Thème 13: Le symbole de sommation ?
1re notation possible : Pour calculer la somme des nombres entiers entre 1 Exercice 13.3: Écrire les sommes suivantes sans le signe ? et calculer cette.
Utilisation du symbole ?
symbole sigma. Voici un exercice d'application : Exercice 3 : Calculer chacune des sommes suivantes ou en donner la meilleure expression possible : Somme
Exercices de mathématiques - Exo7
Les symboles ? et ? Exercice 1 IT Identités combinatoires ... Cet exercice est consacré aux sommes de termes consécutifs d'une suite arithmétique ou ...
Feuille dexercices no 5 - Sommes et produits
Écrire à l'aide du symbole ? les expressions suivantes (#) Nouvelle preuve de la somme des k et des k3 ... Calculer de deux manières la somme.
LE SYMBOLE DE SOMMATION
Le symbole ? (sigma) s'utilise pour désigner de manière générale la somme de plusieurs termes. Ce symbole est généralement accompagné d'un indice que l'on
Mathématiques ECS 1re année Le compagnon
Corrigés des exercices troduisons deux symboles extrêmement pratiques l'un pour la somme de nombres ... 1.1 Addition et symbole somme. 1.1.1 Définition.
I Les symboles ? et ?
Exemple 1 Soit m ? [[1 n]]
sommes.pdf
? est une lettre grecque majuscule équivalente à notre S. Le symbole ? est Si au cours d'un calcul
Cours de mathématiques - Exo7
Dans la suite on omettra les symboles >>>. Pour un entier n fixé programmer le calcul de la somme Sn = 13 + 23 + 33 + ··· + n3. ... Mini-exercices.1.
Sommes et produits
Pour chaque valeur de k on rajoute le nombre qk (à droite du signe somme) au Notation (Utilisation du symbole ?) ... vue en exercice.
[PDF] Thème 13: Le symbole de sommation ?
Exercice 13 3: Écrire les sommes suivantes sans le signe ? et calculer cette somme lorsque c'est possible a) S1 = 1 i i=1 4 ?
[PDF] Feuille dexercices no 5 - Sommes et produits
Écrire à l'aide du symbole ? les expressions suivantes (#) Nouvelle preuve de la somme des k et des k3 Calculer de deux manières la somme
Exercices corrigés -Calculs algébriques - sommes et produits
Exercices corrigés - Calculs algébriques - sommes et produits - formule du binôme Exercice 2 - Écrire à l'aide du symbole somme [Signaler une erreur]
[PDF] Les symboles somme et produit - Lycée dAdultes
27 fév 2017 · DERNIÈRE IMPRESSION LE 27 février 2017 à 15:46 Les symboles somme et produit Table des matières 1 Le symbole somme r 2 1 1 Définition
[PDF] CALCULS ALGÉBRIQUES Sommes et produits finis
Exercice 5 : Somme de termes en progression arithmétique — Soit (uk) une suite de nombres réels en progression arithmétique Soit(m n) ? N2 tel que m
[PDF] Le binôme Les symboles ? et - Exo7 - Exercices de mathématiques
k=1 arctan 2 k2 Correction ? [005143] Exercice 8 I Calculer les sommes suivantes : 1
[PDF] sommespdf - Pascal Ortiz
Déployer une somme Quand je parlerai de déployer une somme cela signi era qu'on récrit une somme initialement présentée avec le symbole sigma
[PDF] Calcul Algébrique
indices utilisant les symboles ? (somme) et ? (produit) 2 2 Exercices première borne celle qui est écrite au-dessous du signe somme
[PDF] Utilisation du symbole ? - page pour se connecter
symbole sigma Voici un exercice d'application : Exercice 3 : Calculer chacune des sommes suivantes ou en donner la meilleure expression possible : Somme
Quel est le symbole de la somme ?
Le symbole ? (sigma) s'utilise pour désigner de manière générale la somme de plusieurs termes.Comment calculer ? ?
