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Mécanique des structures Poutres continues - Théorème des trois moments TS 2

Poutres continues

Théorème des trois moments

1 - Définitions et notations.

1.1 - Définitions.

1.2 - Notations.

2 - Poutre isostatique associée.

3 - Théorème des trois moments.

4 - Expression des sollicitations et actions de liaison.

5 - Formulaire des rotations usuelles.

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Mécanique des structures Poutres continues - Théorème des trois moments TS 2

1 - Définitions et notations.

1.1 - Définitions.

Une poutre continue est une poutre droite horizontale, reposant sur plus de deux appuis simples, sans encastrement. La poutre est soumise à des charges verticales et les actions de liaisons sont verticales.

Soit par exemple la poutre continue suivante :

On remarque que les appuis sont constitués d'une articulation et de n appuis simples.

1.2 - Notations.

Les appuis sont numérotés de 0 à n : A

0 , ..., A i , ..., A n

Les travées sont numérotées de 1 à n.

On note i la travée située entre les appuis A i-1 et A i

On note L

i la portée ou longueur de la travée i. A 0 L 1 L 2 L i L n A 1 A 2 A i-1A i A n-1 A n Il y a (n+1) réactions d'appui et on peut écrire 2 équations de la statique, donc le degré d'hyperstaticité est égal à (n-1).

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2 - Poutre isostatique associée.

Une poutre continue comportant n travées peut être décomposée e poutres isostatiques sur lesquelles s'appliquent les mêmes charges que sur la poutre continue avec en plus les moments aux appuis. En fait, cela consiste à prendre comme inconnues hyperstatiques les (n-1) moments fléchissants sur appuis M 1 , ..., M i-1 , M i , M i+1 , ..., M n-1 qui s'exercent au droit des appuis A 1 , ..., A i-1 , A i , A i+1 , ..., A n-1 et que l'on fait apparaître en représentant la structure isostatique associée à la poutre continue.

Les valeurs de M

0 et M n sont nulles puisque A 0 et A n sont des appuis simples et qu'il n'y a pas de couple extérieur appliqué en ces points. Par exemple, la poutre continue à trois travées suivante peut être décomposée en trois travées isostatiques : A 0 A 1 A 2 A 3 p 2 L 1 L 2L 3 p 1 p 3 A 3 L 3 p 3 A 2 M 2 A 1 A 2 p 2 L 2 M 2 M 1 A 0 L 1 p 1 A 1 M 1 M 0 et M 3 = 0

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De façon plus générale, considérons à présent la travée i d'une poutre continue et

ses deux travées adjacentes, i-1 et i+1 : A i-2 A i-1 A i A i+1 p i L i-1 L iL i+1 p i-1 p i+1 A i-1 A i p i L i A i+1 L i+1 p i+1 A i A i-2 L i-1 p i-1 A i-1 M i M i M i+1 M i-1 M i-1 M i-2

On appelle :

M i désigne le moment sur l'appui A i (M i < 0) M i-1 désigne le moment sur l'appui A i-1 (M i-1 < 0) M i (x) désigne le moment fléchissant dans la travée i de la poutre continue M oi (x) désigne le moment fléchissant dans la travée i isostatique associée et chargée seulement par p i (x) sans les moments sur appuis M i et M i-1 i '' désigne la rotation à droite de la travée i, donc à gauche de l'appui A i i ' désigne la rotation à gauche de la travée i, donc à droite de l'appui A i-1 0i '' désigne la rotation à droite de la travée i, dans la travée i isostatique associée 0i ' désigne la rotation à droite de la travée i, dans la travée i isostatique associée E Le module d'Young du matériau constitutif de la poutre I Le moment quadratique de la poutre suivant l'axe de flexion concerné L i

La portée de la travée i

Pour que nos poutres isostatiques associées se comportent comme la poutre continue d'origine il faut écrire l'égalité des rotations sur les appuis : Rotation à gauche de l'appui = Rotation à droite de l'appui

Soit pour l'appui A

i i i+1

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3 - Théorème des trois moments.

A i-1 A i p i L i M i M i-1

Intéressons nous à la travée i :

A i-1 A i i i

Calculons pour cette travée les rotations DŽ

i ' et DŽ i en appliquant le principe de superposition :

Effet de M

i

Chargement Diagramme du moment Equation du moment

M(x) =

ii LxM-

Rotation DŽ

i

à droite de A

i-1 M i M(x)

Théorème de la charge unitaire :

i EI1

× dx

i ii

ML6EI1

Rotation DŽ

i

à gauche de A

i

Théorème de la charge unitaire :

i EI1

× dx

i ii

ML3EI1

Effet de M

i-1

Chargement Diagramme du moment Equation du moment

M(x) =

i1i Lx1M

Rotation DŽ

i

à droite de A

i-1

Théorème de la charge unitaire :

i EI1

× dx

i -1ii

ML3EI1

AA ii-1 x L i M i L i 1 - M i 1 - M i A i-1 A i L i M i-1M(x) M i-1 L i x 1 M i-1

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Rotation DŽ

i

à gauche de A

i

Théorème de la charge unitaire :

i EI1

× dx

i -1ii

ML6EI1

M i-1 1

Effet de M

0i

Chargement Diagramme du moment Equation du moment

M(x) = M

0i (x) p i M(x) x L i A i-1 A i L i

Rotation DŽ

i 0i

à droite de A

i-1

Rotation DŽ

i 0i

à gauche de A

i

Rotation DŽ

i ' à droite de A i-1 par superposition : 'DŽML3EI1ML6EI1'DŽ

0i1iiiii

Rotation DŽ

i '' à gauche de A i par superposition : ''DŽML3EI1ML6EI1''DŽ

0iii1-iii

Egalité des rotations : DŽ

i i+1 'DŽML3EI1ML6EI1''DŽML3EI1ML6EI1

10ii1i

1i1i1i

1i0iii

i1-ii i ''DŽ-'DŽ6EILM IL IL 3EM 6EILM 0i10i

1i1i1i

1i1i iii ii1-i Equation des 3 moments pour E = Cte et I différent selon les travées.

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Dans le cas où on a toujours E = Cte mais aussi I = Cte, l'équation des trois moments se simplifie : ''DŽ-'DŽ6EILMLL2MLM

0i10i1i1i1iiii1-i

4 - Expression des sollicitations et actions de liaison.

Les sollicitations dans la travée hyperstatique sont déterminées par superposition des sollicitations dues au chargement extérieur et celles dues aux moments sur appuis. Soit, pour le moment fléchissant, on peut écrire : ii i1ii0i

LxMLx1M(x)M(x)M

De même pour l'effort tranchant :

ii i1i i0i LM

LM(x)V(x)V

On déduit les actions de liaisons des valeurs de l'effort tranchant à droite et à gauche de l'appui A i 0VLVY 1iiiA i

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5 - Formulaire des rotations usuelles.

Cas de poutre sur deux appuis simple de rigidité E.I = Cte

Cas de charge

i

à droite de A

i-1 i

à gauche de A

i

16EIPL²

16EIPL²

P A i-1 Aquotesdbs_dbs7.pdfusesText_13

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