Thème 13: Le symbole de sommation ?
1re notation possible : Pour calculer la somme des nombres entiers entre 1 Exercice 13.3: Écrire les sommes suivantes sans le signe ? et calculer cette.
Utilisation du symbole ?
symbole sigma. Voici un exercice d'application : Exercice 3 : Calculer chacune des sommes suivantes ou en donner la meilleure expression possible : Somme
Exercices de mathématiques - Exo7
Les symboles ? et ? Exercice 1 IT Identités combinatoires ... Cet exercice est consacré aux sommes de termes consécutifs d'une suite arithmétique ou ...
Feuille dexercices no 5 - Sommes et produits
Écrire à l'aide du symbole ? les expressions suivantes (#) Nouvelle preuve de la somme des k et des k3 ... Calculer de deux manières la somme.
LE SYMBOLE DE SOMMATION
Le symbole ? (sigma) s'utilise pour désigner de manière générale la somme de plusieurs termes. Ce symbole est généralement accompagné d'un indice que l'on
Mathématiques ECS 1re année Le compagnon
Corrigés des exercices troduisons deux symboles extrêmement pratiques l'un pour la somme de nombres ... 1.1 Addition et symbole somme. 1.1.1 Définition.
I Les symboles ? et ?
Exemple 1 Soit m ? [[1 n]]
sommes.pdf
? est une lettre grecque majuscule équivalente à notre S. Le symbole ? est Si au cours d'un calcul
Cours de mathématiques - Exo7
Dans la suite on omettra les symboles >>>. Pour un entier n fixé programmer le calcul de la somme Sn = 13 + 23 + 33 + ··· + n3. ... Mini-exercices.1.
Sommes et produits
Pour chaque valeur de k on rajoute le nombre qk (à droite du signe somme) au Notation (Utilisation du symbole ?) ... vue en exercice.
[PDF] Thème 13: Le symbole de sommation ?
Exercice 13 3: Écrire les sommes suivantes sans le signe ? et calculer cette somme lorsque c'est possible a) S1 = 1 i i=1 4 ?
[PDF] Feuille dexercices no 5 - Sommes et produits
Écrire à l'aide du symbole ? les expressions suivantes (#) Nouvelle preuve de la somme des k et des k3 Calculer de deux manières la somme
Exercices corrigés -Calculs algébriques - sommes et produits
Exercices corrigés - Calculs algébriques - sommes et produits - formule du binôme Exercice 2 - Écrire à l'aide du symbole somme [Signaler une erreur]
[PDF] Les symboles somme et produit - Lycée dAdultes
27 fév 2017 · DERNIÈRE IMPRESSION LE 27 février 2017 à 15:46 Les symboles somme et produit Table des matières 1 Le symbole somme r 2 1 1 Définition
[PDF] CALCULS ALGÉBRIQUES Sommes et produits finis
Exercice 5 : Somme de termes en progression arithmétique — Soit (uk) une suite de nombres réels en progression arithmétique Soit(m n) ? N2 tel que m
[PDF] Le binôme Les symboles ? et - Exo7 - Exercices de mathématiques
k=1 arctan 2 k2 Correction ? [005143] Exercice 8 I Calculer les sommes suivantes : 1
[PDF] sommespdf - Pascal Ortiz
Déployer une somme Quand je parlerai de déployer une somme cela signi era qu'on récrit une somme initialement présentée avec le symbole sigma
[PDF] Calcul Algébrique
indices utilisant les symboles ? (somme) et ? (produit) 2 2 Exercices première borne celle qui est écrite au-dessous du signe somme
[PDF] Utilisation du symbole ? - page pour se connecter
symbole sigma Voici un exercice d'application : Exercice 3 : Calculer chacune des sommes suivantes ou en donner la meilleure expression possible : Somme
Quel est le symbole de la somme ?
Le symbole ? (sigma) s'utilise pour désigner de manière générale la somme de plusieurs termes.Comment calculer ? ?