? [terme général d'une suite arithmétique] = [nombre de termes] × [premier terme] + [dernier terme] 2 .Comment faire le signe somme ?
Comment faire le symbole "Somme" ? (Sigma)
1Faire le symbole "Somme" sous Windows (logiciels Microsoft) Faire le symbole "Somme" en majuscule : Alt + 9 3 1 -->? 2Faire le symbole "Somme" sur Mac / MacBook. Faire le symbole "Sigma" en majuscule (symbole somme) : Alt ? + ? Maj + S -->?Exemples
Somme des premiers entiers.Somme des premiers entiers impairs.Somme des premières puissances.Diviseurs d'un entier.Coefficients binomiaux.Sommes de Riemann.Autres sommes.
Le binôme. Les symboles
* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le coursExercice 1IT Identités combinatoiresLa difficulté va en augmentant graduellement de facile à assez difficile sans être insurmontable.
1.Calculer
n 0+n1+:::+n
n. 2.Montrer que
n 0+n 2+n4+:::=n
1+n 3+n5+:::et trouver la valeur commune des deux sommes.
3.Calculer les sommes
n 0+n 3+n6+:::etn
0+n 4+n8+:::.
4.Montrer que 8n2N;8k2[[1;n]];kn
k=nn1 k1. 5.Montrer que
n 0 2+n 12+:::+n
n 2=2n n(utiliser le polynôme(1+x)2n). 6.Calculer les sommes 0 :n
0+1:n1+:::+n:n
net(n 0)1 +(n 1)2 +:::+(n n)n+1(considérer dans chaque cas un certain polynôme astucieusement choisi). 7.Montrer que
p p+p+1 p:::+n p=n+1 p+1où 06p6n. Interprétation dans le triangle de PASCAL? 8. (a)Soit In=R1
0(1x2)ndx. Trouver une relation de récurrence liantInetIn+1et en déduireInen
fonction den(faire une intégration par parties dansInIn+1). (b)Démontrer l"identité v alablepour n>1 : 1(n
1)3 +(n 2)5 +:::+(1)n(n n)2n+1=2:4:::::(2n)1:3:::(2n+1). 1+n 2+n 3=5n. 11.(*) Calculer
åni=3i,n2Nnf0;1;2g,åni=1(2i1),n2N, etån+1k=4(3k+7),n2Nnf0;1;2g. 2. (*) Calculer le nombre 1 ;1111:::=limn!+¥1;11:::1|{z} net le nombre 0;9999:::=limn!+¥0;99:::9|{z} n. 3. (*) Calculer 1 1+1:::+(1)n1 |{z} n,n2N. 4. (*) Calculer 12 +14 +18 +:::=limn!+¥ånk=112 k. 5. (**) Calculerånk=0coskp2
,n2N. 6. (**) Soient n2Netq2R. Calculerånk=0cos(kq)etånk=0sin(kq). 7. (***) Pour x2[0;1]etn2N, on poseSn=ånk=1(1)k1xkk . Déterminerlimn!+¥Sn. 8. (**) On pose u0=1 et, pourn2N,un+1=2un3. (a)Calculer la suite (un3)n2N.
(b)Calculer
ånk=0uk.
1.ånk=11k(k+1)etånk=11k(k+1)(k+2)
2. (***) Calculer Sp=ånk=1kppourn2Netp2 f1;2;3;4g(dans chaque cas, chercher un polynômePp de degrép+1 tel quePp(x+1)Pp(x) =xp). 3. (**) Calculerånk=1arctan1k
2+k+1(aller relire certaines formules établies dans une planche précédente).
4. (**) Calculerånk=1arctan2k
2. 1.å16i 2. å16i;j6njetå16i 3. å16i;j6nij.
