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Chapitre 18

Somme de sous-espaces vectoriels.

Espaces vectoriels de dimension finie

Table des matières

1 Somme de sous-espaces vectoriels - espaces vectoriels supplémentaires

3

1.1 Somme de sous-espaces vectoriels

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.1 Définition et premières propriétés

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.2 Famille génératrice d"une somme

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Somme directe

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.1 Définition

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.2 Caractérisation d"une somme directe

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.3 Le raisonnement par analyse-synthèse pour prouver qu"une somme est directe.

. . . . . . . 6

1.2.4 Sous-espaces supplémentaires

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 Espaces vectoriels de dimension finie

8

2.1 Notion de dimension

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.1.1 Espaces vectoriels de dimension finie

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.1.2 Théorème de la dimension et notion de dimension

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.1.3 Familles libres, génératrices en dimensionn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10

2.1.4 Un dernier résultat à connaître : Base de TaylorRn[X]. . . . . . . . . . . . . . . . . . .11

2.2 Sous-espaces vectoriels

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.3 Rang d"une famille de vecteurs

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.3.1 Rang d"une famille finie de vecteurs

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.3.2 Déterminer le rang d"une famille de vecteur en pratique

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3 Sommes de sous-espaces vectoriels en dimension finie

13

3.1 Dimension d"une somme en dimension finie

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.2 Somme directe et dimension (en dimension finie)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.3 Espaces supplémentaires en dimension finie

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.3.1 Cas de deux sous-espaces

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.3.2 Généralisation àpsous-espace vectoriel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4 Preuves et solutions16

4.1 Preuves

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4.2 Solutions

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2

Somme de sous-espaces vectoriels.

Espaces vectoriels de dimension finieECS1 - Mathématiques(I) : minimum vital | (II) : au programme | (III) : Pour les Experts

Somme de sous-espaces vectoriels.

Espaces vectoriels de dimension finie 3Dans ce chapitreEdésigne unK-espace vectoriel non réduit au singleton{0E}.

1 Somme de sous-espaces vectoriels - espaces vectoriels supplémentaires

1.1 Somme de sous-espaces vectoriels

1.1.1 Définition et premières propriétésDéfinition 1. (Somme de deux sous-espaces vectoriels)

SoitFetGdeux sous-espaces vectoriels deE. On appelle somme deFetGl"ensemble

F+G={v+w, v?F,w?G}Remarque. A retenir

u?F+Gse traduit donc par :u=u1+u2avecu1?Fetu2?G.Attention !F+Gest donc un ensemble. On va voir ci-dessous que c"est même un sous-espace vectoriel. Mais

F+Gn"est pas un vecteur!!!Remarque.On ne peut donc parler que de somme de deuxsous-espaces vectoriels d"un même espace vectoriel

de référence. Si on dit somme de deux espaces vectoriels, cela sous-entend que ces deux espaces vectoriels sont

dessous-espaces vectoriels d"un même espaceE.Exemple 1.Posons :F=? (x,y,z)?R3|3x-y= 0? etG=? (x,y,z)?R3|x+y-z= 0? On a, par exemplev= (1,3,4)?Fetw= (1,1,2)?G. Doncv+w= (2,4,6)?F+G.

On a encorev?= (2,6,-1)?Fetw?= (3,0,3)?G. Doncv?+w?= (5,6,2)?F+G.Exercice de cours 1.(Voir la correction)

Posons :

F=? (x,y,z)?R3|x+y-z= 0? etG=? (x,y,z)?R3|z= 0? 1.

Prouver que (1,1,1)?F+G.

2.

Donner deux autres vecte ursde F+G.Remarque.Il n"y a pas toujours unicité de l"écriture d"un vecteur en somme de deux vecteurs. Si on reprend

l"exemple ci-dessus, le vecteur(1,1,1)peut se décomposer d"une infinité de façon comme somme d"un vecteur

deFet d"un vecteur deG. Voici deux décompositions possibles : (1,1,1) = (0,1,1)???? ?F+(1,0,0)???? ?G= (1,0,1)???? ?F+(0,1,0)???? ?G.(I) : minimum vital | (II) : au programme | (III) : Pour les ExpertsECS1 - Mathématiques 4

Somme de sous-espaces vectoriels.

