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Mée sur Seine (77), Deniz Bugday, Sébastien
Bazabas et Samir Bentahar du lycée Romain
Rolland, Argenteuil (95)
enseignantes : Sabine Giros, Dominique Guy et Jolle Rhodes chercheur : Loc Allys lycée Romain Rolland d'Argenteuil (95) - nombres sommes de carrésRecherche des nombres entiers naturels ntels que
l'équation x2+y2=nadmette des solutions entières. Quelles sont les propriétés de tels nombres ? Combien existe-t-il de solutions pour un nombre ndonné ?SUJET :
Est-ce que tout nombre entier peut s'écrire
sous la forme d'une somme de deux carrés ?Quels sont les nombres ntels que n=a2+b2,
avec aet bdes entiers naturels ?Démarche :
Nous avons commencé par faire la liste des
nombres de 0 à 99 qui sont somme de deux carrés [NDLC. Voir l'annexe, page 26].Remarques :
• Certains nombres peuvent s'écrire de deux façons : 25 = 52+ 02= 42+ 3250 = 52+ 52= 72+ 12
125 = 102+ 52= 112+ 22
• Solutions triviales : tout carré parfait (nombre qui s'écrit sous la forme P2+ 02) ainsi que le nombre qui le suit (qui s'écrit sous la forme P2+ 12) sont solutions du pro- blème.Exemple : 25 = 52+ 02et 26 = 52+ 12
• Nous n'avons pas trouvé de loi qui nous permette de déterminer les nombres n. En vertu de cela, on a cherché à étudier quelques propriétés de ces nombres, comme la multi- plication, l'addition et la parité.Produit : Si deux nombres sont sommes de
deux carrés, alors leur produit est somme de deux carrés.Démonstration.Si N=a2+b2et P=c2+d2
alors N´P= (a2+ b2) (c2+ d2) = a2c2+ a2d2+ b2c2+ b2d2 = a2c2+ a2d2+ b2c2+ b2d2Ð 2abcd+ 2abcd = (a2c2+2abcd+b2d2)+(a2b2Ð 2abcd+ b2c2) et :N´P= (ac+ bd)2+ (adÐ bc)2Exemples :
• 5 = 22+ 12et 13 = 32+ 22alors 5 ´13 = 65 et 65 = 82+ 12, •9 = 32+ 12et 13 = 32+ 22alors 9´13 = 117 et 117 = 92+ 62.Conséquence.
Soit un entier naturel z. Si les facteurs
p remiers dont zest le produit sont tous sommes de deux carrés, alors zest aussi somme de deux carrés. page 23ÒMATh.en.JEANSÓ en 1997
Somme : La somme de deux nombre s
somme de deux carrés n'est pas forcément somme de deux carrés.Exemple : (12+ 12) + (22+ 12) = 7, or 7
n'est pas somme de deux carrés [comme on peut le vérifier facilement].La parité.
Le cas des nombres pairs :
Si Nest pair et s'écrit sous la forme d'une
somme de deux carrés alors N/ 2s ' é c r i t sous la forme d'une somme de deux carrés.Démonstration.Soit N= 2 pet N=a2+b2
avec a³ b, alors ; et donc N/2 est somme de deux carrés. [NDLR : a2et aont la même parité, de même que b2et b;aet bont donc la même parité : ils ne peuvent être l'un pair et l'autre impair, sinon a2et b2seraient l'un pair et l'autre impair et Nserait impair ; donc a+bet aÐb sont pairs.]Exemple :N= 34 = 25 + 9 = 52+ 32. On
divise 34 par 2 et on obtient :Conséquence :
Pour savoir si un nombre pairnest somme
de deux carrés, on se ramène au nombre impairn0tel que n= 2pn0.Conclusion :
Il reste à savoir comment écrire un nombre
impair sous la forme d'une somme de deux carrés.Le cas des nombres impairs :
On cherche donc maintenant à écrire un
nombre impair, sous la forme d'une somme de deux carrés.Un nombre impair est la somme d'un nombre
pair et d'un nombre impair. Si a2est un nombre pair et b2un nombre impair, néces- sairement aest pair et best impair. Soit a= 2 Ket b= 2 K' + 1. On a donc : a2+ b2= (2 K)2+ (2 K' + 1)2 = 4 K2+ 4 K'2+ 4 K+ 1 = 4 (K2+ K'2+ K) + 1 = 4 K" + 1Conclusion :
Si un nombre impair est somme de deux
carrés, alors il est de la forme 4 K+ 1.Exemple :
13 = 32+ 22
= (2 ´1)2+ (2 ´1 + 1)2 = 4 (12+ 12+ 1) + 1 = 4 ´3 + 1La réciproque est fausse: en effet si un
nombre est de la forme 4 K+ 1, il n'est pas forcement somme de deux carrés. Contre-exemple : 21= 4 ´5 + 1 ne s'écrit pas sous la forme de deux carrés.Conséquence :
Si un nombre impair s'écrit sous la forme
4K+ 3, alors il ne peut pas être somme de
deux carrés. La démarche suivante a été de démontrer que si un nombre somme de deux carrés est multiple de 3alors il est multiple de 9.Démonstration.