4. (***) Pour n2N, on poseun=1n 5ånk=1ånh=1(5h418h2k2+5k4). Déterminerlimn!+¥un(utiliser les
résultats de l"exercice 7 , 2)). Õnk=1(1+1k
),n2N. 2. (***) Calculer Õnk=1cosa2
k,a2]0;p[,n2N. Correction del"exer cice1 N1.D"après la formule du binôme de N EWTON, 8n2N;ånk=0n
k= (1+1)n=2n:2.Soit nun entier naturel non nul. PosonsS1=åE(n=2) k=0 n 2ketS2=åE((n1)=2)
k=0 n 2k+1. Alors
S 1S2=nå
k=0(1)kn k = (11)n=0(carn>1); et doncS1=S2. PuisS1+S2=ånk=0n k=2n, et doncS1=S2=2n1. 8n2N;n
0+n 2+n 4+:::=n
1+n 3+n 5+:::=2n1:3.En posant j=e2ip=3, on a :
nå k=0 n k = (1+1)n=2n;nå k=0 n k j k= (1+j)netnå k=0 n k j 2k= (1+j2)n:
En additionnant ces trois égalités, on obtient nå k=0 n k (1+jk+j2k) =2n+(1+j)n+(1+j2)n: Maintenant,
si k23N, il existep2Ntel quek=3pet 1+jk+j2k=1+(j3)p+(j3)2p=3 carj3=1. si k23N+1, ilexistep2Ntelquek=3p+1et1+jk+j2k=1+j(j3)p+j2(j3)2p=1+j+j2=0 si k23N+2, ilexistep2Ntelquek=3p+2et1+jk+j2k=1+j2(j3)p+j4(j3)2p=1+j2+j= 0. Finalement,
ånk=0n
k(1+jk+j2k) =3åE(n=3) k=0 n 3k. Par suite,
E(n=3)å
k=0 n 3k =13 (2n+(1+j)n+(1+j2)n) =13 (2n+2Re((1+j)n)) 13 (2n+2Re((j2)n)) =13 (2n+2cosnp3 4. Pour 1 6k6n, on a
k n k =kn!k!(nk)!=n(n1)!(k1)!((n1)(k1))!=kn1 k1 5. 2n nest le coefficient dexndans le développement de(1+x)2n. Mais d"autre part , (1+x)2n= (1+x)n(1+x)n= (nå k=0 n k x k)(nå k=0 n k x k): Dans le développement de cette dernière expression, le coefficient dexnvautånk=0n k n nkou encore nk=0n k 2. Deux polynômes sont égaux si et seulement si ils ont mêmes coefficients et donc
2n n =nå k=0 n k 2 3 6.1ère solution.Pourxréel, posonsP(x) =ånk=1kn
kxk1. Pourxréel,
P(x) = (nå
k=0 n k x k)0= ((1+x)n)0=n(1+x)n1: En particulier, pourx=1, on obtient :
nå k=1kn k =n(1+1)n1=n2n1: 2ème solution.D"après 4),
nå k=1kn k =nå k=1nn1 k1 =nn1å k=0 n1 k =n(1+1)n1=n2n1: 1ère solution.Pourxréel, posonsP(x) =ånk=0n
k xk+1k+1. On a P 0(x) =nå
k=0 n k x k= (1+x)n; et donc, pourxréel, P(x) =P(0)+Z
x 0P0(t)dt=Z
1 0(1+t)ndt=1n+1((1+x)n+11):
En particulier, pourx=1, on obtient
nå k=0 n kk+1=2n+11n+1: 2ème solution.D"après 4),(n+1)n
k= (k+1)n+1 k+1et donc nå k=0 n kk+1=nå k=0 n+1 k+1n+1=1n+1n+1å k=1 n+1 k =1n+1((1+1)n+11) =2n+11n+1: 7. Pour 1 6k6np,p+k
p=p+k+1 p+1p+k p+1(ce qui reste vrai pourk=pen tenant compte dep p+1=0). Par suite,
npå k=0 p+k p =1+npå k=1 p+k+1 p+1 p+k p+1 =1+np+1å k=2 p+k p+1 npå k=1 p+k p+1 =1+n+1 p+1 1=n+1 p+1 Interprétation dans le triangle de PASCAL. Quand on descend dans le triangle de PASCAL, le long de la