Espaces vectoriels de dimension finieProposition 1. (Une somme de deux sev et un sev)(Voir la preuve)

SoitFetGdeux sous-espaces vectoriels deE,

F+Gest un sous-espace vectoriel deE.Proposition 2. (F+Gest l"ensemble des CL des éléments deFetG)(Voir la preuve)

SoitFetGdeux sous-espaces vectoriels deE,

F+Gest l"ensemble des combinaisons linéaires d"éléments deFetGExemple 2.Si on reprend l"exemple1 , on a vu que(2,4,6)?F+Get(5,6,2)?F+G. On en déduit que

toute CL de ces deux vecteurs appartient àF+G. Par exemple3(2,4,6)-2(5,6,2) = (-4,0,14)?F+G.Proposition 3. (F+Get le plus petit sev contenantFetG)(Voir la preuve)

SoitF,GetHtrois sous-espaces vectoriels deE.

Si ??F?H et

G?HalorsF+G?H.

Autrement dit :F+Get le plus petit sous-espace vectoriel contenantFetGRemarque.Il faut bien avoir en tête queF?F+G. En effet, tout vecteurudeFs"écritu=u????

?F+ 0 E???? ?G. (et de même, on aG?F+G)

La définition d"un somme d"espace vectoriel s"étend à plus de2sous-espaces vectoriels comme suit :Définition 2. (Somme de plusieurs sous-espaces vectoriels)

Soitp?N?,F1,F2,...,Fpdes sous-espaces vectoriels d"un espaceE. On appelle somme desFil"ensemble F Nous admettrons quec"est un sous-espace vectoriel deE. AinsiF1+F2+...+Fpest l"ensemble des vecteurs que l"on peut écrire sous la formex1+x2+...+xpavec x

1?F1,x2?F2,...,xp?Fp. C"est aussi l"ensemble des combinaisons linéaires d"éléments desFi.ECS1 - Mathématiques(I) : minimum vital | (II) : au programme | (III) : Pour les Experts

Somme de sous-espaces vectoriels.

Espaces vectoriels de dimension finie 51.1.2 Famille génératrice d"une somme Proposition 4. (Somme de deux sev dont on a des familles génératrices)(Voir la preuve)

SoitFetGdeux sous-espaces vectoriels deEetF1une famille génératrice deFetF2une famille génératrice

deG(et doncF= Vect(F1)etG= Vect(F2)). Alors

F+G= Vect(F1? F2).

Autrement dit :On obtient une famille génératrice deF+Gen concaténant une famille génératrice deFet

une famille génératrice deG.Exercice de cours 2.(Voir la correction) On poseE1= Vect((1,0,1),(0,1,1))etE2= Vect((1,0,0),(0,1,0)). 1.

Donner une famille génératrice de E1+E2.

2.

Montrer que E1+E2=R3.1.2 Somme directe

1.2.1 DéfinitionDéfinition 3. (Somme directe)

SoitFetGdeux sous-espaces vectoriels deE, on dit que la sommeF+Gest directe et on noteF?G, si tout vecteurzdeF+Gs"écritde manière uniquesous la formez=x+yavecx?Fety?G.

On dit aussi que "FetGsont en somme directe"Remarque.La notationF?Gdit donc deux choses à la fois : elle désigne la somme deFetGet elle dit en

même temps que cette somme est directe.Exemple 3.On a vu dans l"exercice1 que le vecteur (1,1,1)pouvait s"écrire de plusieurs façons comme

somme d"un élément deFet d"un élément deG. Donc la sommeF+Gn"était pas directe dans cet

exercice.Définition 4. (Somme directe depsous-espaces vectoriels) Soitp?N?,F1,F2,...,Fpdes sous-espaces vectoriels deE. On dit que ces sous-espaces vectoriels sont en somme directe et on noteF1?F2?...?Fpleur somme, si tout vecteurx?F1+F2+...+Fps"écritde manière uniquecomme sommex=x1+x2+...+xpavecx1?F1,x2?F2,...xp?Fp.Remarque. F

1?F2?...?Fpse note aussip?

k=1F k(I) : minimum vital | (II) : au programme | (III) : Pour les ExpertsECS1 - Mathématiques 6

Somme de sous-espaces vectoriels.

