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37 Poutres et Planchers continus

Eléments de béton armé

Chapitre 1

Poutres et Planchers continus

38 Poutres et Planchers continus

Eléments de béton armé

3.1. Introduction

effort tranchant) dans les poutres et planchers continus. Comme nous le verrons, ces méthodes sont

adaptées au matériau béton capacités adaptation et le phénomène

3.2. Particularités liées au Béton Armé

3.2.1 Rappel de Resistance des Matériaux

Une poutre continue est une poutre reposant sur plusieurs appuis successifs pour former un système

hyperstatique.

La continuité de la poutre se traduit par:

¾ Une continuité des déformations, et notamment des rotations. ¾ Des moments sur appuis non-nuls permettant d'assurer cette continuité. La résolution du système pour une poutre élastique peut être conduit la formule des

trois moments (ou méthode de Clapeyron) qui fournie n-2 équations reliant les moments sur appuis (ou n

, qui permet: ¾ Déterminer les moments sur appuis Mw et Me à partir de la continuité des rotations.

¾ Déterminer les équations du moment fléchissant et de l'effort tranchant le long de la poutre.

Chaque travée peut être étudiée séparément comme une poutre isostatique soumise à deux moments a ces

extrémités, comme indique sur la Figure 3.1.

Figure 3.1 : P

Le théorème de superposition permet alors de résoudre ces trois chargements (chargement sur la travée

considérée isostatique et moments à à éparément, on obtient le moment fléchissant tranchant :

݈ 3.1

݈ 3.2

2ݔെݍݔ2

2

2െݍݔ

39 Poutres et Planchers continus

Eléments de béton armé

3.2.2 Rappels sur le théorème des 3 moments (formule de Clapeyron)

3.2.2.1 Présentation de la méthode

dus à cette continuité. Figure 3.2 : Schéma de calcul travée de référence.

Les sollicitations sont ݉:T;EOK et ݒ:T;EOK, les moments de continuité sont notés Mi-1 et Mi

Les rotations de la travée i sont notées ߱݅" t ߱ On commence par déterminer les moments sur appuis :

ܽ ݅=2ܾ݅=ܿ

3ܫܧ݅=ܥ

߱݅+1Ԣ݁ݐ ߱ sollicitations sont obtenues en

3.2.2.2 Exemple de calcul

Sachant que M1 et M3 en appui & et 3sont nuls, le théorème des 3 moments nous permet que :

24ܫܧ

24ܫܧ

3ܫܧ

3ܫܧ

4

Calcul des sollicitations

Pour la travée 1 : en appliquant les équations 3.1 et 3.2 :

Moment dans la travée : ܯ

8ݔെݍݔ2

2

݀ݔ=3ݍ݈

8െݍݔ

Effort normal est nul : N=0

8 ݁ݐ/݉ܽ

128
ai i-1 i i+1 ai-1 ai+1 li ai i ai-1 li ߱݅Ԣ ߱

Travée de référence

isostatique a2 EI q

EI a1 l l a0

ܴ0=ܴ

8 4

9ݍ݈2

128

ݍ݈2

4

3ݍ݈

8 5ݍ݈

8

5ݍ݈

8

40 Poutres et Planchers continus

Eléments de béton armé

3.2.3

La On doit donc se poser la

question du comportement du béton armé vis-à-vis de cette continuité. Pour comprendre le phénomadaptation, nous allons étudier les modes de ruine et les

sollicitations correspondantes de trois poutres en béton armé de même section brute et de même

port0

1-dans le premier cas de figure (poutre 1 de référence), on considère une poutre isostatique sur

deux appuis simples, -portée et a ses armatures à la partie inférieure. On augmente ensu. Elle se comporte comme deux poutres isostatique adjacentes par la création de la rotule plastique au milieu. A la rupture on a une charge P=Pu et le moment correspondant ܯݑ=ܲ 4, a: modèle de poutre b : mode de chargement c : mode de rupture (mécanisme) Figure 3.3 : Mode de rupture de la poutre de référence.

2- La poutre 2 a le même ferraillage que la première, mais elle est encastrée à ses extrémités.

une fissuration des appuis. La première plastification se

plastique à mi travée et on retrouve le comportement de la poutre isostatique étudiée

précédemment. A la rupture le moment ܯݑ=ܲ 4. a: modèle de poutre b : fissuration des appuis c : mode de rupture (mécanisme)

Figure 3.4 : Mode de rupture de la poutre 2.

On prend la même poutre bi-encastrée, la 0 est placée en fibre supérieure, on a une fissuration au milieu de la poutre qui travaille ensuite comme deux consoles nez à nez. La poutre retrouve le même mécanisme de rupture de la poutre initiale. A la rupture le moment 4 a: modèle de poutre b : fissuration à mi travée c : mode de rupture (mécanisme)

Figure 3.5 : Mode de rupture de la poutre 3.

