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Pascal ORTIZ

Sommes

Éléments de cours, 61 exercices

Version du 1

eroctobre 2018

Licence CC-BY

Table des matières

1 Présentation

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

Découverte de la notion de somme

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

Dé?nition formelle d"une somme

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

Indice muet

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Déployer une somme

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 La somme1 + 2 + 3 ++n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

Extensions de la dé?nition

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Sommes remarquables

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

Sommes des termes d"une suite géométrique

. . . . . . . . . . . . . . . 5

La factorielle

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

Le coe?cient binomial

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

Le triangle de Pascal

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Formule du binôme de Newton

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Conséquences classiques de la formule du binôme . . . . . . . . . . . . 12

Somme des puissances d"entiers consécutifs

. . . . . . . . . . . . . . . . 13

3 Propriétés des sommes

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

Découpage d"une somme

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

Somme d"une expression constante

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Nombre de termes dans une somme

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Linéarité de la sommation

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Changement d"indice dans une somme

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Notion de télescopage

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4 Sommes multiples

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

Sommes emboîtées

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

Théorème de Fubini

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

Interversion plus générale

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

5 Sommes et programmation

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Calculer des sommes en Python

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Calcul de sommes formelles avec SageMath

. . . . . . . . . . . . . . . . 21

6 En vrac ...

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

Importance des sommes en mathématiques

. . . . . . . . . . . . . . . . 22

Somme vide

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 iindice et{complexe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Indice muet et double somme

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Télescopage sans déploiement

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

Homogénéiser par décalage d"indice

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

Réduction après changement d"indice

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1Présentation

Découverte de la notion de somme

est une lettre grecque majuscule, équivalente à notre S. Le symboleest une notation utilisée

pour désigner dessommesmathématiques.

Soit la quantité suivante

S=8X i=4(10i+ 2) Alors, cette notation doit se comprendre de la manière suivante :Svaut lasommede tous les nombres de la forme

10i+ 2

lorsque l"indiceiprend toute les valeurs entières entre 4 et 8, ces deux valeurs étant incluses.

Le calcul donne queS= 310. Le tableau suivant montre comment calculerS:i45678

10i+ 24252627282

Somme4294156228310

Dé?nition formelle d"une somme

Soit une suite(xk)kde nombres réels ou complexes dé?nie entre deux indices ?xésietjtels queij.

Alors, par dé?nition,

j X k=ix k=xi+xi+1+xi+2++xj

Variante de notation :

X ikjx k=xi+xi+1++xj

et plus généralement, si on apindices deux à deux distinctsi1;i2;:::;ipdansfi;:::;jget si on

poseK=fi1;i2;:::;ipgalors on peut dé?nir S=X k2Kx k=xi1+xi2++xip et siKest vide, on convient queS= 0.

Remarque.J"éviterai de dé?nir une sommeS=iX

k=jx koù on auraiti < jcar ce serait ambigu à cause de deux interprétations incompatibles suivantes : 2 -une somme ne dép endantpas de l" ordredes termes, on aurait S=jX k=ix k les indices de la somme par courraientl" ensemblefk;jkigqui est l"ensemble vide et doncS= 0

Indice muet

La somme

S=10X k=1(2k1)

est une constante qui NE dépend PAS dek. La lettreksert juste à exprimer la quantité variable

lorsque l"on somme. D"ailleurs, la somme vaut 100 :

S= 1 + 3 + 5 ++ 19 = 100

et donc elle ne dépend pas dek. On dit quekest unelettre muetteou unevariable muetteet on peut remplacerkpar n"importe quelle lettre non déjà utilisée, par exemple icij: 10 X k=1k=10X j=1j

En revanche, sin0est un entier donné, la somme

n X k=1k= 1 + 2 ++n dépend de la valeur denpuisqu"on obtient des valeurs di?érentes selon quenvaut par exemple

2 ou 5. Donc on peut noter cette sommeSn.

Si au cours d"un calcul, vous vous retrouvez avec une somme qui dépend d"un indice de som- mation, c"est que vous avez fait une erreur quelque part. Par exemple, si vous arrivez à p X n=1n=n(n+ 1)2

votre résultat est absurde puisque votre réponse dépend denqui est l"indice de la somme (et qui

n"a pas d"autre existence en dehors de permettre le calcul de la somme).

Déployer une somme

Quand je parlerai dedéployer une sommecela signi?era qu"on récrit une somme initialement présentée avec le symbole sigma nP k=1x ksous sa forme sans sigma x

1+x2++xn

3

Lorsque

les te chniquesde transformations de sommes ne sont pas bien comprises, le formalisme de vientinutilement compliqué , il est plus simple ou plus productif de revenir à la dé?nition d"une somme avec des points de suspension.