Espaces vectoriels de dimension finie1.2.2 Caractérisation d"une somme directe Proposition 5. (Caractérisation d"une somme directe par l"intersection)(Voir la preuve)

SoitFetGdeux sous-espaces vectoriels deE.

La sommeF+Gest directe si et seulement siF∩G={0}.Exercice de cours 3.(Voir la correction) On admet que les ensemblesFetGci-dessous sont des sous-espaces vectoriels deR3: F=? (x,y,z)?R3|4x+ 2y-3z= 0? etG=? (2t,-3t,t)|t?R?

Montrer queFetGsont en somme directe.1.2.3 Le raisonnement par analyse-synthèse pour prouver qu"une somme est directe.

L"exercice suivant permet de se familiariser avec un certain type de raisonnement ditpar analyse-synthèse. C"est

un raisonnement qui est souvent utilisé pour prouver l"existence et l"unicité d"un objet mathématique.

Mais dans la plupart des cas, on prouvera qu"un somme est directe de façon plus simple (voir la section suivante).Exercice de cours 4.(Voir la correction)

Prouver les deux assertions suivantes, oùSn(R)etAn(R)désignent respectivement l"ensemble des matrices

symétriques et antisymétriques réelles d"ordren. Pour ces deux questions, vous utiliserez la méthode

d"analyse-synthèse décrite ci-dessous.

1.Mn(R) =Sn(R)? An(R)

2. On note Fl"ensemble des fonctions définie surR,Pl"ensemble des fonctions paires définies surR etIl"ensemble des fonctions impaires définies surR. On admet quePetIsont des sous-espaces vectoriels deF. Montrer que :

F=P ? I.

Indication :méthode d"analyse-synthèse illustrée sur la question 1

Le but est de la question 1 est de prouver toute matriceM? Mn(R)s"écrit de façon unique sous la

forme :M=S+AoùS? Sn(R)etA? An(R). Autrement dit, qu"il existe un unique couple(S,A) avecS? Sn(R)etA? An(R)tel queM=S+A. Etape 1 - Analyse :Supposer qu"un tel couple existe et en déduire une expression deSetAen fonction deM. Cela prouvera que si le couple(S,A)existe, alors il est unique.

Etape 2 - Synthèse :Vérifier que si on prendSetAcomme trouvées à l"étape 1, elles vérifient

bien ce que l"on veut, c"est-à-dire :S? Sn(R),A? An(R)etM=S+A.ECS1 - Mathématiques(I) : minimum vital | (II) : au programme | (III) : Pour les Experts

Somme de sous-espaces vectoriels.

Espaces vectoriels de dimension finie 71.2.4 Sous-espaces supplémentaires Définition 5. (Sous-espaces supplémentaires)

SoitFetGdeux sous-espaces vectoriels deE.

On dit queFetGsontsupplémentaires dansEsiE=F?G.

Autrement dit :FetGsont supplémentaires dansEsi tout vecteur deEse décompose de façon unique en

somme d"un vecteur deFet d"un vecteur deG.Remarque.On dit queGestunsupplémentaire deFet réciproquement. Un supplémentaire n"est jamais unique.Exemple 4.Dans l"exercice de cours4 , on a montré queSn(R)etAn(R)sont supplémentaires dans

M n(R).Proposition 6. (Caractérisation deE=F?G)(Voir la preuve)

SoitFetGdeux sous-espaces vectoriels deE,

E=F?G??F+G=E

F∩G={0}(I) : minimum vital | (II) : au programme | (III) : Pour les ExpertsECS1 - Mathématiques

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Somme de sous-espaces vectoriels.

Espaces vectoriels de dimension finie2 Espaces vectoriels de dimension finie

2.1 Notion de dimension

On définit la notion d"espace vectoriel de dimension finieavant même de donner une définition au terme de

dimension. C"est une construction qui peut surprendre, mais qui permet d"introduire rigoureusement, dans un

second temps, la notion de dimension.