41 Poutres et Planchers continus

Eléments de béton armé

En comparant ces 3 essais, on conclue que la charge de rupture (identique dans les 3 cas) ne

0 correspondant au fonctionnement isostatique (sur deux

appuis simples), indépendamment de la position de ces aciers. moment des appuis vers la travée, ou réciproquement, sans que ce transfert compromette la sécurité vis à vis de la rupture en adoptant :

2൒ܣ

b ıst , il vient

M = A.zbıst

2൒ܯ

Figure 3.6 : Ferraillage de principe de la poutre continue. La fissuration des sections les moins armées permet une redistribution des moments qui diffère de celle donnée par la théorie de la résistance des matériauxest le phénomène du béton armé. calculé par la méthode des 3 moments. Dans ce cas, la une augmentation du moment en travée. Figure 3.7 : Diagramme du moment avant et après redistribution.

3.2.4 Phénom

Le béton armé à

temps infini.

poutre élastique. Par conséquent, on supposera que le moment sur un appui ne dépend que des charges

supportées par les deu3.7.

42 Poutres et Planchers continus

Eléments de béton armé

Figure 3.8 : Comparaison du moment fléchissant dans le cas de la théorie de la RDM et dans le cas du béton armé.

3.3 Méthodes propres aux BA

suivantes sont proposées : ¾ La méthode forfaitaire (annexe E.1 du BAEL) pour les éléments supportant des charges -après. ¾ La méthode de Caquot (annexe E.2 du BAEL) pour les éléments supportant des charges ¾ La méthode de Caquot minorée (Annexe E.2 du BAEL).

3.3.1 Méthode forfaitaire (Annexe E.1)

3.3.1.1

pour déterminer les moments sur appui et en travée, si les conditions sont vérifiées. a-à-dire où : qB = somme des charges variables, g = somme des charges permanentes,

2. La fissuration ne compromet pas la tenue des revêtements ni celle des cloisons,

3. identiques le long de la poutre des différentes

travées,

4. Les portées vérifient les rapports suivants :

0.8൑݈݅

݈݅െ1൑1.25 0.8൑݈݅

݈݅+1൑1.25

3.3.1.2 Principe de la méthode Adaptation

La méthode consiste donc à déterminer des moments sur appuis, Mw et Me, et des moments entravée Mt grâce à des fractions fixées forfaitairement de la valeur maximale du moment

43 Poutres et Planchers continus

Eléments de béton armé

fléchissant Mo dans la travée de référence (c'est-à-dire considérée isolée et isostatique).

3.3.1.2 Calcul des moments

1-Evaluation des moments isostatique pour chaque travée i

8

Pi=1.35g+1.5qB en état limite ultime

Pi=g+qB en état limite de service

3-Valeurs minimales des moments Mt, Me et Mw pour chaque travée

a-Calcul des moments en appui : La valeur absolue de chaque moment sur appui intermédiaire doit être au moins égale à :

ƒ 0.6M0 pour une poutre à deux travées,

ƒ 0.5M0 deux travées,

ƒ 0.4M0 travées.

b-Calcul des moments en travées : ƒ Mt Į)M0 /2 dans une travée intermédiaire,

ƒ Mt Į0 /2 dans une travée de rive.

¾ Poutre a deux travées

Ma < 0

Mt > 0

¾ Poutre a plus deux travées

Pour chaque travée les valeurs des moments en travée Mt et sur appui Mw et Me doivent vérifier :

Mti+Mw+Me

1.05M0i

Ce qui se traduit par le schéma suivant :

0 ou 0.15M01

0 ou 0.15M02

0.6 max(M01,M01)

0.15M01

ܯݐ1൒1.2+0.3ߙ

2ܯ

ܯݐ2൒1.2+0.3ߙ

2ܯ

0 ou 0.15M01

0.5 max(M01,M02)

0.15M01

ܯ ݐ1൒1.2+0.3ߙ

2ܯ

ܯݐ2൒1+0.3ߙ

2ܯ

ܯݐ3൒1+0.3ߙ

2ܯ

0.4 max(M02,M03)

0.15M01

44 Poutres et Planchers continus

Eléments de béton armé

Remarque

sur cet appui des aciers supérieurs pour équilibrer un moment Ma1 -0,15 M0.

Mode opératoire

Dans la pratique, on prend la valeur minimale des moments sur appui Mw et Me (en valeur absolue), puis on calcule Mt par les formules des moments.

3.3.1.3 Arrêt des barres

Lorsque les trois conditions suivantes sont réunies : q g, les charges sont reparties et les moments sur

appui sont pris à leur valeur absolue minimale (valeurs adoptées), il est alors possible de déterminer de

façon forfaitaire la e sur la Figure 52.

Figure 3.9 : Arrêt des barres forfaitaire.

arrêt forfaitaire des barres, il faut tracer la courbe enveloppe des moments fléchissant (voir la méthode de Caquot).

3.3.1.4 Effort tranchant

analytiquement par la formule suivante :

݌݋ݑݎ ݔ=0

2െ݌ݔ

2+ܯ݁݅െܯ

2+ܯ݁݅െܯ

3.4 figure suivante :

Figure 3.10 : Valeur forfaitaire .

45 Poutres et Planchers continus

Eléments de béton armé

En notant V0i travée isostatique de référence i.