La somme1 + 2 + 3 ++n

Soitn2Nn f0g. On peut considérer la somme

S n=nX k=1k= 1 + 2 + 3 ++n Il s"agit donc de la somme desnpremiers entiers strictement positifs. A priori, il n"est pas acquis queSnpuisse se simpli?er en une formule simple. Pourtant, on peut réduireSnavec la formule suivante : n X k=1=n(n+ 1)2

Cette formule peut s"établir de nombreuses façons. Elle a contribué à la légende du mathémati-

cien Gauss qui aurait découvert et appliqué cette formule au casn= 100alors qu"il était encore

à l"école primaire, comme c"est raconté dans sa biographie On peut en établir la preuve par récurrence surnmais cette preuve n"explique pas l"origine de la formule.

Une autre façon de faire est la suivante :

S n= 1 + 2 + 3 +:::+ (n1) +n S n=n+ (n1) + (n2) +:::+ 2 + 12Sn= (n+ 1) + (n+ 1) + (n+ 1) +:::+ (n+ 1) + (n+ 1)

2Sn=n(n+ 1)

S n=n(n+ 1)2

Commentaires

On é critSntermes à termes, puis en-dessous, on écritSntermes à termes mais en commen-

çant par la ?n.

On constate alors que la somme de deux termes l"un en-dessous de l"autr eest constante et

égale àn+ 1.

Que la somme soit constante est justi?é epar le fait que les termes dans la pr emièresomme augmentent de 1 tandis que dans la 2 esomme, les termes diminuent de 1 d"où compensation quand on les additionne.

En?n, à l"avant-dernièr eligne et à la pré cédente,la somme dans le membr ede dr oitecontient

ntermes, d"où la valeurn(n+ 1). 4

Extensions de la dé?nition

Dans les exemples précédents, les indices des termes sommés prennent toutes les valeurs en-

tières entre deux bornes mais il est possible de restreindre la somme à des indices véri?ant une

condition. Par exemple, la notation 5 X i=0ipair(10i+ 2)

désigne la somme2 + 22 + 42où l"indice ne prend que les valeurs paires entre 0 et 5, à savoir

0, 2 ou 4.

Autre exemple. La somme

S=X

02k+110k

2 est e?ectuée pour tous les indiceskentiers tels que02k+ 110autrement dit pour k= 0;:::;4en sorte queS= 02+ 12+ 22+ 32+ 42= 0 + 1 + 4 + 9 + 16 = 30.

Autre extension de la définition

En réalité, on peut sommer toute quantité un nombre ?ni de fois. Donc si on veut faire la somme

Sdes quantités10i+jpour tous les indicesietjtels que1i3et2j4, on écrira S=X

1i32j410i+j

Svaut :(12 + 13 + 14) + (22 + 23 + 24) + (32 + 33 + 34) = 207 Dans le cas présent, tout revient à faire une somme de termes indexés par des couples(i;j)2 f1;2;3g f2;3;4g. Il serait facile de formaliser cette notion. 2

Sommes r emarquables

Sommes des termes d"une suite géométrique

Il n"y qu"une seule version à retenir et àbienretenir : (?) 1 +x+x2++xN=NX k=0x k=8 :x

N+11x1six6= 1

N+ 1sinonIci,Ndésigne un entier positif ou nul. La formule " générale » suppose que la raisonxest

di?érente de 1 (le dénominateur s"annulerait sinon).

Bien noter les points suivants :

il y a deux casselon quexvaut 1 ou pas; le dénominateur qui s"annule si x= 1 5 -la quantité N+ 1qui intervient dans les deux cas est le nombre de termes de la somme; le pr emierterme à gauche est toujours 1. De nombreuses situations se ramènent à(?). Par exemple, si S=13X k=3x k et en supposantx6= 1alorsSpeut se récrire de l"une des deux façons suivantes : le plus simple ,en factorisant S=x313P k=3xk3=x310P j=0xj=x3x111x1 en additionnant et r etranchant: S=BAoùA=13P k=0xketB=2P k=0xketAetBpeuvent se calculer avec la formule(?).

Conséquence

En faisant le produit en croix dans la formule(?)et en posantx=ab , on obtient la factorisation suivante, valable quels que soientaetb: a nbn= (ab)n1X k=0a kbn1kDans la somme, on remarquera que : le nombr ede termes est l" exposantn la somme des e xposantsde aet debsous le signevaut toujoursn1.

Cas particulier

En changeantbenbet en supposantn= 2m+ 1impair, on obtient l"identité suivante : a

2m+1+b2m+1= (a+b)(a2ma2m1b++bm)Par exemple,a3+b3= (a+b)(a2ab+b2), résultat qu"un matheux doit connaître.