2.1.1 Espaces vectoriels de dimension finieDéfinition 6. (Espace vectoriel de dimension finie)

Un espace vectoriel est dit dedimension finielorsqu"il admet unefamille génératrice finie(c"est-à-dire une

famille génératrice ayant un nombre fini d"éléments). Sinon on dit que c"est un espace vectoriel de dimension infinie.Exemple 5. R3admet comme famille génératrice(e1, e2e3)avece1= (1,0,0), e2= (0,1,0), e3= (0,0,1). C"est une famille génératrice finie, doncR3est un espace vectoriel de dimension finie. R3[X]admet comme famille génératrice(X3,X2,X,1)qui est une famille finie, doncR3[X]est un espace vectoriel de dimension finie. M2(R)admet comme famille génératrice(E1,1,E1,2,E2,1,E2,2)avec E

1,1=?1 0

0 0? , E

1,2=?0 1

0 0? , E

2,1=?0 0

1 0? , E

2,2=?0 0

0 1?

C"est une famille finie doncM2(R)est un espace vectoriel de dimension finie.Proposition 7. (evdf de référence)

Pour tout entiern?N?,Rn,Rn[X]etMn(R)sont des espaces vectoriels de dimension finie.

Nous ne prouverons pas cette proposition mais la preuve est immédiate et basée sur la même idée que l"exemple

ci-dessus.Exercice de cours 5.(Voir la correction)

Montrer (par l"absurde) queR[X]est un espace vectoriel de dimension infinie.ECS1 - Mathématiques(I) : minimum vital | (II) : au programme | (III) : Pour les Experts

Somme de sous-espaces vectoriels.

Espaces vectoriels de dimension finie 92.1.2 Théorème de la dimension et notion de dimension

Dans cette partie, on va montrer que toutes les bases d"un espace vectoriel de dimension finie ont le même nombre

d"éléments. On a besoin pour cela des des premiers théorèmes ci-dessous qui sont utiles également en eux-mêmes

pour les exercices et qu"il faudra retenir.Théorème 8. (Théorème de la base extraite)(Voir la preuve)

SiEadmet une famille génératrice finie(x1,...,xn), alors il existe une base deEconstituée de vecteurs de

(x1,...,xn).

(En résumé :De toute famille génératrice finie, on peut extraire une base)Théorème 9. (famille plus grande qu"une famille génératrice)(Voir la preuve)

Une famille ayant plus d"éléments qu"une famille génératrice est liée. ou encore :

Une famille ayant moins d"éléments qu"une famille libre n"est pas génératrice.Théorème 10. (Théorème de la dimension)(Voir la preuve)

Toutes les bases d"un espace vectoriel de dimension finie ont le même nombre d"éléments.Définition 7. (Dimension d"un espace vectoriel de dimension finie)

SoitEun espace vectoriel de dimension finie.

On appelle dimension deEle nombre d"éléments de toute base deE. (d"après le théorème précédent, ce nombre ne dépend pas de la base choisie). Un espace vectoriel de dimension1est appelé droite vectorielle.

Un espace vectoriel de dimension2est appelé plan vectoriel.Remarque.(Dimension d"un l"espace vectoriel réduit au vecteur nul)

On admettra que :dim{0}= 0.Exemple 6.

R3admet comme base(e1, e2e3)avece1= (1,0,0), e2= (0,1,0), e3= (0,0,1). Les bases deR3ont donc3éléments. DoncdimR3= 3. R3[X]admet comme famille génératrice(1,X,X2,X3)qui a quatre éléments donc : dim(R3[X]) = 4.

Attention au piège!!dim(R3[X])?= 3!!!!!!!

M2(R)admet comme famille génératrice(E1,1,E1,2,E2,1,E2,2)avec E

1,1=?1 0

0 0? , E

1,2=?0 1

0 0? , E

2,1=?0 0

1 0? , E

2,2=?0 0

0 1?

Doncdim(M2(R)) = 4.(I) : minimum vital | (II) : au programme | (III) : Pour les ExpertsECS1 - Mathématiques

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Somme de sous-espaces vectoriels.

Espaces vectoriels de dimension finieIl faut connaître PAR COEUR la proposition suivante, qui est FONDAMENTALE!

(et dont la preuve est immédiate car nous connaissons les bases canoniques de ces espaces.)Proposition 11. (dimensions des evdf de référence)

Pour tout entiern?N?,

dimRn=n dimRn[X] =n+ 1 dimMn(R) =n2

2.1.3 Familles libres, génératrices en dimensionn

Maintenant que la notion de dimension a un sens, voici deux propositions et un théorème très utiles en pratique.

Il faut donc les connaître PAR COEUR.

