comment chauffer ou se chauffer bac pro 3 ans

[PDF] conflit intrapersonnel définition