? [terme général d'une suite arithmétique] = [nombre de termes] × [premier terme] + [dernier terme] 2 .Comment faire le signe somme ?
Comment faire le symbole "Somme" ? (Sigma)
1Faire le symbole "Somme" sous Windows (logiciels Microsoft) Faire le symbole "Somme" en majuscule : Alt + 9 3 1 -->? 2Faire le symbole "Somme" sur Mac / MacBook. Faire le symbole "Sigma" en majuscule (symbole somme) : Alt ? + ? Maj + S -->?Exemples
Somme des premiers entiers.Somme des premiers entiers impairs.Somme des premières puissances.Diviseurs d'un entier.Coefficients binomiaux.Sommes de Riemann.Autres sommes.
HKBL1/ 7symbole sigma
Utilisation du symbole?
Notation :Pour parler de la somme des termes successifs d"une suite, on peut ou bien utiliser les pointillés ou
bien utiliser le symbole " sigma » majuscule noté? Par exemple, la sommeSde tous les inverses des dix premiers entiers non nuls, peut s"écrire S=11+12+13+···+110ou bienS=10?
k=11k.On dit quekest l"indice de la somme; et on lit "Sest égale à la somme pourkvariant de1à10de1
k».En effet, si on prend l"expression
1 ket que l"on remplacekpar la valeur 1 alors on obtient11, si on remplacek par la valeur 2 alors on obtient 12, et ainsi de suite... si on remplacekpar la valeur 10 alors on obtient110qui
est le dernier terme de la somme. L"avantage du symbole?est qu"il est plus explicite que les pointillés+···+qui restent parfois flous. C"est aussi
une façon plus compacte d"écrire ces sommes. Cette écritureest, on le verra, très commode, voire indispensable
dans bien des domaines, notamment les probabilités et les statistiques (domaine où vous avez normalement déjà
dû croiser ce joli symbole pendant vos années de lycéen(ne)?!?). Autre exemple :T= 1×2 + 2×3 +···+ 105×106s"écrit plus simplementT=105? k=1k(k+ 1).On dit quekest l"indice de la somme; et on lit "Test égale à la somme pourkvariant de1à105dek(k+1)».
En effet, si on prend l"expressionk(k+ 1)et que l"on remplacekpar la valeur 1 alors on obtient1×2, si on
remplacekpar la valeur 2 alors on obtient2×3, et ainsi de suite... si on remplacekpar la valeur 105 alors on
obtient105×106, expression qui est le dernier terme de la somme. Exercice 1 :Traduire à l"aide du symbole?les sommes suivantes : S1= 12+ 22+ 32+···+ 132+ 142s"écrit aussiS1=?
S2= 32+ 42+ 52+···+ 1032+ 1042s"écrit aussiS2=?
S 3=12+23+34+···+101102+102103s"écrit aussiS3=?
S4= 12+ 32+ 52+···+ 132+ 152s"écrit aussiS4=?
S5= 1×3 + 2×4 + 3×5 + 4×6s"écrit aussiS5=?
S6= 1 + 8 + 27 + 64 + 125s"écrit aussiS6=?
Exercice 2 :Développer chacune des sommes écrites à l"aide du symbole?, en faisant disparaître ce symbole :
T 1=10? k=31 k2 T 2=10? k=11 2k+ 1 T 3=n? k=1(k+ 1)! kRappel: suites arithmétiques.
Une suite arithmétique(un)n?Nest une suite dont le terme général est de la formeun=an+boùaest la
raison de la suite.On sait (se démontre aisément par récurrence) que la somme des termes consécutifs d"une suite arithmétique
est donnée par la formule n k=0u k=Nombre de termes×premier terme+dernier terme 2Rappel: suites géométriques.