La proposition suivante est une conséquence immédiate du théorème 9

(ma isvous devez comp rendrep ourquoi): Proposition 12. (Tailles maximales (resp. minimale) des familles libres (resp. génératrices))

Dans un espace vectoriel de dimensionn,

toute famille libre a au plusnéléments

toute famille génératrice a au moinsnélémentsProposition 13. (Caractérisation des bases dans un ev de dimensionn)(Voir la preuve)

SoitEun espace vectoriel de dimensionn

Toute famille libre denéléments est une base deE Toute famille génératrice denéléments est une base deE.

Voici un exercice classique à savoir refaire absolument par tous!Exercice de cours 6.(Voir la correction)

1.

Démontrer que B=?

(1,0,1),(2,1,0),(1,1,1)? est une base deR3 2. Déterminer le vecteur u0qui a pour coordonnées(-5,-3,-1)dans cette base. 3. On note u1le vecteur de coordonnées(-5,-3,-1)dans la base canonique. Déterminer les coor- données deu1dans la baseB.Un autre, tout aussi classique, à savoir refaire!

Exercice de cours 7.(Voir la correction)

1. Démontrer que B= (1,X+ 1,X2-1)est une base deR2[X]. 2. Déterminer le p olynômePde coordonnées(-2,3,1)dans cette base. 3.

Déterminer les co ordonnéesdans la base Bdu polynômeQ= 2X2-3X+ 1.ECS1 - Mathématiques(I) : minimum vital | (II) : au programme | (III) : Pour les Experts

Somme de sous-espaces vectoriels.

Espaces vectoriels de dimension finie 11Théorème 14. (Théorème de la base incomplète)(Voir la preuve)

SoitEun espace vectoriel de dimensionnet(x1,...,xp)une famille libre depvecteurs deEavecp < n. On peut compléter la famille(x1,...,xp)parn-pvecteurs deEpour former une base deE.

Autrement dit :toute famille libre de taille strictement inférieure à la dimension peut être complétée pour former

une base

2.1.4 Un dernier résultat à connaître : Base de TaylorRn[X]

Soitnun entier naturel non nul etaun réel.

Nous avons déjà vu que la famille(1,X-a,(X-a)2,...,(X-a)n)est une base deRn[X]appeléeBase de

Taylor. Mais il faut savoir le prouver et savoir donner les coordonnées de tout polynôme deRn[X]dans cette

base. C"est l"objet de cet exercice de cours que tout le monde doit savoir traiter.Exercice de cours 8.(Voir la correction)

Soitn?N?eta?R. On pose, pour toutk?J0 ;nK,uk= (X-a)k. Attention :ukest donc un polynôme de degrék! 1. Démontrer que (u0,u1,...,un)est une base deRn[X]. 2. Soit P?Rn[X], donner les coordonnées dePdans la base(u0,u1,...,un). 3. Application : Déterminer les co ordonnéesde X3+X+ 1dans la base deR3[X]suivante : B= (1,X-1,(X-1)2,(X-1)3).2.2 Sous-espaces vectoriels

On va voir que tout sous espace vectoriel d"un espace vectoriel de dimensionnest de dimension inférieure ou

égale àn. Celà justifie par exemple que les sev deR3sont soit l"espace vectoriel nul, soit des droites vectorielles,

soit des plans vectoriels, soitR3tout entier. Même si ce théorème peut vous sembler évident, sa démonstration ne l"est pas.

Ce théorème, ainsi que la proposition qui suit, sont à connaître PAR COEUR.Théorème 15. (Sous-espace vectoriel d"un ev de dim finie)(Voir la preuve)

SoitEun espace vectoriel de dimension finie.

SoientFetGdeux sous-espaces vectoriels de dimension finie d"un espace vectorielE: Si ??F?G et

dimF= dimG,alorsF=GRemarque.La proposition ci-dessus est très importante car c"est presque toujours celle qu"on utilise pour

démontrer que deux espaces vectoriels sont égaux : On prouve que l"un des deux espaces vectoriel est inclus dans le second.

On prouve ensuite que les deux espaces vectoriels ont même dimension.(I) : minimum vital | (II) : au programme | (III) : Pour les ExpertsECS1 - Mathématiques

12

Somme de sous-espaces vectoriels.