colonnep, du coefficientp p(lignep) au coefficientp n(lignen), et que l"on additionne ces coefficients, on trouven+1 p+1qui se trouve une ligne plus bas et une colonne plus loin. 8. (a) Pour nnaturel donné, posonsIn=R1
0(1x2)ndx. Une intégration par parties fournit:
I nIn+1=Z 1 0((1x2)n(1x2)n+1)dx=Z
1 0x2(1x2)ndx=Z
1 0x:x(1x2)n+1dx
x(1x2)n+12(n+1) 1 0 +12(n+1)Z 1 0(1x2)n+1dx=12(n+1)In+1
4 et donc 2(n+1)(InIn+1) =In+1ou encore : 8n2N;(2n+3)In+1=2(n+1)In:
On a déjàI0=1. Puis, pourn>1,
I n=2n2n+1In1=2n2n+12n22n1:::23 I0=(2n)(2n2):::2(2n+1)(2n1):::3:1:
(b) Pour nnaturel non nul donné :
1 n 13 n 25
+:::+(1)n n n2n+1=Z 1 0(1n 1 x 2+n 2 x 4+:::+(1)nn
n x 2n)dx Z 1 0(1x2)ndx=In=(2n)(2n2):::2(2n+1)(2n1):::3:1:Correction del"exer cice2 NLa formule du binôme de NEWTONfournit
(ab+2c)9=9å k=0 9 k (ab)k(2c)9k= (ab)9+:::+9 6 (ab)6(2c)3+:::+(2c)9: Ensuite,
(ab)6=6å k=0 6 k a k(b)6k=a6:::+6 4 a 4b2::+b6:
Le coefficient cherché est donc
9 6 6 4 2 3=9:8:73:26:52
:23=3:4:7:3:5:8=10080:Correction del"exer cice3 N(a+b+c+d)2=a2+b2+c2+d2+2(ab+ac+ad+bc+bd+cd) et (a+b+c)3=a3+b3+c3+3(a2b+ab2+a2c+ac2+b2c+bc2)+6abc:Correction del"exer cice4 NSoitnun entier naturel non nul. Le terme général du développement de(a+b)nestuk=n
kakbnk, 06k6n. Pour 06k6n1, on a :
u k+1uquotesdbs_dbs8.pdfusesText_14
å16i;j6njetå16i 3. å16i;j6nij.
4. (***) Pour n2N, on poseun=1n 5ånk=1ånh=1(5h418h2k2+5k4). Déterminerlimn!+¥un(utiliser les
résultats de l"exercice 7 , 2)). Õnk=1(1+1k
),n2N. 2. (***) Calculer Õnk=1cosa2
k,a2]0;p[,n2N. Correction del"exer cice1 N1.D"après la formule du binôme de N EWTON, 8n2N;ånk=0n
k= (1+1)n=2n:2.Soit nun entier naturel non nul. PosonsS1=åE(n=2) k=0 n 2ketS2=åE((n1)=2)
k=0 n 2k+1. Alors
S 1S2=nå
k=0(1)kn k = (11)n=0(carn>1); et doncS1=S2. PuisS1+S2=ånk=0n k=2n, et doncS1=S2=2n1. 8n2N;n
0+n 2+n 4+:::=n
1+n 3+n 5+:::=2n1:3.En posant j=e2ip=3, on a :
nå k=0 n k = (1+1)n=2n;nå k=0 n k j k= (1+j)netnå k=0 n k j 2k= (1+j2)n:
En additionnant ces trois égalités, on obtient nå k=0 n k (1+jk+j2k) =2n+(1+j)n+(1+j2)n: Maintenant,
si k23N, il existep2Ntel quek=3pet 1+jk+j2k=1+(j3)p+(j3)2p=3 carj3=1. si k23N+1, ilexistep2Ntelquek=3p+1et1+jk+j2k=1+j(j3)p+j2(j3)2p=1+j+j2=0 si k23N+2, ilexistep2Ntelquek=3p+2et1+jk+j2k=1+j2(j3)p+j4(j3)2p=1+j2+j= 0. Finalement,
ånk=0n
k(1+jk+j2k) =3åE(n=3) k=0 n 3k. Par suite,
E(n=3)å
k=0 n 3k =13 (2n+(1+j)n+(1+j2)n) =13 (2n+2Re((1+j)n)) 13 (2n+2Re((j2)n)) =13 (2n+2cosnp3 4. Pour 1 6k6n, on a