Soient N=a2+b2et N= 3n. Dans la division
par 3 de aet b, les restes possibles sont 0, 1 ou 2. On écrit asous la forme 3xou 3x+ 1 ou 3x+ 2 et bsous la forme 3you 3y+ 1 ou 3y+ 2. On a envisagé tous les cas pos- sibles : p = N 2 (a2 + b2) 2 (a2 + 2 a b + b2) 4 (a2 Ð 2 a b + b2) 4 = a + b 2 2 a Ð b 2 2 17 =5 Ð 3
2 2 + 5 + 3 2 2 = 12 + 42 page 24ÒMATh.en.JEANSÓ en 1997
I) N= (3x)2+ (3y)2= 9 (x2+ y2).
Nest un multiple de 3et aussi un multiple
de 9.II) N= (3x)2+ (3y+1)2
= 3[3(x2+ y2)+ 2y] + 1Nn'est alors pas multiple de 3.
III) N= (3x)2+ (3y+2)2
= 3[3(x2+ y2) + 4y+1] + 1 Idem.IV) N= (3x+1)2+ (3y)2
= 3[3(x2+ y2) + 2x] + 1 Idem.V) N= (3x+2)2+ (3y)2
=3[3(x2+ y2) + 4x+ 1 ] + 1 Idem.VI) N= (3x+1)2+ (3y+1)2
= 3[3(x2+ y2) + 2x+ 2y] + 2Idem. [NDLR : restent encore trois cas :]
VII) N= (3x+1)2+ (3y+2)2
= 3[3(x2+ y2) + 2x+ 4y] + 5 = 3[3(x2+ y2) + 2x+ 4y+ 1] + 2VIII) N= (3x+2)2+ (3y+1)2
= 3[3(x2+ y2) + 4x+ 2y] + 5 = 3[3(x2+ y2) + 4x+ 2y+ 1] + 2IX) N= (3x+2)2+ (3y+2)2
= 3[3(x2+ y2) + 4x+ 4y] + 8 = 3[3(x2+ y2) + 4x+ 4y+ 2] + 2On obtient un multiple de 3 seulement dans le
premier cas et alors c'est aussi un multiple de 9.Généralisation : Si N, somme de deux
carrés, est multiple de 4k+ 3alors Ne s t multiple de (4k+3)2.D é m o n s t r a t i o n .Soit N= (4k+3) P et
N=X2+Y2. Posons X= (4k+3)a+aet
Y= (4k+ 3 )b+ bavec aet binférieurs
à 4k+3. Alors :
N= [(4k+3)a+ a]2+ [(4k+3)b+ b]2
= [(4k+3)a]2+ 2(4k+3)aa+ a2 + [(4k+3)b]2+ 2(4k+3)bb+ b2 = (4k+3) [(4k+3)a2+ 2aa+ (4k+3)b2+ 2bb] + a2+ b2Or a2+ b2est une somme de deux carrés
et 4k+3 ne peut donc pas diviser a2+ b2.Ainsi a2+ b2= 0 et donc a= b= 0
soit X= (4k+ 3 )aet Y= (4k+ 3 )bet donc N= (4k+3)2(a2+ b2).Conséquence.Si un nombre, somme de deux
carrés X2et Y2est multiple de (4k+3) alors X et Yle sont aussi.Conclusion. Pour un nombre Ndonné,
on décompose Nen facteurs premiers :N= p1p2É pn.
Si p1,p2, É, pnsont sommes de deux carrés,
alors Naussi (d'après les résultats sur le pro- duit, page 23).Si des nombres pine sont pas somme de deux
carrés, alors, il faut qu'ils apparaissent 2, 4, 6 ou 2nfois pour que Nsoit somme de deux carrés. [ N D L C .On trouvera page suivante l'annexe annoncée, donnant une table de décomposi- tion des 100 premiers entiers.] page 25ÒMATh.en.JEANSÓ en 1997
ANNEXE
n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2122
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
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