Espaces vectoriels de dimension finieExercice de cours 9. Soitn?N?etEun espace vectoriel de dimensionn. SoitHun sous-espace vectoriel de dimensionn-1 (remarque : on dit queHest un hyperplan deE. SoitFun sous-espace vectoriel deEtel queH?Fet H?=F. Montrer queF=E.2.3 Rang d"une famille de vecteurs

2.3.1 Rang d"une famille finie de vecteurs

Une famille(x1,...,xn)n"est pas systématiquement une base deVect(x1,...,xn)(il faut pour cela qu"elle

soit libre). Par contre elle est, par définition, une famille génératrice deVect(x1,...,xn)qui est donc de dimen-

sion inférieure ou égale àn.

La dimension deVect(x1,...,xn)s"appelle lerangde la famille(x1,...,xn):Définition 8. (Rang d"une famille finie de vecteurs)

Soit(x1,...,xn)une famille de vecteurs d"un espace vectorielE. On appellerangde la famille(x1,...,xn)la dimension deVect(x1,...,xn). On le noterg(x1,...,xn). Autrement dit :rg(x1,...,xn) = dim?Vect(x1,...,xn)?

Attention : le rang d"une famille de vecteur n"a rien à voir avec le sens du mot rang dans le langage courant!

Il faut connaître la proposition ci-dessous.

La preuve de chaque point est immédiate et il faut bien la comprendre.Proposition 17. (Propriétés fondamentales du rang)(Voir la preuve)

SoitEun espace vectoriel de dimensionnet(x1,...,xp)une famille depvecteurs deE.

2.rg(x1,...,xp) =p?(x1,...,xp)est une famille libre

3.rg(x1,...,xp) =n?(x1,...,xp)est une famille génératrice

4. Dans le cas d"une famille de nvecteurs (c"est-à-direp=n) : rg(x1,...,xn) =n?(x1,...,xn)est une base deE

2.3.2 Déterminer le rang d"une famille de vecteur en pratique

Pour calculer le rang d"une famille(x1,...,xp), on regarde d"abord si cette famille est libre, si ce n"est pas le

cas alors on peut faire "des opérations sur le rang" comme on a fait des opérations sur les "Vect". Les mêmes

opérations sont possibles :ECS1 - Mathématiques(I) : minimum vital | (II) : au programme | (III) : Pour les Experts

Somme de sous-espaces vectoriels.

Espaces vectoriels de dimension finie 13Proposition 18. (Opérations sur le rang) SoitF= (u1,...,up)une famille de vecteurs. On ne change pasrgFsi on : 1.

enlève le vecteur nul (si la fa milleFen contient un!), ou un vecteur redondant, ou un vecteur qui s"écrit

comme une combinaison linéaire des autres vecteurs, 2. p ermutedes vecteurs, 3. multiplie un vecteur pa run scala irenon nul, 4.

remplace un vecteur pa rune combinaison linéaire de ce vecteur (avec un co efficientnon nul p ource vecteur)

et d"autres vecteurs de la famille.Exercice de cours 10.(Voir la correction) On considère la familleF= (x1,x2,x3)avecx1= (1,0,-1),x2= (-1,2,1),x3= (1,2,-1). Déterminer le rang deF.3 Sommes de sous-espaces vectoriels en dimension finie

3.1 Dimension d"une somme en dimension finieProposition 19. (Dimension deF+G(en dimension finie))(Voir la preuve)

SoitEun espace vectoriel de dimension finie etFetGdeux sous-espaces vectoriels deE. On a : dim(F+G) = dimF+ dimG-dim(F∩G)

Cette formule doit être connue par coeur par tous!! Vous remarquez qu"elle fait penser à la formule du crible vu

en probabilité.Il ne faut pas confondre ces deux formulesqui ne disent pas du tout la même chose (et donc

ne pas écriredim(F?G) = dimF+dimG-dim(F∩G)cardim(F?G)n"a, en général, aucun sens, puisque

F?Gn"est, en général, pas un espace vectoriel!)

3.2 Somme directe et dimension (en dimension finie)Proposition 20. (Dimension d"une somme directe de2espace vectoriels)(Voir la preuve)

SoitEun espace vectoriel de dimension finie etFetGdeux sous-espaces vectoriels deE.