k n k =kn!k!(nk)!=n(n1)!(k1)!((n1)(k1))!=kn1 k1 5. 2n nest le coefficient dexndans le développement de(1+x)2n. Mais d"autre part , (1+x)2n= (1+x)n(1+x)n= (nå k=0 n k x k)(nå k=0 n k x k): Dans le développement de cette dernière expression, le coefficient dexnvautånk=0n k n nkou encore nk=0n k 2. Deux polynômes sont égaux si et seulement si ils ont mêmes coefficients et donc
2n n =nå k=0 n k 2 3 6.1ère solution.Pourxréel, posonsP(x) =ånk=1kn
kxk1. Pourxréel,
P(x) = (nå
k=0 n k x k)0= ((1+x)n)0=n(1+x)n1: En particulier, pourx=1, on obtient :
nå k=1kn k =n(1+1)n1=n2n1: 2ème solution.D"après 4),
nå k=1kn k =nå k=1nn1 k1 =nn1å k=0 n1 k =n(1+1)n1=n2n1: 1ère solution.Pourxréel, posonsP(x) =ånk=0n
k xk+1k+1. On a P 0(x) =nå
k=0 n k x k= (1+x)n; et donc, pourxréel, P(x) =P(0)+Z
x 0P0(t)dt=Z
1 0(1+t)ndt=1n+1((1+x)n+11):
En particulier, pourx=1, on obtient
nå k=0 n kk+1=2n+11n+1: 2ème solution.D"après 4),(n+1)n
k= (k+1)n+1 k+1et donc nå k=0 n kk+1=nå k=0 n+1 k+1n+1=1n+1n+1å k=1 n+1 k =1n+1((1+1)n+11) =2n+11n+1: 7. Pour 1 6k6np,p+k
p=p+k+1 p+1p+k p+1(ce qui reste vrai pourk=pen tenant compte dep p+1=0). Par suite,
npå k=0 p+k p =1+npå k=1 p+k+1 p+1 p+k p+1 =1+np+1å k=2 p+k p+1 npå k=1 p+k p+1 =1+n+1 p+1 1=n+1 p+1 Interprétation dans le triangle de PASCAL. Quand on descend dans le triangle de PASCAL, le long de la
colonnep, du coefficientp p(lignep) au coefficientp n(lignen), et que l"on additionne ces coefficients, on trouven+1 p+1qui se trouve une ligne plus bas et une colonne plus loin. 8. (a) Pour nnaturel donné, posonsIn=R1
0(1x2)ndx. Une intégration par parties fournit:
I nIn+1=Z 1 0((1x2)n(1x2)n+1)dx=Z
1 0x2(1x2)ndx=Z
1 0x:x(1x2)n+1dx
x(1x2)n+12(n+1) 1 0 +12(n+1)Z 1 0(1x2)n+1dx=12(n+1)In+1
4 et donc 2(n+1)(InIn+1) =In+1ou encore : 8n2N;(2n+3)In+1=2(n+1)In:
On a déjàI0=1. Puis, pourn>1,
I n=2n2n+1In1=2n2n+12n22n1:::23 I0=(2n)(2n2):::2(2n+1)(2n1):::3:1:
(b) Pour nnaturel non nul donné :
1 n 13 n 25
+:::+(1)n n n2n+1=Z 1 0(1n 1 x 2+n 2 x 4+:::+(1)nn
n x 2n)dx Z 1 0(1x2)ndx=In=(2n)(2n2):::2(2n+1)(2n1):::3:1:Correction del"exer cice2 NLa formule du binôme de NEWTONfournit
(ab+2c)9=9å k=0 9 k (ab)k(2c)9k= (ab)9+:::+9 6 (ab)6(2c)3+:::+(2c)9: Ensuite,
(ab)6=6å k=0 6 k a k(b)6k=a6:::+6 4 a 4b2::+b6:
Le coefficient cherché est donc
9 6 6 4 2 3=9:8:73:26:52
:23=3:4:7:3:5:8=10080:Correction del"exer cice3 N(a+b+c+d)2=a2+b2+c2+d2+2(ab+ac+ad+bc+bd+cd) et (a+b+c)3=a3+b3+c3+3(a2b+ab2+a2c+ac2+b2c+bc2)+6abc:Correction del"exer cice4 NSoitnun entier naturel non nul. Le terme général du développement de(a+b)nestuk=n
kakbnk, 06k6n. Pour 06k6n1, on a :
u k+1uquotesdbs_dbs8.pdfusesText_14
å16i;j6nij.