3.3.1.5 Exercices de cours

Exercice 1 : Poutre continue à deux travées inégales Calculer les moments fléchissants sur appuis et en travées selon la méthode forfaitaire : -la section de la poutre est supposée constante, -la fissuration est considérée non préjudiciable

1-Etapes de calcul

a- 9

9 La fissuration est non préjudiciable

9 Les conditions des charges sont supposées verifiées

9 Vérification du rapport des travées :0.8൑݈݅

݈݅+1൑1.25

݈2

݈1=7.5

6=1.25 la méthode forfaitaire est applicable

b- calcul des moments isostatiques : ܯ0݅=ܲ 8 pour la travée 1 : ܯ01=36.00݇ܰ pour la travée 2 : ܯ02=56.25݇ܰ c- calcul des moments en appuis Moment sur appui de rive : on considère ܥܯ=ܣܯ d- calcul des moments en travée : Il faut pour chaque travée satisfaire les inégalités suivantes : pour la travée 1: ܯݐ1൒1.2+0.3ߙ

2 ܯ01 ܽݒ݁ߙ ܿ

3, ܯݐ1൒0.65ܯ01=23.40 ݇ܰ

Et on doit verifier : ܯݐ1+ܯݓ1+ܯ

2) ܯݐ1൒22.72 ݇ܰ.݉ , on prend alors ܯݐ1=23.40 ݇ܰ pour la travée 1:ܯݐ2൒1.2+0.3ߙ

2 ܯ02 ܽݒ݁ߙ ܿ

3, ܯݐ2൒0.65ܯ02=36.56݇ܰ

on doit verifier : ܯݐ2+ܯݓ2+ܯ 2) ܯݐ2൒45.00 ݇ܰ.݉ on prend alors ܯݐ2=45.00 ݇ܰ e- Calcul de

Travée 1 :

2+ܯ

݈1 et ܸݓ=െܲ

2+ܯ

݈1 soit :

൜8ݓ1=19.28 ݇ܰ

8݁1=െ28.73 ݇ܰ et ൜8ݓ2=33.37 ݇ܰ

8݁2=െ26.62 ݇ܰ

Résumé des résultats

Travées Moment en (kN.m) Efforts tranchants (kN) Effort normal(kN)

1 -5.40 23.40 െ33.75 19.28 -28.73 0

2 െ33.75 45.00 -8.44 33.37 -26.62 0

46 Poutres et Planchers continus

Eléments de béton armé

Diagrammes des sollicitations :

a-Diagramme du moment (kN.m) b-

Figure 3.11 : Diagrammes des sollicitations.

Exercice 2 : Poutre continue à trois travées inégales : Déterminer les moments de flexion sur appuis et en travées par la méthode forfaitaire.

Etapes de calcul :

1-Etapes de calcul

a-

9 Vérification du rapport des travées :0.8൑݈݅

݈݅+1൑1.25

݈2

݈1=7.00

5.60=1.25 , ݈3

݈2=6.00

7.00=0.857 la méthode forfaitaire est applicable

b- Calcul des moments isostatiques : ܯ0݅=ܲ

8 , ܲݑ=1.35ܩ+1.5ܲ ܰܣ ܳݑ=12݇ܰ

Pour la travée 1 : ܯ01=47.04 ݇ܰ

Pour la travée 2 : ܯ02=73.50 ݇ܰ

Pour la travée 2 : ܯ03=54.00 ݇ܰ

c- Calcul des moments sur appuis Moment sur appui de rive : théoriquement ܦܯ=ܣܯ

0.15ܯ

d- calcul des moments en travées :

Travée1 Travée2 Travée3

2, 1.2+0.3ߙ

2=0.675, 1+0.3ߙ

2=0.575, 1+0.3ߙ

ܯݐ1൒1.2+0.3ߙ

2 ܯ01=31.75݇ܰ.݉ ܯݐ2൒1+0.3ߙ

2 ܯ02 ܯݐ3൒1+0.3ߙ

2 ܯ

2൰ ܯݐ3൒൬1.15ܯ03െܥܯ

2൰

On retient : ܯݐ1=35.72 ݇ܰ.݉ ܯݐ2=47.80 ݇ܰ.݉ ܯݐ3=43.73 ݇ܰ ܸݓ1=27.04 ܸ݇ ܰݓ2=42.00 ܹܸ݇ ܰ3=12.75 ݇ܰ ܸ݁1=െ33.60 ܸ݇ ܰ݁2=െ42.00 ܸ݇ ܰ݁3=െ0.125 ݇ܰ N=0

47 Poutres et Planchers continus

Eléments de béton armé

a-Diagramme du moment (kN.m) b-

Figure 3.12 : Diagrammes des sollicitations.

3.3.2 Calcul des poutres par la méthode de Caquot (Annexe E.2)

3.3.2.1

La méthode proposée par Albert Caquot,

(Inerties variables ; différence de longueur entre les portées supérieure a 25% ; fissuration

préjudiciable ou très préjudiciable).

3.3.2.2 Principe de la méthode

La méthode tient compte :

ƒ table de

compression.quotesdbs_dbs45.pdfusesText_45

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