SiFetGsont en somme directe alors

dim(F?G) = dimF+ dimG

Cette proposition se généralise àpsous-espaces :Proposition 21. (Dimension d"une somme directe depespace vectoriels)(admis) SoitEun espace vectoriel

de dimension finie etF1,F2,...,Fpdes sous-espaces vectoriels deE. Si ces sous-espaces vectoriels sont en somme directe, on a :

dim(F1?F2?...?Fp) = dimF1+ dimF2+···+ dimFp.(I) : minimum vital | (II) : au programme | (III) : Pour les ExpertsECS1 - Mathématiques

14

Somme de sous-espaces vectoriels.

Espaces vectoriels de dimension finie3.3 Espaces supplémentaires en dimension finie

3.3.1 Cas de deux sous-espaces

Toutes les propositions de cette section sont importantes!Proposition 22. (Supplémentaire d"un sous-espace vectoriel en dimension finie)(Voir la preuve)

SoitEun espace vectoriel de dimension finie etFun sous-espace vectoriel deE.Fadmet un supplémentaire.

Autrement dit :Un sous-espace vectoriel d"un espace vectoriel de dimension finie admet toujours un supplé-

mentaireProposition 23. (CaractérisationE=F?Gpar la dimension de la somme et parF∩G)(admis) SoitE

un espace vectoriel de dimension finie etFetGdeux sous-espaces vectoriels deE. On a :

E=F?G???dimF+ dimG= dimE

F∩G={0}.Exercice de cours 11.(Voir la correction)

On reprend l"énoncé de l"exercice

3 . Montrer queF?G=R3.Exercice de cours 12.(Voir la correction)

On reprend l"énoncé de l"exercice

2

On rappelle qu"on a poséE1= Vect?

(1,0,1),(0,1,1)? etE2= Vect? (1,0,0),(0,1,0)?

On a vu dans l"exercice

2

que R3=E1+E2. Montrer queE1etE2ne sont pas supplémentaires.Exercice de cours 13.(Voir la correction)

On poseF= Vect(2X+ 1)etG= Vect?

X2,1?

Montrer queFetGsont supplémentaires dansR2[X].Proposition 24. (CaractérisationE=F?Gpar concaténation des bases)(admis)

SoitEun espace vectoriel de dimension finie etFetGdeux sous-espaces vectoriels deE. On a : E=F?G??il existe une base deEqui est la concaténation d"une base deFet d"une base deG

Une telle base deEest alors appeléebase deEadaptée àFetG.Exercice de cours 14.(Voir la correction)

Reprendre l"exercice précédent en utilisant la concaténation des bases.ECS1 - Mathématiques(I) : minimum vital | (II) : au programme | (III) : Pour les Experts

Somme de sous-espaces vectoriels.

Espaces vectoriels de dimension finie 153.3.2 Généralisation àpsous-espace vectorielProposition 25. (Caractérisation deE=F1?F2?...?Fppar la dimension)(admis)

Soitp?N?etF1,F2,...Fpdes sous-espaces vectoriels deEun espace vectoriel de dimension finie. Alors

E=F1?F2?...?Fp???

?E=F1+F2+...+Fp et

dimE= dimF1+ dimF2+...+ dimFpProposition 26. (Caractérisation deE=F1?F2?...?Fppar concaténation des bases)(admis)

Soitp?N?etF1,F2,...Fpdes sous-espaces vectoriels deEun espace vectoriel de dimension finie. Alors E=F1?F2?...?Fpsi et seulement si il existe une base deEqui est la concaténation d"une base deF1, d"une base deF2,..., d"une base deFp.

(cette base est dite adaptée à la somme directe).(I) : minimum vital | (II) : au programme | (III) : Pour les ExpertsECS1 - Mathématiques

16

Somme de sous-espaces vectoriels.

Espaces vectoriels de dimension finie4 Preuves et solutions

4.1 PreuvesPreuve de la proposition1

F+G?Epuisque tout élément deF+Gest une somme de deux vecteurs deE

0E?F+Gcar0E= 0E+ 0Eet que0E?Fet0E?G.

DoncF+G?=∅.

Stabilité par combinaison linéaire

Soitλ,μ?Retu,v?F+G. Montrons queλu+μv?F+G. u=u1+u2etv=v1+v2avecu1, y1?Fetu2, v2?G. Ainsi,λu+μv= (λu1+μv1)+(λu2+μv2)?F+G

DoncF+Gest un sous-espace vectoriel deE.