4. (***) Pour n2N, on poseun=1n5ånk=1ånh=1(5h418h2k2+5k4). Déterminerlimn!+¥un(utiliser les
résultats de l"exercice 7 , 2)).Õnk=1(1+1k
),n2N. 2. (***) CalculerÕnk=1cosa2
k,a2]0;p[,n2N. Correction del"exer cice1 N1.D"après la formule du binôme de N EWTON,8n2N;ånk=0n
k= (1+1)n=2n:2.Soit nun entier naturel non nul. PosonsS1=åE(n=2) k=0 n2ketS2=åE((n1)=2)
k=0 n2k+1. Alors
S1S2=nå
k=0(1)kn k = (11)n=0(carn>1); et doncS1=S2. PuisS1+S2=ånk=0n k=2n, et doncS1=S2=2n1.8n2N;n
0+n 2+n4+:::=n
1+n 3+n5+:::=2n1:3.En posant j=e2ip=3, on a :
nå k=0 n k = (1+1)n=2n;nå k=0 n k j k= (1+j)netnå k=0 n k j2k= (1+j2)n:
En additionnant ces trois égalités, on obtient nå k=0 n k (1+jk+j2k) =2n+(1+j)n+(1+j2)n:Maintenant,
si k23N, il existep2Ntel quek=3pet 1+jk+j2k=1+(j3)p+(j3)2p=3 carj3=1. si k23N+1, ilexistep2Ntelquek=3p+1et1+jk+j2k=1+j(j3)p+j2(j3)2p=1+j+j2=0 si k23N+2, ilexistep2Ntelquek=3p+2et1+jk+j2k=1+j2(j3)p+j4(j3)2p=1+j2+j= 0.Finalement,
ånk=0n
k(1+jk+j2k) =3åE(n=3) k=0 n3k. Par suite,
E(n=3)å
k=0 n 3k =13 (2n+(1+j)n+(1+j2)n) =13 (2n+2Re((1+j)n)) 13 (2n+2Re((j2)n)) =13 (2n+2cosnp3 4.Pour 1 6k6n, on a
k n k =kn!k!(nk)!=n(n1)!(k1)!((n1)(k1))!=kn1 k1 5. 2n nest le coefficient dexndans le développement de(1+x)2n. Mais d"autre part , (1+x)2n= (1+x)n(1+x)n= (nå k=0 n k x k)(nå k=0 n k x k): Dans le développement de cette dernière expression, le coefficient dexnvautånk=0n k n nkou encore nk=0n k2. Deux polynômes sont égaux si et seulement si ils ont mêmes coefficients et donc
2n n =nå k=0 n k 2 36.1ère solution.Pourxréel, posonsP(x) =ånk=1kn
kxk1.Pourxréel,
P(x) = (nå
k=0 n k x k)0= ((1+x)n)0=n(1+x)n1:En particulier, pourx=1, on obtient :
nå k=1kn k =n(1+1)n1=n2n1:2ème solution.D"après 4),
nå k=1kn k =nå k=1nn1 k1 =nn1å k=0 n1 k =n(1+1)n1=n2n1:1ère solution.Pourxréel, posonsP(x) =ånk=0n
k xk+1k+1. On a P0(x) =nå
k=0 n k x k= (1+x)n; et donc, pourxréel,P(x) =P(0)+Z
x0P0(t)dt=Z
10(1+t)ndt=1n+1((1+x)n+11):
En particulier, pourx=1, on obtient
nå k=0 n kk+1=2n+11n+1:2ème solution.D"après 4),(n+1)n
k= (k+1)n+1 k+1et donc nå k=0 n kk+1=nå k=0 n+1 k+1n+1=1n+1n+1å k=1 n+1 k =1n+1((1+1)n+11) =2n+11n+1: 7.Pour 1 6k6np,p+k