Observer les points suivants :

cette formule ne p ermetpas de factoriser des e xpressionde la forme a4+b4car l"exposant doit être impair; entr eles par enthèsesdu 2 efacteur de droite, les termes alternent de signe, en terminant par un plus.

La factorielle

Sinest un entier strictement positif, on appellefactorielledenle nombre suivant :

12 n:

6 La factorielle dense noten!. C"est donc le produit de tous les entiers entre 1 etn. La factorielle véri?e la propriété suivante : (?) (n+ 1)! =n!(n+ 1) valable pour tout entiern >0.

Voici les 5 premières factorielles :

1! = 1

2! = 2

3! = 23 = 6

4! = 64 = 24

5! = 245 = 120

La factorielle dengrandit très vite, asymptotiquement plus vite que n"importe quelle exponen- tielle den(c"est-à-dire, du typean). On souhaite pouvoir donner une valeur à la factorielle de0. Pour cela, on s"arrange pour que la relation(?)soit encore vraie pourn= 0, ce qui donne :

1! = 10!

ce qui impose0! = 1. On peut démontrer que le nombren!admet une interprétation combinatoire : c"est le nombre de denobjets. Par exemple, voici les 6 façons d"aligner trois objets nommésA,BetC: A B C A C B B A C B C A C A B C B A

Preuve par récurrence

Montrons l"assertion par récurrence surn.

Sin= 1il y a bien un seul rangement possible de 1 objet. Fixonsn1et supposons que le nombre de permutations denobjets soitn!. Donnons-nous un alignement den+ 1cases, numérotées1,2, etc.netn+ 1et donnons-nousn+ 1objets distinctsX1,X2;:::;Xn;Xn+1à placer dans les cases. Pour bien distinguer, notonsXl"objet X n+1. Toute permutation den+ 1objets placera forcémentXdans l"une desn+ 1cases. Cette case étant connue, disons la case numérok, on obtiendra toutes les permutations desn+ 1objets telles queXsoit dans la caseken plaçant lesnobjets autres queXdans lesncases restantes. Le placement denobjets dansncases peut se faire, d"après l"hypothèse de récurrence, den!

façons. Il y an+ 1possibilités de placement de l"objetX(soit à la case numérok= 1, soit à la

case numérok= 2, etc soit à la case numérok=n+1), et il y an!placements par cas, donc, on obtient un nombre total de permutations valant(n+1)n! = (n+1)!ce qui termine l"hérédité et achève la récurrence. 7

Le coe?cient binomial

Sipetnsont des entiers tels que

0pn alors on appellecoe?cient binomialn p le nombre suivant : (1) n p

=n!p!(np)!Ce nombre est lu "pparmin». Comme moyen mnémotechnique, on observera qu"au dénomi-

nateur, on ap+ (np) =n.

Il se trouve quen

p est un nombre entier mais cela n"a rien d"évident a priori. La formule ci-dessus n"est pas adapté au calcul. En e?et,n!peut être un nombre très grand.

Ainsi, calculons par exemple11

4 11 4 =11!4!7! =39916800245040= 330 Cherchons une formule plus appropriée. Dans (1), on peut simpli?ern!par(np)!. Une fois simpli?é, il reste le produit desn(np) =pentiers en décroissant à partir den, autrement dit les entiersnkaveckvariant de0àp1: n0;n1;:::;n(p2);n(p1) Commen(p1) =np+ 1, on obtient la jolie formule suivante : n p =n(n1):::(np+ 1)p! ou encore (2) n p =n(n1) (np+ 1)p(p1) 1Cette formule est particulièrement simple à retenir : la fraction commence comme le membr ede gauche : nen haut etpen bas; le numérateur comme le dénominateur sont le pr oduiten dé croissantde pentiers positifs.

Recalculons

11 4 =1110984321= 11103 = 330 on voit que le calcul est beaucoup plus léger. En particulier, de la formule (2), en isolantnetp, on obtient la formule suivante : 8 (3) n p =np n1 p1valable si1pn.

Symétrie

La formule (1) montre que

n np =n ppuisque n np =n!(np)!(n(np))!=n!(np)!p!=n p

Ainsi,

11 7 =11 4 = 330.

Valeurs remarquables

Sip= 0alors (1) donne :

n p =n!n!0!=n!n!= 1

Sip= 1alors (2) donne :

n p =n1 =n Ainsi n 0 =n n = 1;n 1 =n n1 =n:

Relation fondamentale

Nous avons calculé

11 4 = 330. Calculons10 4 et10 3 10 3 =1098321= 1034 = 12010 4 =109874321= 1037 = 210

Comme120 + 210 = 330, on a11

4 =10 3 +10quotesdbs_dbs20.pdfusesText_26

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