(retour à la proposition 1)Preuve de la proposition2

Tout élément deudeF+Gs"écritu=u1+u2avecu1?Fetu2?Gc"est donc une combinaison linéaire d"un

élément deFet d"un élément deG.

Réciproquement, toute combinaison linéaire d"un élément deFet deGs"écritλu+μvavecu?Fetv?G. Donc

λu?Fetμv?Gdoncλu+μv?F+G.

(retour à la proposition 2)Preuve de la proposition3

On suppose queF?HetG?H. On veut montrer queF+G?H.

Soitx?F+G. Alorsx=x1+x2avecx1?Fetx2?G. Doncx1?Hetx2?HorHest un sous-espace vectoriel, d"oùx1+x2?H.

On a donc bienx?H.

(retour à la proposition 3)Preuve de la proposition4

On va prouver queVect(F1,F2)?F+GetF+G?Vect(F1,F2)

MontronsVect(F1,F2)?F+G:

Il suffit de montrer que les vecteurs de la famille(F1,F2)appartiennent àF+G.

Or les vecteurs deF1appartiennent àFdonc àF+Get les vecteurs deF2appartiennent àGdonc àF+G.

D"où :Vect(F1,F2)?F+G.

MontronsF+G?Vect(F1,F2):

Soitx?F+G. Doncx=y+zavecy?F= Vect(F1)etz?G= Vect(F2). Doncxest une combinaison linéaire d"éléments deF1etF2. Autrement dit :x?Vect(F1,F2).

On a donc bienF+G?Vect(F1,F2).

FinalementF+G= Vect(F1,F2).

(retour à la proposition 4)ECS1 - Mathématiques(I) : minimum vital | (II) : au programme | (III) : Pour les Experts

Somme de sous-espaces vectoriels.

Espaces vectoriels de dimension finie 17Preuve du théorème8 Rappelons d"abortd un résultat vu dans le chapitre 15 qui sera utile :

Si dans une famille génératrice(x1,...,xn),xnest combinaison linéaire des autres vecteurs, alors(x1,...,xn-1)

est une famille génératrice. Prouvons maintenant le théorème de la base extraite :

Traitons déjà le cas très particulier (et abstrait) oùEest un espace vectoriel réduit à son vecteur nul. Dans ce cas,

sa seule base est la famille vide qui est bien une sous famille de(x1,...,xn). On traite maintenant les cas oùEn"est pas réduit à son vecteur nul.

Si(x1,...,xn)est libre alors(x1,...,xn)est une base. Sinon, un vecteur de(x1,...,xn), disonsxn(quitte à les

renuméroter), est une combinaison linéaire des autres. Alors(x1,...,xn-1)est une famille génératrice.

On recommence : soit(x1,...,xn-1)est libre et c"est une base, soit un de ses vecteurs, disonsxn-1(quitte à les

renuméroter), est combinaison linéaire des autres. Alors(x1,...,xn-2)est génératrice.

On continue ainsi de suite. Soit on arrive à une famille libre et donc à une base, soit on arrive à la fin au fait que la

famille(x1)est génératrice, donc quex1?= 0E(puisqueEn"est par réduit à son vecteur nul) et donc que(x1)est

une famille libre, donc une base. Dans tous les cas, on a extrait une base de la famille génératrice.

(retour au théorème 8)Preuve du théorème9

Commençons par prouver un lemme nommélemme d"échange:SoitLune famille libre etL?une sous-famille stricte deL(L??LetL??=L). On suppose qu"il existe

une familleFtelle queG=L?? Fest génératrice.

Alors on peut obtenir une famille génératrice en échangeant un élément deFpar un élément deL\L?.Preuve du lemme d"échange :

Soity?L\L?.Gétant génératrice,ys"écrit comme combinaison linéaire des éléments deG=L?? F:

y=? x?Gλ xx.

Dans cette combinaison, les coefficients des éléments deFne sont pas tous nuls car sinonyserait combinaison

linéaire d"éléments deL?ce qui contredit le fait queLsoit libre. Donc il existe un élémentx0? Ftel queλx0?= 0. On a alorsx0=1λ x0( y-?quotesdbs_dbs20.pdfusesText_26

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