p=p+k+1 p+1p+k p+1(ce qui reste vrai pourk=pen tenant compte dep p+1=0).Par suite,
npå k=0 p+k p =1+npå k=1 p+k+1 p+1 p+k p+1 =1+np+1å k=2 p+k p+1 npå k=1 p+k p+1 =1+n+1 p+1 1=n+1 p+1Interprétation dans le triangle de PASCAL. Quand on descend dans le triangle de PASCAL, le long de la
colonnep, du coefficientp p(lignep) au coefficientp n(lignen), et que l"on additionne ces coefficients, on trouven+1 p+1qui se trouve une ligne plus bas et une colonne plus loin. 8. (a)Pour nnaturel donné, posonsIn=R1
0(1x2)ndx. Une intégration par parties fournit:
I nIn+1=Z 10((1x2)n(1x2)n+1)dx=Z
10x2(1x2)ndx=Z
10x:x(1x2)n+1dx
x(1x2)n+12(n+1) 1 0 +12(n+1)Z 10(1x2)n+1dx=12(n+1)In+1
4 et donc 2(n+1)(InIn+1) =In+1ou encore :8n2N;(2n+3)In+1=2(n+1)In:
On a déjàI0=1. Puis, pourn>1,
I n=2n2n+1In1=2n2n+12n22n1:::23I0=(2n)(2n2):::2(2n+1)(2n1):::3:1:
(b)Pour nnaturel non nul donné :
1 n 13 n 25+:::+(1)n n n2n+1=Z 1 0(1n 1 x 2+n 2 x
4+:::+(1)nn
n x 2n)dx Z 10(1x2)ndx=In=(2n)(2n2):::2(2n+1)(2n1):::3:1:Correction del"exer cice2 NLa formule du binôme de NEWTONfournit
(ab+2c)9=9å k=0 9 k (ab)k(2c)9k= (ab)9+:::+9 6 (ab)6(2c)3+:::+(2c)9:Ensuite,
(ab)6=6å k=0 6 k a k(b)6k=a6:::+6 4 a4b2::+b6:
Le coefficient cherché est donc
9 6 6 4 23=9:8:73:26:52
:23=3:4:7:3:5:8=10080:Correction del"exer cice3 N(a+b+c+d)2=a2+b2+c2+d2+2(ab+ac+ad+bc+bd+cd) et(a+b+c)3=a3+b3+c3+3(a2b+ab2+a2c+ac2+b2c+bc2)+6abc:Correction del"exer cice4 NSoitnun entier naturel non nul. Le terme général du développement de(a+b)nestuk=n
kakbnk, 06k6n.Pour 06k6n1, on a :
u k+1uquotesdbs_dbs8.pdfusesText_14[PDF] le quotient en math
[PDF] comment faire face aux critiques au travail
[PDF] comment gérer les critiques au travail
[PDF] comment faire face aux insultes
[PDF] definition somme math
[PDF] comment faire face aux critiques dans le couple
[PDF] guide de l'utilisateur pour la définition des pme
[PDF] pme au sens communautaire entreprises liées
[PDF] définition pme commission européenne
[PDF] pme communautaire bofip
[PDF] guide pme communautaire
[PDF] définition des pme au maroc
[PDF] pme communautaire entreprises liées
[PDF] petite entreprise au sens communautaire