Une suite géométrique(vn)n?Nest une suite dont le terme général est de la formevn=α×qnoùqest la raison
de la suite.On sait (se démontre aisément par récurrence) que la somme des termes consécutifs d"une suite géométrique est
donnée par la formulen? k=0v k=premier terme×1-qnombre de termes 1-qHKBL2/ 7symbole sigma
Voici un exercice d"application :
Exercice 3 :Calculer chacune des sommes suivantes, ou en donner la meilleure expression possible :Somme des termes d"une suite arithmétique :
3 + 7 + 11 +···+ 43 + 47 =?
92k=10(3k+ 5) = n k=1k=n? k=0k=i? k=0k= n k=12 =n? k=i3 =i? k=07k=
Somme des termes d"une suite géométrique :
3 + 6 + 12 +···+ 768 =?92?
k=103k= n k=0xk=n? k=1xk=n? k=ixk= kPropriétés du symbole?:linéarité
•Si(un)n?Nest une suite, alors pour tout réelαon a :n? k=0(αuk) =αn? k=0u kpour tout entiern?N •Si(xn)n?Net(yn)n?Nsont deux suites, alors on an? k=0(xk+yk) =n? k=0x k+n? k=0y kpour tout entiern?N Ces deux propriétés sont équivalentes à cette seule propriété : ••Si(xn)n?Net(yn)n?Nsont deux suites et siαetβsont deux réels, on a n k=0(αxk+βyk) =αn? k=0x k+βn? k=0y kpour tout entiern?NExemple: Linéarité de la somme
Si on poseSn=n?
k=15k, alorsSn= 5n? k=1k= 5×n(n+ 1) 2.Si on poseTn=n?
k=13k+ 2, alorsTn= 3n? k=1k+n? k=12 = 5×n(n+ 1)2+ 2n.
Si on poseZn=n?
k=1k(k+ 1), alors on peut écrire :Zn=n? k=1k(k+ 1) =n? k=1(k2+k) =n? k=1k 2+n? k=1k mais on connaît (presque) par coeur que n? k=1k=n(n+ 1) 2etn? k=1k2=n(n+ 1)(2n+ 1)6. Donc Z n=n? k=1k2+n? k=1k=n(n+ 1)(2n+ 1)6+n(n+ 1)2.
Exemple: Linéarité de la somme
Si on poseSnla somme des entiers pairs consécutifs de2à2nalorsSn= 2 + 4 +···+ 2n=n? k=12k.Et on a par linéaritéSn= 2n?
k=1k= 2×n(n+ 1)2=n(n+ 1).
Si on poseTnla somme des entiers impairs consécutifs de1à2n-1alorsTn= 1+3+···+2n-1 =n?
k=12k-1.On remarque queSn+Tn=2n?
k=1kc"est à dire la somme de tous les entiers consécutifs de1à2n. Donc S n+Tn=2n(2n+ 1)2=n(2n+ 1). De telle sorte queTn=n(2n+ 1)-Sn=n(2n+ 1)-n(n+ 1) =n2.
Autre méthode pour calculerTn:
T n= 1 + 3 +···+ 2n-1 =n? k=12k-1 = 2n? k=1k-n? k=11 = 2×n(n+ 1)2-n=n(n+ 1)-n=n2.
HKBL3/ 7symbole sigma
Propriétés du symbole?:ré-indexation d"une sommeCe que l"on désigne par ce terme barbare de " ré-indexation »,c"est effectuer un changement de variable (ou
plutôt d"indice) pour simplifier, calculer ou comparer deuxsommes. Il n"y a pas de définition formelle à retenir,
juste une méthode de calcul assez élémentaire... regardez ces quelques exemples :Exemple: Si on veut écrire la sommeSdes entiers impairs consécutifs de1à11on peut écrireS=6?
k=12k-1, mais on pourrait aussi écrireS=5? j=02j+ 1.Pour passer de la première écriture à la seconde, il suffit de poserj=k-1, ce qui équivaut à
k=j+ 1et donc pourkvariant de1à6, l"indicej, égal àk-1, varie de0à5. Et la formule2 k-1est remplacée par 2( j+ 1)-1 = 2j+ 1.Exemple: SiTn=n?
k=2(k-1)2, pour un entiern≥2, alors on peut poser le changement d"indice :i=k-1. On a alorsivarie de 1 à(n-1), etTn=n-1? i=1i2, somme que l"on sait calculer :Tn=(n-1)((n-1) + 1)(2(n-1) + 1)
6= (n-1)(n)(2n-1) 6Exercice 4 :À l"aide d"une ré-indexation, montrer la règle sur les sommes télescopiques :
S n=n? k=0(uk+1-uk) =un+1-u0 indication : dans la somme n? k=0u k+1, poser le changement de variablei=k+ 1.Exercice 5 :
À l"aide d"une ré-indexation, justifier que :n? k=0a k=n? i=0a n-iDe même, compléter :
n k=1a n-k=...? i=...a in-1? k=0a n-k=...? i=...a in k=1a n+k=...? i=...a iBinôme de Newton et symbole?
Théorème :
Pour tous réelsxety, on a :
(x+y)n=n? k=0? n k? x n-kyk=n? i=0? n i? x iyn-icette règle généralise les identités remarquables(x+y)2et(x+y)3, elle s"appelle le binôme de Newton.
Exercice 6 :
En utilisant le binôme de Newton, déduisez la valeur deS=n? k=0? n k?et celle deT=n? k=0? n k?(-1)k. Écrire de deux façons différentesS+T. En déduire la valeur d"une somme. Exemple: Montrer que le binôme de Newton s"écrit :(x+y)n=n? k=0? n k? x n-kyk=n? i=0? n i? x iyn-i.En effet, en posant le changement d"indice
:i=n-kdans la sommeSn=n? k=0? n k?xn-kyk, on a alorsivarie de nà0(mais on écrit dans le sens de0àn); et on a :Sn=n? i=0? n n-i?xiyn-i. Et on conclue en se servant de la propriété des coefficients du binôme : ?n n-i?=?n i?.HKBL4/ 7symbole sigma
Sommes doubles
Il arrive qu"on ait à effectuer une somme double, c"est à dire une somme qui porte sur deux indices :n?
i=0p j=0a i,jLe sens qu"il faut donner à cette somme double est que l"on fait pour toutiune somme surjnotéeSi=p?
j=0a i,j, puis la somme de tous lesSi:n? i=0n j=0a i,j=n? i=0S i Si l"on fait un dessin (cf ci-dessous), chaqueSireprésente la somme par colonnes (lesjbougent). Mais on pourrait considérer que l"on veut faire la somme par lignes,Tj=n? i=0a i,jet on aurait la même somme en calculant p? j=0T j; on écrit donc :n? i=0p j=0a i,j=p? j=0n i=0a i,j chaque point représente un termeai,jde la somme doublen? i=0p j=0a i,j ij 0 1 2··· ··· ···n012...p
S0S1S2Sn
ij 0 1 2··· ··· ···n012...pT0
T1 T2 TpExercice 8 :Somme double
CalculerSn=n?
i=0n j=0i×jCalculerTn=n? i=0n j=0i+jCalculerUn=n?
i=0i j=0jetU?n=n? i=0i j=0iCalculerVn=n? i=0n j=ijetV?n=n? i=0n j=iiExercice 9 :Somme double et changement d"ordre de la somme. Dire si chacune des égalités est vraie ou non :n?
i=0n j=0a i,j=n? j=0n i=0a i,jVraiFauxn i=0n j=0a i×bj=n? i=0a in j=0b jVraiFaux n i=0i j=0a i,j=i? j=0n i=0a i,jVraiFauxn i=0i j=0a i,j=n? j=0j i=0a i,jVraiFaux n i=0i j=0a i,j=n? j=0n i=ja i,jVraiFauxn i=0n j=ia i,j=n? j=0j i=0a i,jVraiFaux n? i=0n j=iaquotesdbs_dbs45.pdfusesText_45[PDF] le quotient en math
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